2.1.1 等式的性质与方程的解集课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第二章　等式与不等式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 人教B版 数学 必修第一册 课程标准 1.了解等式的性质并会应用. 2.会用十字相乘法进行因式分解. 3.会求一元一次方程及一元二次方程的解集. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 等式的性质与恒等式 1.等式的性质 等式性质的延伸:①对称性:等式左右两边互换,所得结果仍是等式,即如果a=b,那么b=a;②传递性:如果a=b,b=c,那么a=c(也叫等量代换) 性质 文字语言 符号语言 性质1 等式的两边同时加上同一个数或代数式,等式仍成立 如果a=b,则对任意c,都有　　　　　  性质2 等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式,等式仍成立 如果a=b,则对任意不为零的c,都有　　 　  a+c=b+c ac=bc 2.恒等式 一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取任意实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等.恒等式是进行代数变形的依据之一. (1)平方差公式、两数和(差)的平方公式. a2-b2=　　 　　　(平方差公式)  (a+b)2=　　　 　　(两数和的平方公式)  (a-b)2=　　　 　　(两数差的平方公式)  a3+b3=　　　　 　　　(立方和公式)  a3-b3=　　　　　 　　(立方差公式)  (a+b)(a-b) a2+2ab+b2　 a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2) (a-b)(a2+ab+b2) (2)“十字相乘法” 对任意的x,a,b,都有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.可以利用这个恒等式来进行因式分解. 运用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解时需满足的条件:①分解因式的多项式是二次三项式;②二次项系数是1,常数项可以分解为两个数的积,且一次项系数是这两个数的和 给定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,则x2+Cx+D=(x+a)(x+b).为了方便记忆,已知C和D,寻找满足条件的a和b的过程,通常用右图表示,其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C,也正因为如此,这种因式分解的方法被称为“十字相乘法”.　　 过关自诊 1.分解因式:x2+2xy+y2-4=　　 　　.  (x+y-2)(x+y+2) 解析 x2+2xy+y2-4=(x+y)2-4=(x+y-2)(x+y+2). 2.下列各式是否正确? 提示 ①正确;②③④错误. 3.(多选题)[2023河北高一开学考试]若x3+a3=(x+a)(x2-ax+9)对任意实数x都成立,则实数a可能的值是(　　) A.-9 B.9 C.-3 D.3 CD 解析 因为x3+a3=(x+a)(x2-ax+a2), 故x3+a3=(x+a)(x2-ax+9)对任意实数x都成立,即为(x+a)(x2-ax+a2) =(x+a)(x2-ax+9)对任意实数x都成立,所以x2-ax+a2=x2-ax+9,即a2=9,故a=±3. 故选CD. 知识点2 方程的解集 结果要用集合表示 1.方程的　　　　　　　是指能使方程左右两边相等的未知数的值.  2.一般地,把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的　　　　.  过关自诊 求方程x2-3x+2=0的解集. 解(或根) 解集 提示 ∵x2-3x+2=0,∴(x-1)(x-2)=0, ∴x=1或x=2,∴方程的解集为{1,2}. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　恒等式 【例1】 (1)[2023上海高一专题练习]已知等式2x2-3x+1=ax2+bx+c对任意实数x都成立,则abc=　　　　　.  分析掌握提取公因式法和公式法是解题的关键. -6 解析 因为等式2x2-3x+1=ax2+bx+c对任意实数x都成立, (2)分解因式: ①x2-25; ②a2-6a+9; ③4m(x-y)-8n(y-x); ④(a2+4)2-16a2. 解 ①x2-25=(x+5)(x-5); ②a2-6a+9=(a-3)2; ③4m(x-y)-8n(y-x)=4(x-y)(m+2n); ④(a2+4)2-16a2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2. 规律方法　分解因式的常用方法 (1)平方差公式法; (2)完全平方公式法; (3)提取公因式法. 变式训练1(1)[2023河南高一阶段练习]对于任意实数x,等式ax3+bx+c=x3+2x-2恒成立,则a+b+c=　　　　　.  (2)分解因式:①8a3b2-12ab3c;②(a+b)2-12(a+b)+36. 1 解析 因为等式ax3+bx+c=x3+2x-2恒成立,所以a=1,b=2,c=-2, 所以a+b+c=1+2+(-2)=1. 解 ①8a3b2-12ab3c=4ab2(2a2-3bc); ②(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×6(a+b)+36=(a+b-6)2. 探究点二　十字相乘法分解因式 【例2】 分解下列各因式: (1)x2+xy-6y2; (2)(x2+x)2-8(x2+x)+12. 解 (1)x2+xy-6y2=(x+3y)(x-2y). (2)(x2+x)2-8(x2+x)+12=(x2+x-6)(x2+x-2)=(x+3)(x-2)(x+2)(x-1). 规律方法　十字相乘法分解因式易错点 用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误:一是没有验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数;二是由十字相乘写出的因式漏写字母. 变式训练2(1)x2+10x+16分解因式为(　　) A.(x+2)(x+8) B.(x-2)(x+8) C.(x+2)(x-8) D.(x-2)(x-8) A 解析 x2+10x+16=(x+2)(x+8). (2)x2-13xy-30y2分解因式为(　　) A.(x-3y)(x-10y) B.(x+15y)(x-2y) C.(x+10y)(x+3y) D.(x-15y)(x+2y) D 解析 x2-13xy-30y2=(x-15y)(x+2y). (3)6x2-29x+35分解因式为(　　) A.(2x-7)(3x-5) B.(3x-7)(2x-5) C.(3x-7)(2x+5) D.(2x-7)(3x+5) B 解析 6x2-29x+35=(3x-7)(2x-5). 探究点三　求方程的解集 【例3】 (1)关于x的方程(2x+3)(2x4-x2-6)=0的解集为　　　　　　　.  解析 (2x+3)(2x4-x2-6)=0可化为(2x+3)(2x2+3)(x2-2)=0, (2)求关于x的方程ax=x+1的解集,其中a是常数. 解 因为ax=x+1,则(a-1)x=1. 当a=1时,方程无解,即解集为⌀; 变式探究(改条件)在本例(1)中,方程改为(2x+3)(2x4-x2+6)=0的解集为　　　　　.  规律方法　因式分解法解一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是: (1)将方程右边的各项移到方程左边,使方程右边为0; (2)将方程左边分解为两个一次因式的乘积的形式; (3)令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解. 变式训练3关于x的方程a2x+1=b2-x的解集为　　　　　.  成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 11 12 13 14 15 1.[探究点一]下列运用等式的性质进行的变形中,正确的是(　　) A.如果a=b,那么a+c=b-c B.如果a2=6a,那么a=6 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 选项A,当c≠0时,等式显然不成立; 选项B,如果a2=6a,那么a=6或a=0,说法显然不成立; 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.[探究点一]下列等式中,属于恒等式的是(　　) B 解析 选项A,只有当a=±1时,等式成立,故不是恒等式,A错误; 选项B, =|a|对任意a∈R成立,B正确; 选项C,只有当a=1时,等式成立,故不是恒等式,C错误; 选项D, ≠0,故不是恒等式,D错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.[探究点三]关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0,则m的值应为(　　) A.2 B.-2 C.2或-2 D.1 B 解析 ∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0有一个根为0,∴m2-4=0且m-2≠0, 解得m=-2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.[探究点二]已知x+1是多项式x2-mx+3的一个因式,则m=　　　　　.  -4 解析 由题意,x+1是多项式x2-mx+3的一个因式,故x=-1是方程x2-mx+3=0的一个根,代入可得(-1)2+m+3=0,解得m=-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.[探究点三]已知y=1是方程2-13(m-y)=2y的解,则关于x的方程 m(x-3)-2=m(2x-5)的解集为　　　　　.  {0} 解析 因为y=1是方程2-13(m-y)=2y的解, 所以2-13(m-1)=2,即m=1. 所以方程m(x-3)-2=m(2x-5)变为(x-3)-2=2x-5,解得x=0.所以方程的解集为{0}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.[探究点三]若实数a,b满足(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0,则a+b=　　　　　.  解析 设a+b=x,则原方程可化为4x(4x-2)-8=0,整理得(2x+1)(x-1)=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.[探究点二]将下列各式因式分解: (1)x2+3x+2; (2)2x2-7x+3; (3)10(x+2)2-29(x+2)+10. 解 (1)x2+3x+2=(x+2)(x+1); (2)2x2-7x+3=(2x-1)(x-3); (3)10(x+2)2-29(x+2)+10=[2(x+2)-5][5(x+2)-2]=(2x-1)(5x+8). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.[探究点三]求关于x的方程ax=2x-1的解集,其中a是常数. 解 原方程可化为(2-a)x=1,当a=2时,解集为⌀; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 级 关键能力提升练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.[2023湖南益阳高一阶段练习]不论a,b为何实数,a2+b2-2a-4b+8的值 (　　) A.总是正数 B.总是负数 C.可以是零 D.可以是正数也可以是负数 A 解析 因为a2+b2-2a-4b+8=(a-1)2+(b-2)2+3≥3>0,即a2+b2-2a-4b+8的值总是正数,故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.(多选题)[2023辽宁沈阳高一开学考试]方程 解集为单元素集,那么该方程的解集可以是(　 　) A.{1} B.{2} C.{3} D.{4} ABC 解析 由题意可知x≠-1且x≠0,则原方程可化为x= ,即x2-2x-m=0, 若方程有一根为0,则m=0,此时原方程的解为x=2(x=0舍去),符合题意; 若方程有一根为-1,则m=3,此时原方程的解为x=3(x=-1舍去),符合题意; 若Δ=4+4m=0,解得m=-1,故原方程为x2-2x+1=0,解得x=1.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.[2023辽宁建平高一阶段练习]若2x2+3x+5=a(2x+1)(x+1)+b恒成立,则a+b的值为　　　　　.  5 解析 因为2x2+3x+5=a(2x+1)(x+1)+b,即2x2+3x+5=2ax2+3ax+a+b恒成立, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.已知关于x的方程 +2x=3x-1的解集为A,关于x的方程3x-a-4=0的解集为B,若A=B,求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.解下列一元二次方程: (1)x2-(m2+m)x+m3=0; 解 因为x2-(m2+m)x+m3=(x-m2)(x-m), 所以原方程化为(x-m2)(x-m)=0,解得x=m2或x=m, 当m=0或1时,m2=m,此时原方程的解集为{0}或{1}; 当m≠0且m≠1时,m2≠m,此时原方程的解集为{m,m2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)x2-x-a2+a=0. 解 因为x2-x-a2+a=x2-x-a(a-1)=(x-a)[x+(a-1)],所以原方程化为 (x-a)[x+(a-1)]=0,解得x=a或x=1-a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 级 学科素养创新练 11 12 13 14 15 15.已知关于x的方程mx+4=3x-n,分别求出当m,n为何值时,原方程的解集为:(1)单元素集;(2)R;(3)⌀. 解 由题意知(m-3)x=-n-4. (2)当m-3=0且-n-4=0,即m=3且n=-4时,方程的解集为R. (3)当m-3=0且-n-4≠0,即m=3且n≠-4时,方程的解集为⌀. ①若,则x=y;②若x=y,则;③若x+a=y-a,则x=y;④若x=y,则ax=by. 所以解得所以abc=2×(-3)×1=-6. ∵2x2+3>0,∴(2x+3)(x2-2)=0,解得x1=-,x2=,x3=-, ∴方程(2x+3)(2x4-x2-6)=0的解集为. 当a≠1时,x=,即解集为. 综上,当a=1时,方程的解集为⌀;当a≠1时,方程的解集为. 　 解析 由a2x+1=b2-x可得(a2+1)x=b2-1,解得x=,故解集为. C.如果a=b,那么 D.如果,那么a=b 选项C,当c=0时,无意义; 选项D,如果,则c≠0,故×c=×c,即a=b. A.a2=1 B.=|a| C.|a-1|=0 D.=0 -或1 解得x=-或x=1. 则a+b=-或1. 当a≠2时,解集为. 综上,当a=2时,解集为⌀;当a≠2时,解集为. 9.已知关于x的方程+1的解集为⌀,则实数a的值为(　　) A.0 B.1 C. D. 解析 由+1,得()x=1,因为关于x的方程+1的解集为⌀,所以=0,解得a=,故选C. 所以所以a+b=5. 解 由方程+2x=3x-1,解得x=,即A=,由方程3x-a-4=0,解得x=,即B=.又A=B,所以,解得a=-1. 当a=时,a=1-a,此时原方程的解集为; 当a≠时,此时原方程的解集为{a,1-a}. (1)当m-3≠0,即m≠3,n为任意实数时,x=,方程的解集为单元素集,即. $$