2.2.3 一元二次不等式的解法 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第二章　等式与不等式 2.2.3　一元二次不等式的解法 人教B版 数学 必修第一册 课程标准 1.理解一元二次不等式的定义. 2.能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式. 3.了解简单的分式不等式,并会求其解集. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 一元二次不等式的概念 不等号右边为0 一般地,形如　　　　　　　的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是　　　　　　　　　.  ax2+bx+c>0 “<”“≥”“≤” 名师点睛 1.一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种,注意a≠0.当a<0时,我们通常将不等式两边同乘以-1,化为二次项系数大于0的一元二次不等式,但要注意不等号要改变方向,这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式. 2.一元二次不等式一定为整式不等式,例如,x2+ <0就不是一元二次不等式. 3.理解一元二次不等式的定义时,还需了解下列概念: (1)如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式称为同解不等式; (2)将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式称为不等式的同解变形. 过关自诊 在下列不等式中,哪些是一元二次不等式(其中a,b,c,m为常数)? (1)ax2>0; (2)x3+5x-6≥0; (3)-x-x2≤0; (4)x2>0; (5)mx2-5y>0. 提示 题号 是不是一元二次不等式 理由 (1) 不是 当a=0时,不符合一元二次不等式的定义 (2) 不是 x的最高次数为3 (3) 是 符合一元二次不等式的定义 (4) 是 符合一元二次不等式的定义 (5) 不是 当m=0时,为一元一次不等式.当m≠0时,含有x,y两个未知数 知识点2 一元二次不等式的解法 1.因式分解法解一元二次不等式 一般地,如果x1<x2,则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是　　　　;  不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是　　　　　　　　　.  2.配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为　　　　　　或 　　　　　　　的形式,然后根据k的正负等知识,就可以得到原不等式的解集.  (x1,x2) (-∞,x1)∪(x2,+∞) (x-h)2>k　 (x-h)2<k 名师点睛 解一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够分解因式,即能够转化为两个一次因式的乘积形式,则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集. (2)若不等式对应的一元二次方程不能分解因式,则可对式子进行配方,化为完全平方式,再开根号求解. 过关自诊 1.不等式2+x-x2<0的解集为(　　) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-2,1) C.(-1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) A 解析 不等式可变形为x2-x-2>0,即(x-2)(x+1)>0,解得x<-1或x>2,所以不等式2+x-x2<0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).故选A. 2.[北师大版教材例题改编]求不等式9x2-6x+1>0的解集. 知识点3 分式不等式的解法 1.分式不等式的概念 分母中含有未知数的不等式称为分式不等式.各种分式不等式经过同解变形,都可化为标准形式 (≤0)(其中f(x),g(x)为整式,且g(x)不为0). 2.分式不等式的解法 解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解. 化分式不等式为标准型的方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 的形式. 将分式不等式转化为整式不等式的同解变形如下表: 名师点睛 过关自诊 C 重难探究·能力素养全提升 探究点一　一元二次不等式的解法 【例1】 (1)[2023广西桂林高一期末]若不等式ax2+bx-2<0的解集为 {x|-2<x<1},则a+b=(　　) A.-2 B.0 C.1 D.2 D 解析 不等式ax2+bx-2<0的解集为{x|-2<x<1},则方程ax2+bx-2=0的根为 -2,1, (2)[人教A版教材习题]求下列不等式的解集: ①13-4x2>0;②(x-3)(x-7)<0; ③x2-3x-10>0;④-3x2+5x-4>0. ②原不等式的解集是{x|3<x<7}. ③原不等式等价于(x-5)(x+2)>0, 所以原不等式的解集是{x|x>5或x<-2}. ④原不等式等价于3x2-5x+4<0, Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0,所以原不等式的解集是⌀. 规律方法　一元二次不等式的解题策略 (1)因式分解法:不等式的左端能够进行因式分解的可用此法,它只能适用于解决一类特殊的不等式. (2)配方法:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总可以化为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式,然后根据k值的正负即可求得不等式的解集. 变式训练1(1)[2023浙江宁波高一期末]已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-1或x>4},则下列说法正确的是(　　) A.a>0 C.a+b+c<0 D.不等式ax+b>0的解集为{x|x>3} B 解析 因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-1或x>4},所以a<0,所以选项A错误; 设f(x)=ax2+bx+c,则f(1)=a+b+c>0,所以选项C错误; 不等式ax+b>0为ax-3a>0,解得x<3,所以选项D错误.故选B. (2)解下列不等式: ①x2-4x-5≤0; 解 ①原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0,所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}. 探究点二　分式不等式的解法 分析 先把分式不等式化为等价的整式不等式后再求解 (-4,2) 解析 原不等式化为(x-2)·(x+4)<0,故-4<x<2. (2)若关于x的不等式ax-b>0的解集是(2,+∞),则关于x的不等式 >0的解集是(　　) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-2,2) D.(-1,2) 分析 根据不等式及解集,可判断a的符号及 =2.将所求不等式变形,结合一元二次不等式解法即可求得解集. B 解析 由x的不等式ax-b>0,变形可得ax>b,因为关于x的不等式ax>b的解 价于a(x+2)(x-2)>0,因为a>0,解得x<-2或x>2,即x∈(-∞,-2)∪(2,+∞). 解 因为 <0,所以(x-2)(x+4)>0,故x>2或x<-4.即x∈(-∞,-4)∪(2,+∞). 规律方法　 这里的f(x),g(x)为整式,且g(x)不为0. 探究点三　含参数的一元二次不等式的解法 【例3】 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R). 分析 将原不等式因式分解化为(ax-2)(x+1)≥0,对参数a分5种情况讨论: a=0,a>0,-2<a<0,a=-2,a<-2,分别解不等式. 解 原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0, 即(ax-2)(x+1)≥0, ①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1. 规律方法　解含参数的一元二次不等式的步骤 特别提醒　对应方程的根优先考虑用因式分解确定,不能因式分解时再求判别式Δ,用求根公式计算. 变式训练2[北师大版教材习题]求关于x的不等式x2-ax-2a2>0的解集,其中a是常数. 解 x2-ax-2a2>0等价于(x-2a)(x+a)>0. 当a=0时,x2>0,原不等式的解集为{x|x≠0}; 当a>0时,2a>-a,原不等式的解集为{x|x>2a或x<-a}; 当a<0时,2a<-a,原不等式的解集为{x|x>-a或x<2a}. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 11 12 13 14 15 16 1.[探究点一]不等式x(2x+7)≥-3的解集为(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.[探究点二]不等式 ≥0的解集为(　　) A.[-6,1] B.(-∞,-6]∪[1,+∞) C.[-6,1) D.(-∞,-6]∪(1,+∞) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.[探究点一]下列不等式的解集为R的是(　　) A.x2+x+1<0 B.x2+2x+1>0 C.-x2+x+1≤0 D.x2+x+1>0 D A不正确,D正确. 对于B,当x=-1时,x2+2x+1=0,故B不正确. 对于C,当x=0时,-x2+x+1=1>0,故C不正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.[探究点一]已知命题“∀x∈R,4x2+(a-2)x+ >0”是假命题,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,0]∪[4,+∞) B.[0,4] C.[4,+∞) D.(0,4) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.[探究点一]若不等式5x2-bx+c<0的解集为{x|-1<x<3},则b+c=　　　　.  -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (-1,1] 解析 由x2+x-2≤0,得-2≤x≤1. ∴A={x|x2+x-2≤0}=[-2,1], ∴B=(-∞,-1]∪(2,+∞).则∁RB=(-1,2], ∴A∩(∁RB)=(-1,1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.[探究点一]某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s(单位:m)和汽车车速x(单位:km/h)有如下关 这辆汽车刹车前的车速不低于　　　　　km/h.  80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.[探究点三]解不等式x2-2ax+a2-1>0(a为常数). 解 不等式可化为[x-(a-1)][x-(a+1)]>0,两根分别为x1=a-1,x2=a+1, ∵x2>x1, ∴不等式的解集为(-∞,a-1)∪(a+1,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 级 关键能力提升练 9.使不等式x2-x-6<0成立的一个充分不必要条件是(　　) A.-2<x<0 B.-3<x<2 C.-2<x<3 D.-2<x<4 A 解析 由x2-x-6<0得(x+2)(x-3)<0,得-2<x<3,使不等式x2-x-6<0成立的一个充分不必要条件,即对应范围是(-2,3)的一个真子集,结合选项知-2<x<0满足条件,故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(多选题)下列结论错误的是(　　) A.若函数y=ax2+bx+c(a≠0)对应的方程没有根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R B.不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 选项A,若a>0则解集为R,若a<0则解集为空集,错误; 选项B,由不等式对应的二次函数图象开口向下,说明a<0且至多与x轴有一个交点,故Δ=b2-4ac≤0,正确; 选项C,当a=0时x≤1,显然不符合题意,当a≠0时由二次函数的性质知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选题)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(- ,2),则下列结论正确的是 (　 　) A.a>0 B.b>0 C.c>0 D.a+b+c>0 BCD 由二次函数的图象可知当x=1时,y=a+b+c>0,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.若0<a<1,则不等式x2-3(a+a2)x+9a3≤0的解集为　　　　　　　　.  [3a2,3a] 解析 因为0<a<1,所以0<3a2<3a,而方程x2-3(a+a2)x+9a3=0的两个根分别为3a和3a2,所以不等式的解集为[3a2,3a]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.[人教A版教材习题改编]当k取什么值时,一元二次不等式2kx2+kx- <0的解集为R? 解得-3<k<0. 故k的取值范围是(-3,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.设p:实数x满足x2-2ax-3a2<0(a>0),q:2<x<4. (1)若a=1,且p,q都为真命题,求x的取值范围; (2)若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 解 (1)当a=1时,x2-2x-3<0,解得-1<x<3,即p:-1<x<3,又因为q:2<x<4,而p,q都为真命题,所以2<x<3.故x的取值范围是(2,3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知不等式ax2-3x+2>0. (1)若a=-2,求不等式的解集; (2)若不等式的解集为{x|x<1或x>b},求a,b的值. 解 (1)当a=-2时,得-2x2-3x+2>0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 级 学科素养创新练 16.[2023湖南株洲高一开学考试]解下列关于x的不等式(a为实数) (1)x2+2x+a<0; 解 原不等式对应的一元二次方程为x2+2x+a=0,Δ=4-4a,当a≥1时, Δ=4-4a≤0,原不等式解集为⌀; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示 不等式可化为(3x-1)2>0,原不等式的解集为 . >0(≥0)或<0 1.形如>a(a≠0)的分式不等式可同解变形为>0,故可转化为解g(x)[f(x)-ag(x)]>0. 2.解≥0(≤0)型的分式不等式,转化为整式不等式后,应注意分子可取零,而分母不能取零. 不等式≥0的解集为(　　) A. B. C. D. 解析 原不等式等价于(x-1)(2x+1)>0或x-1=0,解得x<-或x>1或x=1, 所以原不等式的解集为. 则解得∴a+b=2,故选D. 解 ①原不等式等价于x2<, 所以原不等式的解集是 . B.不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2-<x<2+} 由题得所以b=-3a,c=-4a,则不等式ax2+cx+b>0为x2-4x-3<0,解得2-<x<2+,所以选项B正确; ②-4x2+18x-≥0. ②原不等式可化为(2x-)2≤0,所以原不等式的解集为. 【例2】 (1)不等式>0的解集是　　　　.  集是(2,+∞),所以a>0且=2,则不等式>0可化为>0,即>0,等 变式探究(1)将例2(1)不等式改为<0,求不等式的解集. (2)将例2(2)中>0,改为<0,其他条件不变,求不等式的解集. 解 由题意,可得a>0且=2.不等式<0可化为<0,即<0,等价于a(x+2)(x-2)<0,因为a>0,解得-2<x<2,即x∈(-2,2). 分式不等式 同解变形1 同解变形2 >0 >0⇔或 >0⇔f(x)g(x)>0 <0 <0⇔或 <0⇔f(x)g(x)<0 ≥0 ≥0⇔ ≤0 ≤0⇔ ②当a>0时,原不等式化为(x+1)≥0,解得x≥或x≤-1. ③当a<0时,原不等式化为(x+1)≤0. 当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤; 当=-1,即a=-2时,解得x=-1满足题意; 当<-1,即-2<a<0时,解得≤x≤-1. 综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1}; 当a>0时,不等式的解集为 ; 当-2<a<0时,不等式的解集为 ; 当a=-2时,不等式的解集为{-1}; 当a<-2时,不等式的解集为 . A.(-∞,-3]∪[-,+∞) B.[-3,-] C.(-∞,-2]∪[-,+∞) D.[-2,-] 解析 不等式≥0等价于解得-6≤x<1.故不等式≥0的解集为{x|-6≤x<1}. 解析 x2+x+1=(x+)2+>0恒成立,所以不等式x2+x+1>0的解集为R,故 解析 若“∀x∈R,4x2+(a-2)x+>0”是真命题,即判别式Δ=(a-2)2-4×4×<0,解得0<a<4, 所以命题“∀x∈R,4x2+(a-2)x+>0”是假命题,实数a的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞).故选A. 解析 由题意可得,-1和3是方程5x2-bx+c=0的两个根,∴解得所以b+c=-5. 6.[探究点一、二]已知集合A={x|x2+x-2≤0},B=,则A∩(∁RB)=　　　　.  由≥0,得x≤-1或x>2. 系:s=x+x2.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离不小于40 m,那么 C.若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R,则a≤- D.不等式>1的解集为(-∞,1) 解得a≤-,正确; 选项D,-1=>0,解得0<x<1,错误.故选AD. 解析 因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(-,2),故对应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,所以a<0,故A错误; 易知2和-是方程ax2+bx+c=0的两个根,则有=-1<0,->0,又因为a<0,故b>0,c>0,故BC正确; 解 根据一元二次不等式解集的特征得 (2)由a>0,x2-2ax-3a2<0,得-a<x<3a,q是p的充分不必要条件,则且等号不能同时取得,所以a≥. 故a的取值范围是[,+∞). (2)由不等式的解集为{x|x<1或x>b},可知1和b是方程ax2-3x+2=0的两个根,所以解得 因式分解得(2x-1)(x+2)<0,解得-2<x<.故不等式的解集为(-2,). 当a<1时,对应一元二次方程的两个解为x=-1±,所以x2+2x+a<0的解为-1-<x<-1+. 综上所述,当a≥1时,原不等式的解集为⌀; 当a<1时,原不等式的解集为{x|-1-<x<-1+}. (2)>0. 解 原不等式等价于(ax-1)(x-2)>0,当a=0时,不等式的解集为(-∞,2); 当a<0时,原不等式可化为(-ax+1)(x-2)<0,因为<2,所以不等式的解集为(,2); 当0<a<时,>2,不等式的解集为(-∞,2)∪(,+∞); 当a=时,原不等式等价于(x-1)(x-2)>0,所以(x-2)2>0,不等式的解集为{x|x≠2}; 当a>时,<2,不等式的解集为(-∞,)∪(2,+∞). 综上所述,当a=0时,不等式的解集为(-∞,2); 当a<0时,不等式的解集为(,2); 当0<a≤时,不等式的解集为(-∞,2)∪(,+∞); 当a>时,不等式的解集为(-∞,)∪(2,+∞). $$