2.2.4 均值不等式及其应用（第1课时 均值不等式）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第二章　等式与不等式 2.2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 人教B版 数学 必修第一册 课程标准 1.能通过对两个正数的算术平均值与几何平均值的比较抽象出均值不等式. 2.能够利用求差法推导均值不等式,理解均值不等式的几何意义. 3.明确均值不等式的形式及等号成立的条件,会用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 均值不等式 1.给定两个正数a,b,数 称为a,b的　　　　　　　　　;数 称为a,b的　　　　　　　　　.  2.均值不等式:如果a,b都是　　　　,那么　　　　　　　,当且仅当 　　　　　时,等号成立.均值不等式也称为　　　　　　　　　　,其实质是:两个正实数的算术平均值　　　　　　它们的几何平均值.  算术平均值 几何平均值 正数 a=b 基本不等式 不小于 名师点睛 1.重要不等式 对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 2.不等式a2+b2≥2ab的变形 3.均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的比较 不等式 a2+b2≥2ab 适用范围 a,b∈R a>0,b>0 文字叙述 两数的平方和不小于它们积的2倍 两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值 等号成立 的条件 a=b a=b 4.均值不等式的变形 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) × × × 2.已知实数x,y满足x2+y2=2,那么xy的最大值为(　　) C 解析 由x2+y2=2≥2xy,可得xy≤1,当且仅当x=y=1或x=y=-1时,等号成立.故选C. 知识点2 重要结论 已知x,y都为正数,则 名师点睛 利用均值不等式求最值的注意事项 当应用均值不等式求最值时,要把握其成立的三个条件:一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可. 二定:积或和为定值.积为定值,和有最小值;和为定值,积有最大值.为了利用均值不等式,有时对给定的代数式要进行适当变形. 另外,在连续使用公式求最值时,等号成立的条件很严格,要求同时满足任何一次等号成立的字母取值存在且一致. 过关自诊 1.已知x>0,y>0,且x+y=1,则xy的最大值为　　　　.  2.[人教A版教材例题]已知x>0,求x+ 的最小值. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　对均值不等式的理解 【例1】 (1)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(　　) 分析 利用均值不等式时需注意使用条件. D 解析 对于A选项,当a=b时,应有a2+b2=2ab,所以A选项错;对于B,C,条件ab>0,只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误;对于D选项,因为ab>0, C 解析 因为a>0,所以当且仅当a=1时,a+1≥2 中等号成立. 变式训练1下列不等式的推导过程正确的是　　　　　.  ①② 解析 ①中因为x>1,所以x+ >2.②正确.③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件. 探究点二　利用均值不等式求最值 (2)已知0<x<1,求x(4-3x)的最大值. 规律方法　通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题: (1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形. (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提. 探究点三　利用均值不等式证明不等式 分析 不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用均值不等式,将和变积,并证得不等式. 证明 ∵a>0,b>0,c>0, ∵a,b,c为不全相等的正实数,∴等号不成立. (2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1, 分析 不等式右边的数字为8,使我们联想到对左边因式分别使用均值不等 证明 ∵a,b,c为正实数,且a+b+c=1, 由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得 规律方法　利用均值不等式证明不等式的注意事项 (1)利用均值不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的目的. (2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到. (3)解题时要注意技巧,当不能直接利用均值不等式时,可将原不等式进行组合、构造,变成能使用均值不等式的形式. (4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1的代换”,即把常数“1”替换为已知的式子,经过整理后再利用均值不等式进行证明. 变式训练3(1)已知a,b,c,d都是正数,证明:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd. 证明 因为a,b,c,d都是正数,所以 当且仅当ab=cd,且ac=bd时等号成立. 故(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 11 12 13 1.[探究点二]已知0<x<1,则当x(1-x)取最大值时,x的值为(　　) B 解析 ∵0<x<1,∴1-x>0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.[探究点二]已知x≠0,那么函数y=x2+ 有(　　) A.最大值2 B.最小值2 C.最小值4 D.最大值4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.[探究点三](多选题)设a>0,b>0,给出下列不等式恒成立的是(　 　) A.a2+1>a B.a2+9>6a ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.[探究点一](多选题)下列说法正确的是(　　) B.x2+1的最小值为1 C.3x(2-x)的最大值为2 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析 当x<0时,x+ <0,故选项A错误; ∵x2≥0恒成立,∴x2+1≥1,故选项B正确; ∵3x(2-x)=-3(x-1)2+3≤3,当x=1时等号成立, ∴3x(2-x)的最大值为3,故选项C错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.[探究点二]已知x>0,y>0,且满足 =1,则xy的最大值为　　　　　,取得最大值时y的值为　　　　　.  3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 级 关键能力提升练 11 12 13 A.有最小值1 B.有最大值1 C.有最小值-1 D.有最大值-1 D 又-4<x<1,∴x-1<0. ∴-(x-1)>0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(多选题)[2023江苏扬州高一校考期中]若a>0,b>0,a+b=2,则(　 　) ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对于C,由A选项得ab≤1,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立,故C正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知函数y=4x+ (x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=　　　　　.  36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.[2023广东佛山高一月考]二次函数y=ax2+4x+c的最小值为0,则 的最小值为　　　　　.  1 解析 由二次函数y=ax2+4x+c的最小值为0,则42-4ac=0,解得ac=4, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知不等式(x+y) ≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值. ∴正实数a的最小值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 级 学科素养创新练 13.[人教A版教材习题]已知x,y,z都是正数,求证:(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz. 所以(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz. 当且仅当x=y=z时,等号成立. (1)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立; (2)≥()2(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立. (1)ab≤(a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立; (2)a+b≥2(a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立. (1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2均成立.(　　) (2)若a≠0,则a+≥2=2.(　　) (3)若a>0,b>0,则ab<()2.(　　) A. B. C.1 D.2 (1)若x+y=S(和为定值),则xy≤()2=S2,当x=y时,积xy取得最大值S2,文字表述为“当两个正数的和为常数时,它们的积有最大值”. (2)若xy=P(积为定值),则x+y≥2=2,当x=y时,和x+y取得最小值2,文字表述为“当两个正数的积为常数时,它们的和有最小值”. 一正:各项必须为正数.例如,求代数式x+的最值时,不能直接用x+≥2=2.取特殊值x=-1,x+=-2,可见x+的最小值不为2,产生错误的原因是这里的x不一定为正数.只有各项为正数时才能利用均值不等式. 三相等:等号能否取到.例如,中,虽然的积为定值1,但是当时,有x2=-1不成立.所以≥2中等号不成立,即此时不能用均值不等式求最值. 解析 ∵x>0,y>0,且x+y=1,∴xy≤,当且仅当x=y=时,等号成立. 解 因为x>0,所以x+≥2=2,当且仅当x=,即x2=1,x=1时,等号成立,因此所求的最小值为2. A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 C. D.≥2 所以>0,>0,所以≥2=2,当且仅当a=b时,等号成立,D正确. (2)不等式a+1≥2(a>0)中等号成立的条件是(　　) A.a=0 B.a= C.a=1 D.a=2 规律方法　1.均值不等式(a>0,b>0)反映了两个正数的和与积之间的关系. 2.对均值不等式的掌握要抓住以下两个方面: (1)成立的条件是a,b都是正数; (2)“当且仅当”的含义:当a=b时,的等号成立,即a=b⇒;仅当a=b时,的等号成立,即⇒a=b. ①若x>1,则x+>2=2; ②若x<0,则x+=-[(-x)+(-)]≤-2=-4; ③若a,b∈R,则≥2=2. 【例2】 (1)已知x>1,求4x+1+的最小值. 解 因为x>1,所以x-1>0, 所以4x+1+=4(x-1)++5≥2+5=9, 当且仅当4(x-1)=,即x=时,等号成立, 所以4x+1+的最小值为9. (3)已知x<0,求3x+的最大值. 解 因为0<x<1,所以x(4-3x)=·3x·(4-3x)≤, 当且仅当3x=4-3x,即x=时,等号成立, 故x(4-3x)的最大值为. 解 因为x<0,所以-x>0.则3x+=-[+(-3x)]≤-2=-12,当且仅当=-3x,即x=-2时,等号成立,故3x+的最大值为-12. 变式训练2(1)已知x<,试求4x-2+的最大值. 解 因为x<, 所以4x-5<0,5-4x>0.所以4x-5+3+=-(5-4x+)+3≤-2+3=1. 当且仅当5-4x=时等号成立,又5-4x>0,所以5-4x=1,即当x=1时,4x-2+的最大值是1. (2)已知x>0,求的最大值. 解 原式=2-x-,因为x>0,所以x+≥4,所以2-x-=2-(x+)≤2-4=-2,当且仅当x=(x>0),即x=2时,等号成立,故的最大值是-2. (3)已知x>1,求的最小值. 解 令t==(x-1)++2,因为x-1>0,所以t≥2+2=8,当且仅当x-1=,即x=4时,等号成立,故的最小值为8. 【例3】 (1)已知a,b,c为不全相等的正实数,证明:a+b+c>. ∴a+b≥2>0,b+c≥2>0,c+a≥2>0. ∴2(a+b+c)≥2(), 即a+b+c≥. ∴a+b+c>. 证明:≥8. 式,可得三个“2”连乘;又-1=,可由此变形入手. ∴-1=, 同理可得-1≥-1≥. (-1)(-1)=8. 当且仅当a=b=c=时,等号成立. 故≥8. ab+cd≥2>0,ac+bd≥2>0, 于是(ab+cd)(ac+bd)≥2·2=4abcd. (2)已知a,b都是正数,求证:a+b+1≥. 证明 由a,b都是正数,则a+1≥2,b+1≥2,a+b≥2,所以2(a+b+1)≥2(),即a+b+1≥,当且仅当a=b=1时,等号成立. A. B. C. D. ∴x(1-x)≤,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立. 解析 ∵x≠0,则x2>0, ∴y=x2+≥2=2,当且仅当x=±1,等号成立,∴函数的最小值为2,故选B. C.(a+b)()≥4 D.(a+)(b+)≥4 解析 由(a2+1)-a=(a-)2+>0可得a2+1>a,故A正确; 由(a2+9)-6a=(a-3)2≥0可得a2+9≥6a,故B错误; 由(a+b)()=2+≥2+2=4,当且仅当a=b时,等号成立,故C正确; 由(a+)(b+)=(ab+)+9)≥2+2=4,当且仅当即a=b=1时,等号成立,故D正确.故选ACD. A.x+的最小值为2 D.x2+的最小值为2-2 ∵x2+=(x2+2)+-2≥2-2=2-2,当且仅当x2+2=时,等号成立,故选项D正确.故选BD. 5.[探究点二]已知x<3,则y=+x的最大值是　　　　.  解析 因为x<3,所以f(x)=3-[(3-x)+]≤3-2=3-4=-1.当且仅当3-x=,即x=1时等号成立.故y的最大值是-1. 解析 因为x>0,y>0且1=≥2,所以xy≤3.当且仅当,即x=,y=2时等号成立. 7.[探究点三]已知a,b,c为正数,求证:≥3. 证明左边=-1+-1+-1=-3. ∵a,b,c为正数, ∴≥2(当且仅当a=b时等号成立); ≥2(当且仅当a=c时等号成立); ≥2(当且仅当b=c时等号成立). 从而≥6(当且仅当a=b=c时等号成立). ∴-3≥3, 即≥3. 8.若-4<x<1,则(　　) 解析 [(x-1)+], ∴-[-(x-1)+]≤-1,当且仅当x-1=,即x=0时,等号成立.故选D. A.ab≤1 B. C.a2+b2≥2 D.≥2 解析 对于A,由均值不等式得,2=a+b≥2,则ab≤1,当且仅当a=b=1时,等号成立,故A正确; 对于B,令a=,b=时,,故不成立,故B错误; 对于D,)(a+b)=(1+1+)=1+)≥1+×2=2,当且仅当,即a=b=1时,等号成立,故D正确.故选ACD. 解析 y=4x+≥2=4(x>0,a>0),当且仅当4x=,即x=时,等号成立,此时y取得最小值4. 又由已知x=3时,ymin=4,∴=3,即a=36. 所以≥2=2=1,当且仅当a=c时,等号成立. 解 ∵(x+y)=1+a+, 又x>0,y>0,a>0,∴≥2=2,∴1+a+≥1+a+2, ∴要使(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2≥9恒成立即可. ∴(+1)2≥9,即+1≥3,∴a≥4, 证明因为x>0,y>0,z>0,所以x+y≥2>0,y+z≥2>0,z+x≥2>0, 所以(x+y)(y+z)(z+x)≥2·2·2, $$