第二章 等式与不等式章末总结提升课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第二章　等式与不等式 章末总结提升 人教B版 数学 必修第一册 网络构建·归纳整合 专题突破·素养提升 目录索引 网络构建·归纳整合 专题突破·素养提升 专题一　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【例1】 已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根. (1)是否存在实数k,使(2x1-x2)·(x1-2x2)=- 成立;若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. 规律方法　一元二次方程的解集及其根与系数的关系,虽在高考中不直接考查,但它是解决某些数学问题的基础,常在解题过程中用到,主要涉及一元二次方程的解集及其根与系数的关系的应用. 变式训练1若x1,x2是方程x2+2x-2 021=0的两个根,试求下列各式的值. 解 (1)根据题意可得x1+x2=-2,x1·x2=-2 021, (2)(x1-5)(x2-5)=x1·x2-5(x1+x2)+25=-1 986. 专题二　利用均值不等式求最值 【例2】 (多选题)[2023江西吉安高一期末]下列结论中,所有正确的结论是 (　　) BC 规律方法　运用均值不等式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用.当应用不等式的条件不满足时,要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形,使之满足使用不等式的条件,解题时要特别注意等号成立的条件. 变式训练2(多选题)[2023陕西宝鸡高一校联考期末]已知a,b为正实数,且a>1,b>1,ab-a-b=0,则(　　) A.ab的最大值为4 BD 专题三　不等式恒成立与不等式有解问题 【例3】 (1)已知y=-2x2+bx+c,不等式y>0的解集是(-1,3),若对于任意x∈ [-1,0],不等式y+t≤4恒成立,则t的取值范围是(　　) A.(-∞,2] B.(-∞,-2] C.(-∞,-4] D.(-∞,4] B 解析 由不等式y>0的解集是(-1,3),可知-1和3是方程-2x2+bx+c=0的根, 所以y=-2x2+4x+6,不等式y+t≤4化为t≤2x2-4x-2, x∈[-1,0],令y1=2x2-4x-2,x∈[-1,0],由二次函数图象的性质可知y1在[-1,0]上的最小值为-2,则t≤-2,即t的取值范围为(-∞,-2]. (2)[2023浙江温州高一校考阶段练习]对于∀x∈R,不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4 <0恒成立,则a的取值范围是(　　) A.(-2,2] B.[-2,2] C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞) A 解析 不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,当a-2=0,即a=2时, -4<0恒成立,满足题意; 当a-2≠0时,要使不等式恒成立, 解得-2<a<2, 综上可得,a的取值范围为(-2,2]. 故选A. 变式探究(改条件)本例(1)中将条件“若对于∀x∈[-1,0],不等式y+t≤4恒成立”改为“若∃x∈[-1,0],不等式y+t≤4成立”,求t的取值范围. 解 原式化为∃x∈[-1,0],不等式t≤2x2-4x-2成立,又因为2x2-4x-2的最大值为4,所以t≤4,t的取值范围是(-∞,4]. 规律方法　不等式在某区间上恒成立与不等式在某区间上有解(解集非空)问题是既有联系又有区别的两种情况,解题时应特别注意,两者都可转化为求最值问题. 变式训练3若不等式x2+x+m2<0的解集不是空集,则实数m的取值范围为 (　　) B 解析 ∵不等式x2+x+m2<0的解集不是空集, ∴方程x2+x+m2=0的判别式Δ>0,即1-4m2>0, 专题四　解含有参数的不等式 所以[(a-1)x-(a-2)](x-2)>0.① 当a=1时,①式可以转化为x>2; 规律方法　在解答含参的一元二次型的不等式时,为了做到分类不重不漏,常从以下三个方面考虑: 一是二次项系数分为正数,0与负数;二是关于不等式对应的方程的根的存在性的讨论,从判别式大于0,等于0,小于0进行分类;三是关于不等式对应的方程的根的大小的讨论. 变式训练4[2023河北承德高一期末]已知关于x的不等式ax2-3x+4<0. (1)若a=-1,求此不等式的解集; (2)若a<3,求关于x的不等式ax2-3x+4>ax+1的解集. 解 (1)若a=-1,此不等式化为x2+3x-4>0. (x+4)(x-1)>0,解得x>1或x<-4, 所以解集为{x|x>1或x<-4}. (2)当a<3时,由ax2-3x+4>ax+1得 ax2-(a+3)x+3>0,即(ax-3)(x-1)>0, 当a=0时,不等式化为x-1<0,不等式的解集为{x|x<1}; (2)求使-2的值为整数的实数k的整数值. 解 (1)不存在.理由如下, 假设存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立. ∵一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0有两个实数根, ∴解得k<0. 又x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根, ∴ ∴(2x1-x2)(x1-2x2)=2()-5x1x2=2(x1+x2)2-9x1x2=-=-. ∴k=. 又k<0,∴不存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立. (2)∵-2=-2=-4=-4=-, ∴要使其值是整数,只需k+1能被4整除,即k+1=±1,±2,±4. 又k<0,∴使-2的值为整数的实数k的整数值为-2,-3,-5. (1);(2)(x1-5)(x2-5);(3);(4)|x1-x2|. 所以. (3)=(x1+x2)(-x1x2+)=(x1+x2)·[(x1+x2)2-3x1x2]=-12 134. (4)|x1-x2|==2. A.若x<-3,则函数y=x+的最大值为-3 B.若xy>0,2x+3y=4xy,则2x+y的最小值为2+ C.若x,y∈(0,+∞),x2+y2+xy=3,则xy的最大值为1 D.若x>2,y>-2,x+2y=2,则的最小值为3+2 解析 选项A,由x<-3,则x+3<0,又因为y=x+3+-3=-[(-x-3)+]-3≤-2-3 =-5,当且仅当x=-4时,等号成立,错误; 选项B,因为xy>0,所以2x+3y=4xy可化为=4,则2x+y=(2x+y)() =(8+)≥(8+2)=2+,当且仅当时,等号成立,正确; 选项C,由x,y∈(0,+∞),x2+y2+xy=3,即xy=3-(x2+y2)≤3-2xy,解得xy≤1,当且仅当x=y时,等号成立,正确; 选项D,由=2,即≤1,即≥1,当且仅当x-2=2y+4,即x=4,y=-1时,等号成立,错误.故选BC. B.2a+b的最小值为3+2 C.a+b的最小值为3-2 D.的最小值为2 解析 根据题意,a>1,b>1,ab=a+b, 因为ab=a+b≥2,则≥2,即ab≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立,因此ab的最小值为4,A错误; 由ab=a+b,得=1,2a+b=(2a+b)()=3+≥3+2,当且仅当b=a=1+时,等号成立,B正确; 因为a+b=ab≤()2,则a+b≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立,因此a+b的最小值为4,C错误; 由ab-a-b=0得(a-1)(b-1)=1,则≥2=2,当且仅当,即a=b=2时,等号成立,D正确.故选BD. 即解得 则需即有 A.(-∞,) B.(-) C.[-] D.[,+∞) ∴-<m<. 故m的取值范围为(-). 【例4】 解不等式>1(a∈R). 解 原不等式等价于-1>0,即>0, 当a>1时,①式可以转化为(x-2)>0; 当a<1时,①式可以转化为(x-2)<0. 又当a≠1时,2-, 所以当a>1或a<0时,2>; 当a=0时,2=;当0<a<1时,2<. 综上所述,当a=1时,原不等式的解集是(2,+∞); 当a>1时,原不等式的解集是∪(2,+∞); 当0<a<1时,原不等式的解集是; 当a=0时,原不等式的解集是⌀; 当a<0时,原不等式的解集是(,2). 当a≠0时,令(ax-3)(x-1)=0,方程的两个根分别为,1. 当a<0时,不等式化为(x-)(x-1)<0,此时<1,不等式的解集为 . 当0<a<3时,此时>1,不等式的解集为 . 综上,当a<0时,不等式的解集为 ; 当a=0时,不等式的解集为{x|x<1}; 当0<a<3时,不等式的解集为 . $$