2.1.3 方程组的解集课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第二章　等式与不等式 2.1.3　方程组的解集 人教B版 数学 必修第一册 课程标准 1.会根据等式的性质求方程组的解集. 2.会利用消元法解方程组的解集. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 二元一次方程组的解集 1.方程组的解集 一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到的　　　　称为这个方程组的解集.  2.二元一次方程组 方程组含有两个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组. 交集 名师点睛 二元一次方程组的解法 (1)代入消元法:把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法,简称代入法. (2)加减消元法:当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法,简称加减法. 过关自诊 1.求下列方程组的解集. 提示 (1)由②得y=4-2x,③ 把③代入①,得3x+4(4-2x)=6,解这个方程,得x=2,把x=2代入③,得y=0,所以这个方程组的解集为{(x,y)|(2,0)}. (2)把①代入②,得3x+2(2x-3)=8,解这个一元一次方程,得x=2,把x=2代入①,得y=1,所以这个方程组的解集为{(x,y)|(2,1)}. 2.解二元一次方程组的基本思路是什么? 提示 解二元一次方程组的基本思路是消元,把“二元”变为“一元”. 知识点2 三元一次方程组和二元二次方程组 1.三元一次方程组 方程组含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组. 名师点睛 三元一次方程组的解法 (1)解三元一次方程组时,先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点,然后确定先要消去的未知数,再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元,达到消元的目的. (2)三元一次不定方程组的解法 当“三元一次方程组”只含有两个方程时,我们将其中一个未知数看成已知数,此时,方程组即二元一次方程组,利用消元思想即可求解.一般情况下,方程组的解不唯一. 2.二元二次方程组 二元二次方程:含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数为2,像这样的方程叫做二元二次方程. 二元二次方程组:方程组中含有两个未知数,含有未知数的项的最高次数为2,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元二次方程组. (1)二元二次方程组一般有两种类型:一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成;二是由两个二元二次方程组成,我们主要学习第一种类型. (2)解二元二次方程组的思路是消元和降次 过关自诊 提示 (方法一)(代入消元法)由②得x=y+1,④ 将y=9代入④得x=10. 所以原方程组的解集为{(10,9,7)}. (方法二)(加减消元法)③-①,得x-2y=-8,⑤ 所以原方程组的解集为{(10,9,7)}. 2.解三元一次方程组的基本思想和注意问题有哪些? 提示 解三元一次方程组的基本思想是消元,其方法有代入消元法和加减消元法两种,通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程. 解三元一次方程组时要特别注意:①三元一次方程组的解法多种多样,只要逐步消元,解出每一个未知数即可;②解三元一次方程组时,每一个方程都至少要用到一次,否则解出的结果也不正确. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　二元一次方程组的解集及其应用 分析方程组整理后,利用加减消元法求解即可. ①-②得4y=28,即y=7. 把y=7代入①得x=5. 则方程组的解集为{(5,7)}. 规律方法　二元一次方程组的求解策略 解二元一次方程组,通常利用消元的思想,消元的方法有:代入消元法和加减消元法. 变式训练1(1)[2023山东东营高一阶段练习]若(3,-2)∈ -1 ②×2-①,得x=1. 将x=1代入②,得y=-3. 所以原方程组的解集为{(1,-3)}. 探究点二　二元二次方程组的解集 分析 根据解二元二次方程组的步骤求解即可. 解 由方程①,得(x+y)(x-y)=-3,③ 由方程②,得x+y=-1,④ 联立③④,得x-y=3,⑤ 联立④⑤,得x=1,y=-2. 所以原方程组的解集为{(1,-2)}. 规律方法　二元二次方程组的解法 解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程,再降次转化为一元一次方程求解. 探究点三　三元一次方程组的解集 【例3】 求下列方程组的解集: 分析 方程2x-y=7是二元一次方程,可以将另外两个方程结合起来消去z,再和2x-y=7联立求解即可;或将y用含x的代数式表示出来,再分别代入前两个方程,消去y,解方程组,进而得到原方程组的解集. 解 (方法一)①×2+②,得5x+8y=7,④ 把x=3,y=-1代入①,得3+3×(-1)+2z=2,所以z=1. 所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(3,-1,1)}. (方法二)由③,得y=2x-7,④ 把④代入①,整理得7x+2z=23,⑤ 把④代入②,整理得7x-4z=17,⑥ 所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(3,-1,1)}. 分析 由x∶y=3∶2,y∶z=2∶5,得x∶y∶z=3∶2∶5,引入参数k,用含k的式子分别表示x,y,z,再代入③中,求出k的值,或将x与z用含y的式子表示出来,代入③,进而求出原方程组的解集. 解 (方法一)由①和②,得x∶y∶z=3∶2∶5. 设x=3k,y=2k,z=5k(k≠0),并代入③,得5k+3k+2k=20,解得k=2. 所以x=3k=6,y=2k=4,z=5k=10. 所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(6,4,10)}. 把y=4分别代入④和⑤,得x=6,z=10. 所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(6,4,10)}. 规律方法　1.解三元一次方程组时若能根据题目的特点,灵活地进行消元,则可准确、快速地求解.消去一个未知数把“三元”转化为“二元”的方法: (1)先消去某个方程缺少的未知数;(2)先消去系数最简单的未知数;(3)先消去系数成整数倍的未知数;(4)注意整体加减或代入的应用. 2.解特殊的三元一次方程组的技巧:解特殊的三元一次方程组时,应具体问题具体分析,观察方程组的特点及未知数系数之间的关系,灵活消元.对于一些特殊的方程组,有特殊的解法,例如:若一个方程组由两个方程构成,其中一个方程是x∶y∶z=a∶b∶c(a,b,c为常数,且都不为0),另一个方程是关于x,y,z的三元一次方程,解这种方程组时,可引入k(k≠0),用含k的式子表示x,y,z,再代入三元一次方程中,化“三元”为“一元”,求出k的值,进而可求出x,y,z的值. A.1∶2∶3 B.2∶3∶4 C.2∶3∶1 D.3∶2∶1 C ①×2-②得7y-21z=0,即y=3z,代入①可得x=8z-6z=2z, ∴x∶y∶z=2z∶3z∶z=2∶3∶1.故选C. 解 ①+③,得3x+5y=11,④ ③×2+②,得3x+3y=9,即x+y=3.⑤ 把x=2,y=1代入③,得2+2-z=5,所以z=-1. 所以这个三元一次方程组的解集为{(x,y,z)|(2,1,-1)}. 探究点四　方程组的解集实际应用 【例4】 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:今有甲、乙、丙三人持钱,甲语乙、丙,各将公等所持钱,半以益我,钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半,我手上就有90钱);乙复语甲、丙,各将公等所持钱,半以益我,钱成七十;丙复语甲、乙,各将公等所持钱,半以益我,钱成五十六,则乙手上有钱(　　) A.28 B.32 C.56 D.70 B 解析 设甲、乙、丙各有x,y,z钱, 规律方法　二元一次方程组的实际应用 本题考查了二元一次方程组的应用,解答此类问题的关键是读懂题意,合理设出未知数,找出等量关系,列方程组求解. 变式训练4某天,一蔬菜经营户用90元钱按批发价从蔬菜批发市场买了西红柿和豆角共50 kg,然后在市场上按零售价出售,西红柿和豆角当天的批发价和零售价如下表所示: 品名 西红柿 豆角 批发价(单位:元/kg) 2.0 1.5 零售价(单位:元/kg) 2.9 2.6 如果西红柿和豆角全部以零售价售出,他当天卖这些西红柿和豆角赚了多少元钱? 解 设购进西红柿x kg,购进豆角y kg, ∴(2.9-2)x+(2.6-1.5)y=49. 答:他当天卖这些西红柿和豆角赚了49元钱. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 11 12 13 1.[探究点一]设A={(x,y)|y=-4x+6},B={(x,y)|y=5x-3},则A∩B=(　　) A.{(2,1)} B.(1,2) C.x=1,y=2 D.{(1,2)} D 解析 由题意得,集合A,B均为点集,所以求两直线的交点即可,联立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.[探究点一]若(a+b+5)2+|2a-b+1|=0,则(b-a)2 020=(　　) A.-1 B.1 C.52 020 D.-52 020 B 解析 ∵(a+b+5)2+|2a-b+1|=0, 则原式=(-3+2)2 020=(-1)2 020=1,故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.[探究点四]（多选题）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五,屈绳量之,不足一尺,问木长几何?”大致意思是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余4.5尺,将绳子对折再量木条,木条剩余1尺,问木条长多少尺?”,设绳子长x尺,木条长y尺,根据题意所列方程组正确的是(　　) BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.[探究点二、三]求下列方程组的解集: 解 由第一个式子可得z=3-3x-y,代入第二个、第三个式子可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 由第一个式子可得y=2x-1,代入第二个式子可得x2+2(2x-1)2=3, 即9x2-8x-1=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 级 关键能力提升练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.若购买甲商品3件、乙商品2件、丙商品1件,共需140元;购买甲商品1件、乙商品2件、丙商品3件,共需100元,那么购买甲商品1件、乙商品1件、丙商品1件,共需(　　) A.50元 B.60元 C.70元 D.80元 B 解析 设购买一件甲商品需x元,一件乙商品需y元,一件丙商品需z元,根据 ①+②得4x+4y+4z=240,即x+y+z=60,所以共需60元,故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.配平化学方程式可以通过解方程组来完成.例如,Mg在O2中燃烧生成MgO,可以设方程式为xMg+yO2 zMgO,其中x,y,z均为正整数,且它们的最大公约数为1.由方程式两边的同种原子数目相等,可得 令y=1,则z=2,x=2.因此,配平后的化学方程式为2Mg+O2 2MgO.用这种方法配平化学方程式xFe+yH2O zFe3O4+tH2↑,则x+y+z+t=　　　　　.  12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析 设方程式为xFe+yH2O zFe3O4+tH2↑,其中x,y,z,t均为正整数,且它们的最大公约数为1. 由方程式两边的同种原子数相等,可得 令z=1,则x=3,y=4,t=4,故x+y+z+t=12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.在y=ax2+bx+c中,当x=0时y=-7,当x=1时y=-9,当x=-1时y=-3,求a,b,c的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.设a∈R,已知关于x,y的方程组 分别求出当a为何值时,方程组有唯一解;无解;有无穷多解. 当a=-1时,该方程无解,故原方程组的解集为⌀; 当a=2时,该方程有无穷多个解,且x∈R. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 级 学科素养创新练 13.公元5世纪末,中国数学家张丘建提出了“百鸡问题”:今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱买鸡百只.问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何? 解 设鸡翁、鸡母、鸡雏各x,y,z(x,y,z∈N*)只,则 消去z可得4y=100-7x>0,解得x≤14,且x能被4整除,故x可能的取值为4,8,12, 所以方程组的解集为{(4,18,78),(8,11,81),(12,4,84)}. 故鸡翁、鸡母、鸡雏各有4只、18只、78只或8只、11只、81只或12只、4只、84只. (1)(2) 1.求方程组的解集. 将④代入①③得解得 由②⑤组成方程组,得 解得将其代入①得z=7. 【例1】 (1)若关于x,y的方程组的解集相等,则a+b=　　　　　.  解析 ∵方程组的解集相同, ∴方程组的解也是它们的解, 由解得 ∴解得∴a+b=4-. (2)求方程组的解集. 解 方程组整理得 ,则a+b的值为　　　　　.  解析 ∵(3,-2)∈, ∴两式相加可得a+b=-1. (2)求方程组的解集. 解 将原方程组化简整理,得 【例2】 解方程组 变式训练2已知是方程组的一组解,求此方程组的另一组解. 解 将代入方程组中,解得即原方程组化为由x+y=1得x=1-y,将x=1-y代入方程x2+y2=13中可得 y2-y-6=0,即(y-3)(y+2)=0,解得y=3或y=-2,将y=3代入x+y=1中可得x=-2, ∴方程组的另一组解为 (1) ③与④组成二元一次方程组 解这个方程组,得 ⑤与⑥组成二元一次方程组 解这个方程组,得把x=3代入④,得y=-1. (2) (方法二)由①,得x=y,④ 由②,得z=y.⑤ 把④和⑤代入③,得y+y+y=20,解得y=4. 变式训练3(1)如果其中xyz≠0,那么x∶y∶z=(　　) 解析 已知 (2)求方程组的解集. ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组,得 则有解得故选B. 根据题意,得解得 解得所以交点为(1,2).故选D. ∴解得 A. B. C. D. 4.[探究点一]关于x,y的二元一次方程组的解集为{(1,-1)},则a-2b的值为　　　　　,的值为　　　　　.  解析 由题意,得解得 ∴a-2b=-2×(-)=2,×(-3)=-4. 5.[探究点二·2023北京西城高一阶段练习]方程组的解集是　　　　　　　　　　.  {(0,1),(-)} 解析 由解得∴方程组的解集为{(0,1),(-)}. (1) 解得代入z=3-3x-y可得z=-2,故方程组的解集为{(1,2,-2)}. (2) 解得x1=1,x2=-, 代入y=2x-1可得y1=1,y2=-, 故方程组的解集为{(1,1),(-,-)}. 7.若则xyz=(　　) A.2 B. C.± D.3 题意得 9.已知x,y,z满足方程组的值为　　　　.  ②×4-①得11y-22z=0,解得y=2z.将y=2z代入②得x=3z.将x=3z,y=2z代入所求式子得. 解 把(0,-7),(1,-9),(-1,-3)分别代入y=ax2+bx+c,得解得 解 由①得2y=(1+a)-ax,将其代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2). 当a≠2且a≠-1时,该方程有唯一解x=,则y=,故原方程组的解集为{()}; $$