1.1.2 集合的基本关系课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第一章　集合与常用逻辑用语 1.1.2　集合的基本关系 人教B版 数学 必修第一册 课程标准 1.理解集合之间包含与相等的含义,会求一些给定集合的子集. 2.能使用维恩图表示集合之间的关系,尤其要注意空集这一特殊集合的意义. 3.理解集合关系与其特征性质之间的关系,并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 维恩图 如果用平面上一条　　　 　　　来表示集合,那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图通常称为维恩图.  对维恩图的理解 (1)维恩图为利用数形结合法求解集合问题创造了条件. (2)用维恩图表示集合的优点是能够直观地表示集合与集合间的关系,缺点是集合中元素的特征性质不明显 封闭曲线的内部 过关自诊 集合能用直观图形来表示吗? 提示 能,可以用封闭的曲线表示集合,解决问题更加直观. 知识点2 子集、真子集、集合相等的概念 A⊆B(或B⊇A) 任意一个元素　 集合B 不属于 A⫋B(或B⫌A)　 A=B 名师点睛 1.对子集的理解 (1)如果集合A中存在着不是集合B的元素,那么A不包含于B,或B不包含A,分别记作A⊈B或B⊉A. (2)若A⊆B,则A有以下三种情况: ①A是空集;②A是由B的部分元素组成的集合;③A是由B的全部元素组成的集合. 故不能简单地认为“若A⊆B,则A是由B的部分元素组成的集合”. 2.对真子集的理解 (1)真子集的概念也可以叙述为:若集合A⊆B,存在元素x∈B且x∉A,则称集合A是集合B的真子集. (2)集合A是集合B的真子集,需要满足以下两个条件:①集合A是集合B的子集;②存在元素x∈B,且x∉A.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不成立. (3)⌀是任何非空集合的真子集,这里强调的是“非空”两字,解题时不能丢掉空集这一情况. (4)任何集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集. 过关自诊 1.用适当的符号填空(⫋,=,⊈). (1){0,1}　　　　　N;  (2){2}　　　　　{x|x2=x};  (3){2,1}　　　　　{x|x2-3x+2=0}.  ⫋ ⊈ = 2.下列写法哪些是正确的? ①0={0};②{0}⊆{0};③0∈{0};④0⫋{0}. 提示 只有②③写法是正确的,一般地,元素与集合之间是属于关系,而反映两个集合间的关系一般用子集、真子集或相等. 知识点3 子集、真子集的性质 由子集、真子集和空集的概念可得: (1)空集是任意一个集合A的子集,即　　　　　;  (2)任意集合A是它自身的子集,即　　　　　;  (3)空集只有一个子集,即它自身; (4)对于集合A,B,C,由A⊆B,B⊆C可得　　　　　;  (5)对于集合A,B,C,由A⫋B,B⫋C可得　　　　　.  ⌀⊆A A⊆A A⊆C A⫋C 名师点睛 1.∈与⊆、a与{a}、{0}与⌀的区别 (1)∈与⊆的区别:∈表示元素与集合之间的关系,因此,有 等;⊆表示集合与集合之间的关系,因此,有Q⊆R,⌀⊆R等. (2)a与{a}的区别:一般地,a表示一个对象,而{a}表示由一个元素组成的集合(常称单元素集),a是集合{a}的一个元素.因此,有a∈{a},不能写成a={a}. (3){0}与⌀的区别:{0}是含有一个元素的集合,⌀是不含任何元素的集合.因此,有⌀⊆{0},不能写成⌀={0},⌀∈{0}. 2.有限集合的子集问题 若有限非空集合A中含有n个元素,则有: (1)集合A的子集的个数为2n; (2)集合A的真子集的个数为2n-1; (3)集合A的非空子集的个数为2n-1; (4)集合A的非空真子集的个数为2n-2. 如集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为⌀,{1},{2},{1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为⌀,{1},{2};非空子集个数为22-1=3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分别为{1},{2}. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)任何集合至少有两个子集.(　　) (2){0,1,2}⊆{2,0,1}.(　　) (3)若A⊆B,且A≠B,则A⫋B.(　　) (4)集合{0,1}的子集是{0},{1},{0,1}.(　　) × √ √ × 2.以下五种写法:①{0}∈{0,1,2};②⌀⊆{1,2};③⌀∈{0};④{0,1,2}={2,0,1};⑤0∈⌀中正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 解析 对于①,是集合与集合的关系,应该是{0}⊆{0,1,2},∴①错误; 对于②,空集是任何集合的子集,⌀⊆{1,2},∴②正确; 对于③,⌀是一个集合,是集合与集合的关系,⌀⊆{0},∴③错误; 对于④,根据集合中元素的无序性可知{0,1,2}={2,0,1},∴④正确; 对于⑤,⌀是空集,表示没有任何元素,应该是0∉⌀,∴⑤错误. ∴正确的是②④.故选B. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　集合关系的判断 【例1】 已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},则A与B的关系是(　　) A.A⫋B B.A=B C.B⫋A D.A⊈B A 解析 由题意知,B={x|x≥1},将A,B表示在数轴上,如图所示.由数轴可以看出,集合A中元素全部在集合B中,且B中至少存在一个元素不属于集合A,所以A⫋B. 变式探究例1中将集合B改为{x|x+3>4},则集合A与B是什么关系? 解 A⊈B,且B⊈A. 规律方法　判断两个集合之间的关系,一般是依据子集等相关定义分析.对于两个连续数集,则可将集合用数轴表示出来,数形结合判断,需注意端点值的取舍. 规律方法　将集合中元素的特征性质进行等价变形,从而发现各性质之间的关系,最后得到集合之间的关系. A⫋B ∵2k+1可以表示任何奇数,k可以表示任何整数. ∴A⫋B. 变式训练1[北师大版教材习题]判断下列各组中两个集合之间的关系: (1){1,2,3}与{x|x是6的正因数}; (2){x|x=3n,n∈Z}与{x|x=6k,k∈Z}. 解 (1)因为{x|x是6的正因数}={1,2,3,6}, 所以{1,2,3}⫋{x|x是6的正因数}. (2)因为{x|x=6k,k∈Z}={x|x=3×2k,k∈Z}={x|x=3k',k'是偶数},所以{x|x=3n,n∈Z}⫌{x|x=6k,k∈Z}. 探究点二　确定集合的子集、真子集 【例3】 (1)已知集合A={x∈R|x2+x=0},则集合A=　　　　　.若集合B满足{0}⫋B⊆A,则集合B=　　　　　.  {-1,0} {-1,0} 解析 因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,所以集合A={x∈R|x2+x=0}={-1,0},因为集合B满足{0}⫋B⊆A,所以集合B={-1,0}. (2)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出集合A的所有子集. 解 因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N}, 所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}. 所以A的子集有:⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1), (2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}. 规律方法　1.求集合子集、真子集的步骤 2.求元素个数有限的集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集:⌀和自身; (2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏. 变式训练2(1)集合A={x∈N|1≤x<4}的真子集的个数是(　　) A.16 B.8 C.7 D.4 (2)已知集合M满足{1,2}⊆M⫋{1,2,5,6,7},则符合条件的集合M有 　　　　个.  C 解析 ∵A={x∈N|1≤x<4}={1,2,3},∴A={x∈N|1≤x<4}的真子集为⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共7个.故选C. 7 解析 根据子集、真子集的定义,可得集合M必定含有1,2两个元素,而且含有5,6,7中的至多两个元素,因此,满足条件{1,2}⊆M⫋{1,2,5,6,7}的集合M有{1,2},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7},共7个. 探究点三　两个集合相等及其应用 【例4】 已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},若A=B,求x,y的值. 分析A=B→列方程组→解方程组求x,y 解 ∵A=B,∴集合A与集合B中的元素相同. 变式探究已知集合 ={0,a2,a+b},求a2 023+b2 022的值. 所以b=0,此时有{1,a,0}={0,a2,a}. 所以a2=1,a=±1. 当a=1时,不满足集合元素的互异性,所以a=-1. 所以a2 023+b2 022=(-1)2 023+0=-1. 规律方法　1.判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同,有两种方法:(1)将两个集合的元素一一列举出来,进行比较;(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两个集合相等. 2.两个集合相等的问题一般转化为解方程(组),但要注意最后需检验,看是否满足集合元素的互异性. 3.找准两个集合中对应相等的元素是解决集合相等问题的关键. 探究点四　由集合间的关系求参数的取值范围 【例5】 已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}. (1)若a=-1,试判断集合A,B之间的关系; 分析令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其关系. 解 若a=-1,则B={x|-5<x<-3}. 如图,在数轴上标出集合A,B. 由图可知,B⫋A. (2)若A⊇B,求实数a的取值范围. 分析根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两个集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件. 解 由已知A⊇B. ①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立. ②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1. 如图,在数轴上表示出两个集合, 又因为a<1,所以-1≤a<1. 综上,a的取值范围为[-1,+∞). 变式探究本例(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由. 解 因为A={x|-5<x<2},所以若A⊆B,则B一定不是空集. 规律方法　由集合间的关系求参数的取值范围问题中的两点注意事项 (1)求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示. (2)涉及“A⊆B,且B≠⌀”或“A⫋B,且B≠⌀”的问题,一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论,其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起足够的重视. 变式训练3[2023江苏高一专题练习]设集合A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⫋B,则实数a的取值范围是　　　　　.  [2,+∞) 解析 因为A={x|1<x<2},B={x|x<a},A⫋B,所以a≥2. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 11 12 13 14 15 16 17 1.[探究点二]集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}的子集的个数是(　　) A.16 B.8 C.7 D.6 B 解析 ∵x∈N,n∈N, ∴集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}={1,3,5}. ∴其子集的个数是23=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.[探究点一](多选题)已知集合A={0,1,2},B={1,m},若B⊆A,则实数m的取值可以是(　　) A.0 B.2 C.1 D.3 AB 解析由A={0,1,2},B={1,m},B⊆A,得B={1,0}或B={1,2}.所以实数m的取值可以是0,2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3.[探究点一](多选题)设集合A={x∈Z|x<-1},则下列说法正确的是(　　) A.⌀⊆A B. ∈A C.0∈A D.{-2}⫋A AD 解析选项B中 ∉A,选项C中0∉A,故AD正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.[探究点三]已知集合M={3,4},N={x|(x-3)(x+a)=0,a∈R},若M=N,则a=(　　) A.3 B.4 C.-3 D.-4 D 解析 因为M={3,4}且M=N,所以3∈N,且4∈N, 又因为N={x|(x-3)(x+a)=0,a∈R}, 所以x=3和x=4为方程(x-3)(x+a)=0的两个实数根,所以a=-4.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.[探究点一]已知集合A={x|x2=4},①2⊆A;②{-2}∈A;③⌀⊆A;④{-2,2}=A;⑤-2∈A.则上列式子表示正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 解析 ∵A={x|x2=4}={-2,2},故④正确,∴2∈A,故①错误;-2∈A,故⑤正确; {-2}⫋A,故②错误;⌀⊆A,故③正确.所以正确的有3个.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.[探究点四]设A=(2,4),B={x|a-1<x<a},若B⫋A,则实数a的取值范围是　　　　　.  [3,4] 解析 ∵B⫋A且B≠⌀, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.[探究点一]已知集合A={-1,3,0},B={3,m2},若B⊆A,则实数m的值为　　　　　.  0 解析 因为B⊆A,所以m2=-1(舍去)或m2=0,解得m=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.[探究点三]已知集合A={x|x2-ax+b=0,a∈R,b∈R}. (1)若A={1},求a,b的值; (2)若B={x∈Z|-3<x<0},且A=B,求a,b的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.[探究点四]设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠⌀,B⊆A,求a,b的值. 解 由B⊆A,知B中的所有元素都属于集合A. 又B≠⌀,故集合B有三种情形:B={-1}或B={1}或B={-1,1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 10.集合A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=4k±1,k∈Z},则(　　) A.A=B B.A⫋B C.B⫋A D.不能确定 A 解析 ∵A={x|x=2k-1,k∈Z}, ∴当k=2n,n∈Z时,x=4n-1,n∈Z; 当k=2n+1,n∈Z时,x=2(2n+1)-1=4n+1,n∈Z. ∴A={x|x=2k-1,k∈Z}={x|x=4n±1,n∈Z}. ∵B={x|x=4k±1,k∈Z},∴A=B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.(多选题)若集合A={x|ax2-2x-1=0}恰有两个子集,则a的值可能是(　　) A.0 B.-1 C.1 D.0或1 AB 解析 集合A中恰有两个子集,则A中只有一个元素,当a=0时,A= ,满足题意;当a≠0时,Δ=4+4a=0,即a=-1时,A={-1},满足题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16 解析 根据题意可知A={0,1,3,9},故A的子集个数为24=16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.已知集合P={x|x2=9},集合Q={x|ax=3},若Q⊆P,则-3　　　　　P(用适当的符号填空),a的值组成的集合为　　 　　　.  ∈ {1,-1,0} 解析 P={x|x2=9}={x|x=3或x=-3},所以-3∈P. 又因为Q={x|ax=3},若Q⊆P,则当a=0时,Q=⌀,满足题意; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}. (1)若A⊆B,求实数a的值; (2)若B⊆A,求实数a的取值范围. 解 (1)A={x|x2+4x=0}={-4,0},因为A⊆B,所以-4和0是方程x2+2(a+1)x+a2-1 =0的两个根, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2)A={x|x2+4x=0}={-4,0},因为B⊆A,所以当B=⌀时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1,符合题意; 综上,实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.已知集合A={a,a-1},B={2,y},C={x|1<x-1<4}. (1)若A=B,求y的值; (2)若A⊆C,求a的取值范围. 解 (1)若a=2,则A={1,2},所以y=1.若a-1=2,则a=3,A={2,3},所以y=3.综上,y的值为1或3. (2)由条件知,A为非空集合. 所以a的取值范围是(3,5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.已知A={x∈R|2a≤x≤a+3},B={x∈R|x<-1或x>4},若A⊆B,求实数a的取值范围. 解 ①当a>3即2a>a+3时,A=⌀,满足A⊆B; ②当a≤3即2a≤a+3时,若A⊆B, 综上,实数a的取值范围是(-∞,-4)∪(2,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 学科素养创新练 17.已知集合A={x|x2+2x-a=0}. (1)若⌀是A的真子集,求实数a的取值范围; (2)若B={x|x2+x=0},且A是B的子集,求实数a的取值范围. 解 (1)∵⌀是A的真子集, ∴A={x|x2+2x-a=0}≠⌀, ∴Δ=4+4a≥0,解得a≥-1. ∴a的取值范围是[-1,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2)B={x|x2+x=0}={0,-1}, ∵A⊆B,∴A=⌀,{0},{-1},{0,-1}, 当A=⌀时,则Δ=4+4a<0,∴a<-1; 当A是单元素集合时,Δ=4+4a=0,解得a=-1,此时A={-1},符合题意; 当A={0,-1}时,根据韦达定理有0-1=-1≠-2,不符合题意. 综上,a的取值范围是(-∞,-1]. ∈Q,∉Q 【例2】 已知集合A={x {,B={x },则A与B之间的关系是　　　　　.  解析 集合A= ,集合B= . ∴解得 验证得,当x=0,y=0时,A={2,0,0},这与集合元素的互异性相矛盾,舍去. ∴x,y的值为 解 因为{0,a2,a+b}=,所以0∈. 由图可得解得-1≤a≤4. 此时有显然这样的实数a不存在. ∴即a的取值范围是[3,4]. 解 (1)若A={1},则有解得 (2)B={x∈Z|-3<x<0}={-2,-1}, 因为A=B,所以解得 当B={-1}时,解得 当B={1}时,解得 当B={-1,1}时,解得 综上所述,a,b的值为 12.设集合A= ,则集合A的子集个数为　　　　　.  当a≠0时,Q={x|ax=3}= ,则=3或=-3,解得a=1或a=-1. 所以解得a=1, 所以实数a的值是1. 当B={-4}时,无解; 当B={0}时, 解得a=-1,符合题意; 当B={-4,0}时,解得a=1. 因为C={x|2<x<5},所以解得3<a<5. 则有解得a<-4或2<a≤3, $$