1.2.1 命题与量词课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第一章　集合与常用逻辑用语 1.2.1　命题与量词 人教B版 数学 必修第一册 课程标准 1.理解命题的概念,并会判断命题的真假. 2.理解全称量词、存在量词的含义. 3.掌握全称量词命题与存在量词命题的真假判断. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 命题的概念与分类 1.命题的概念:可供　　　　　　的　　　　　　就是命题.  2.分类 真假判断 陈述语句 真 假 名师点睛 对命题的理解 (1)有一类陈述句在数学或其他科学技术中经常出现,但目前不能确定这些语句的真假,随着时间的推移,总能确定它们的真假,这一类语句仍然是命题; (2)命题的真假是确定的,一个命题要么为真,要么为假,不能无法判断; (3)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题. 过关自诊 1.(多选题)下列四个命题中是真命题的是(　 　) A.一切实数均有相反数 B.∃x∈N,使得方程ax+1=0无实数根 C.梯形的对角线相等 D.有些三角形不是等腰三角形 ABD 解析 对于A,一切实数均有相反数,正确;对于B,当x=0时,方程ax+1=0无实数根,正确;对于C,只有等腰梯形的对角线相等,错误;对于D,有些三角形不是等腰三角形,正确.故选ABD. 2.下列命题中,真命题共有(　　) ①面积相等的三角形是全等三角形;②若xy=0,则|x|+|y|=0;③若a>b,则a+c>b+c;④矩形的对角线互相垂直. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A 解析 ①②④是假命题,③是真命题. 3.下列命题为假命题的是(　　) A.若a=b,则a+c=b+c B.若a+c=b+c,则a=b C.若a=b,则ac=bc D.若ac=bc,则a=b D 解析 易知A,B,C均为真命题,对于选项D,当a=1,b=2,c=0时,ac=bc,但a≠b,D为假命题.故选D. 知识点2 全称量词与全称量词命题 1.概念 一般地,“　　　　”“　　　　”“　　　　　”在陈述中表示所述事物的全体,称为　　　　量词,用符号“　　　”表示.含有全称量词的命题,称为　　　　　　　　.  2.表示 全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x,r(x)”的命题,可简记为　　　 　　.  任意 所有 每一个 全称 ∀ 全称量词命题 ∀x∈M,r(x) 3.全称量词命题的真假判定 要判定全称量词命题是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明r(x)成立,但要判定全称量词命题是假命题,只需举出一个x∈M,使得r(x)不成立即可. 名师点睛 对全称量词与全称量词命题的理解 (1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题. (2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等. (3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“∀x,y∈R,x2+y2≥0”. (4)全称量词命题中含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 过关自诊 1.下列命题中全称量词命题的个数是(　　) ①任意一个自然数都是正整数;②有的矩形是正方形;③三角形的内角和是180°. A.0 B.1 C.2 D.3 C 解析 ①③是全称量词命题. 2.[北师大版教材习题]判断下列命题是不是全称量词命题,如果是,指出其中的全称量词: (1)每一个多边形的外角和都是360°; (2)所有的素数都是奇数; (3)对任意的无理数x,x2也是无理数; (4)∀x∈R,x都有平方根; (5)∀x∈R,有-x2≤0. 提示 (1)“每一个多边形的外角和都是360°”是全称量词命题,“每一个”是全称量词. (2)“所有的素数都是奇数”是全称量词命题,“所有”是全称量词. (3)“对任意的无理数x,x2也是无理数”是全称量词命题,“任意”是全称量词. (4)“∀x∈R,x都有平方根”是全称量词命题,“∀”(即任意)是全称量词. (5)“∀x∈R,有-x2≤0”是全称量词命题,“∀”(即任意)是全称量词. 知识点3 存在量词与存在量词命题 1.概念 “　　　　”“　　　　”“　　　　　　”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为　　　　量词,用符号“　　　　”表示.含有存在量词的命题,称为　　　　　　　　.  2.表示 存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x,s(x)”的命题,可简记为“∃x∈M,s(x)”. 存在 有 至少有一个 存在 ∃ 存在量词命题 3.存在量词命题真假判定 要判定一个存在量词命题是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使s(x)成立即可,否则这一存在量词命题就是假命题. 名师点睛 对存在量词与存在量词命题的理解 (1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题. (2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等. (3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题. (4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“∃a,b∈R,使(a+b)2=(a-b)2”. (5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 过关自诊 1.在下列命题中,是真命题的是(　　) A.∀x∈R,x2>0 B.∀x∈R,x2+2x>0 D.∃x∈R,x(x-1)=6 D 解析 ∀x∈R,x2≥0,故排除A; 取x=0,则x2+2x=0,故排除B; 因为 ≥0,故排除C;取x=-2,则x(x-1)=6, 故D正确. 2.[北师大版教材习题]判断下列命题是不是存在量词命题,如果是,指出其中的存在量词: (1)实数都能写成小数; (2)在实数集内,有些一元二次方程无解; (3)在平面内,过直线外一点,存在另一条直线与其垂直; (4)存在一个自然数n,使代数式n2-2n+2的值是负数. 提示 (1)“实数都能写成小数”不是存在量词命题. (2)“在实数集内,有些一元二次方程无解”是存在量词命题,“有些”是存在量词. (3)“在平面内,过直线外一点,存在另一条直线与其垂直”是存在量词命题,“存在”是存在量词. (4)“存在一个自然数n,使代数式n2-2n+2的值是负数”是存在量词命题,“存在”是存在量词. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　命题的判断 【例1】 判断下列语句是不是命题,若是,判断其真假,并说明理由. (1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗? (2)求证 是无理数. (3)并非所有的人都喜欢苹果. (4)大角所对的边大于小角所对的边. (5)x∈R,x2+4x+4≥0. 分析根据命题的定义进行判断. 解 (1)疑问句,没有对“垂直于同一条直线的两条直线平行”作出判断,不是命题. (2)祈使句,不是命题. (3)真命题,人群中有的人喜欢苹果,也存在着不喜欢苹果的人. (4)假命题,必须在同一个三角形或全等三角形中. (5)真命题,x2+4x+4=(x+2)2≥0,对于x∈R,可以判断真假,它是命题,且是真命题. 规律方法　判断一个语句是不是命题的关键点: (1)“是陈述句”; (2)“可以判断真假”. 这两个条件缺一不可.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句均不是命题. 变式训练1(多选题)[2023江苏高一专题练习]下列语句不是命题的有(　　) A.x2-3=0 B.与一条直线相交的两直线平行吗? C.3+1=5 D.5x-3>6 ABD 解析 对于选项A,x2-3=0不能判断真假,故不是命题; 对于选项B,语句为疑问句,故不是命题; 对于选项C,3+1=5是错误的,能判断真假,故是命题; 对于选项D,5x-3>6不能判断真假,故不是命题. 故选ABD. 探究点二　全称量词命题与存在量词命题的辨析 【例2】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)梯形的对角线相等. (2)存在一个四边形有外接圆. (3)二次方程都存在实数根. (4)每个四边形的内角和都是360°. 分析首先确定量词,然后判断命题的类型. 解 (1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”,很显然为全称量词命题. (2)命题为存在量词命题. (3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”,故为全称量词命题. (4)命题为全称量词命题. 规律方法　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 变式训练2判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题: (1)凸多边形的外角和等于360°. (2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|. (4)至少有一个整数n,使得n2+n为奇数. 解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,是全称量词命题. (2)含有存在量词“有些”,故是存在量词命题. (3)含有全称量词“任意”,故是全称量词命题. (4)命题为存在量词命题. 探究点三　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【例3】 判断下列命题的真假. (1)∀x∈R,x2+1> . (2)∃α,β∈R,(α-β)2=(α+β)2. (3)存在一个数既是偶数又是负数. (4)每一条线段的长度都能用正有理数表示. (5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立. 分析对于全称量词命题,判断为真,需要证明,判断为假,举出反例;对于存在量词命题,判断为真,举出特例,判断为假,需要证明. (2)真命题,例如α=0,β=1,符合题意. (3)真命题,如-2,-4等,就既是偶数又是负数. (4)假命题,如:边长为1的正方形的对角线长为 ,它的长度就不是有理数. (5)假命题,因为该方程的判别式Δ=-31<0,故无实数解. 规律方法　判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法 (1)要判断一个全称量词命题为真,必须对给定集合中的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假. (2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对给定集合中的每一个元素x,使命题p(x)为假. 变式训练3指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假. (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点. (2)存在一个实数,它的绝对值不是正数. (3)∃x,y∈Z,使3x-4y=20. (4)任何数的0次方都等于1. 解 (1)全称量词命题.在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题. (2)存在量词命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数,所以该命题是真命题. (3)存在量词命题.取x=0,y=-5,则3×0-4×(-5)=20成立,所以该命题是真命题. (4)全称量词命题,0的0次方无意义,所以该命题是假命题. 探究点四　全称量词命题、存在量词命题的应用 【例4】 (1)已知命题p:∃x∈[- ,+∞),2x+2-a=0为真命题,求实数a的取值范围. (2)存在x∈R,使x2+x+a=0成立,求实数a的取值范围. (3)已知集合A={x|x>2},B={x|x>a},若∀x∈A,都有x∈B成立,求实数a的取值范围. 分析把存在与恒成立问题转化为不等式端点值的大小关系. (2)因为存在x∈R,使x2+x+a=0成立,所以方程x2+x+a=0存在实数根,则 (3)因为∀x∈A,都有x∈B成立,所以A⊆B,则a≤2,即实数a的取值范围是 (-∞,2]. 所以实数a的取值范围为(-∞,1). 规律方法　求解含有量词命题中参数范围的策略 已知含量词的命题真假求参数的取值范围,实质上是对命题意义的考查.解决此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路. 解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识,利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围,在解题过程中要注意变量取值范围的限制. 变式训练4若命题p:“∀x∈R,x2-2x+m≠0”是真命题,则实数m的取值范围是 (　　) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] B 解析 命题p:∀x∈R,x2-2x+m≠0是真命题,则Δ<0,即(-2)2-4m<0,解得m>1.故选B. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一](多选题)下列命题中为真命题的是(　 　) A.梯形ABCD的内角和是360° B.若x,y互为倒数,则xy=1 C.若a是有理数,则a2+1≥1 D.菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形 ABC 解析 四边形内角和为360°,所以A为真命题; 对于B,由互为倒数的两个数的乘积为1,可知B为真命题; 对于C,因为a2≥0,所以a2+1≥1,故C为真命题; 对于D,菱形既是中心对称图形,也是轴对称图形,所以D为假命题.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.[探究点三]下列四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数x,使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 B 解析 选项A中,锐角三角形的内角是锐角或钝角是假命题;选项B中,当x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.[探究点二]用符号“∀”或“∃”表示含有量词的命题. (1)实数的平方大于或等于0,符号表示为　　 　;  (2)存在一对实数x,y,使2x+3y+3>0成立,符号表示为 　 　　.  ∀x∈R,有x2≥0 ∃x,y∈R,使2x+3y+3>0成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.[探究点四]已知命题p:∃x∈R,x2+2x+2-a=0为真命题,则实数a的取值范围是　　　　　.  [1,+∞) 解析 由于命题p:∃x∈R,x2+2x+2-a=0为真命题,则Δ=22-4(2-a)=4a-4≥0,解得a≥1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.[探究点三]判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假. (1)三角形的内角和为180°; (2)每个二次函数的图象都开口向下; (3)存在一个四边形不是平行四边形; (4)∀x∈R,x2+2>0; (5)∃x∈R,x2+1=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 (1)是全称量词命题,且为真命题. (2)是全称量词命题,且为假命题. (3)是存在量词命题,且为真命题. (4)是全称量词命题,由于∀x∈R都有x2≥0,故x2+2>0,且为真命题; (5)是存在量词命题,因为不存在一个实数x,使x2+1=0成立,且为假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 级 关键能力提升练 6.[2023江苏高一阶段练习]关于x的方程x2+ax+b=0,有下列四个命题:甲:x=1是该方程的根;乙:x=3是该方程的根;丙:该方程两根之和为2;丁:该方程两根异号.如果只有一个假命题,则该命题是(　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 A 解析 若甲是假命题,则乙、丙、丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的一根为3,由于两根之和为2,则该方程的另一根为-1,两根异号,符合题意; 若乙是假命题,则甲、丙、丁是真命题,则x=1是方程x2+ax+b=0的一根,由于两根之和为2,则另一根也为1,两根同号,不符合题意; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 若丙是假命题,则甲、乙、丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根为1和3,两根同号,不符合题意; 若丁是假命题,则甲、乙、丙是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根为1和3,两根之和为4,不符合题意. 综上所述,甲命题为假命题.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.(多选题)下列命题中是真命题的是(　 　) A.∀x∈R,2x2-3x+4>0 B.∀x∈{1,-1,0},2x+1>0 C.∃x∈N,使 ≤x D.∃x∈N+,使x为29的约数 ACD 解析 对于A,由于Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故A为真命题; 对于B,由于当x=-1时,2x+1>0不成立,故B为假命题; 对于C,当x=0时,有 ≤x成立,故C为真命题; 对于D,当x=1时,x为29的约数成立,所以D为真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.已知命题“对任意x∈R,使ax2-x+2>0”是真命题,则实数a的取值范围是　 .  解析 因为命题“∀x∈R,使得ax2-x+2>0”是真命题,当a=0时,得x<2,故命题“∀x∈R,使得ax2-x+2>0”是假命题,不合题意; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.(1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3},都有m≥x,求实数m的取值范围. (2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3},使m≥x,求实数m的取值范围. 解 (1)由于对任意的x∈{x|1≤x≤3},都有m≥x, 故只需m大于或等于x的最大值,即m≥3. 所以实数m的取值范围为[3,+∞). (2)由于存在实数x∈{x|1≤x≤3},使m≥x, 故只需m大于或等于x的最小值,即m≥1. 所以实数m的取值范围为[1,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 级 学科素养创新练 10.已知m∈R,命题p:∀x∈[0,1],m≥2x-2,命题q:∃x∈[-1,1],m≤x. (1)若p为真命题,求实数m的取值范围; (2)若命题p与q一真一假,求实数m的取值范围. 解 (1)∵∀x∈[0,1],m≥2x-2, ∴m≥2x-2在x∈[0,1]上恒成立, ∴m≥(2x-2)max=0,即当p为真命题时,实数m的取值范围是[0,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)∵∃x∈[-1,1],m≤x, ∴m≤1,即当命题q为真命题时,m≤1. ∵命题p与q一真一假,∴p真q假或p假q真. 综上所述,命题p与q一真一假时,实数m的取值范围为(-∞,0)∪(1,+∞). 命题 C.∃x∈R,<0 (3)对任意a,b∈R,若a>b,则. 解 (1)真命题,因为x2+1-=x2+, 因为x2≥0,所以x2+1≥1,x2+1>恒成立. 解 (1)因为p为真命题,即方程2x+2-a=0在上有实根,所以a=2x+2≥2×+2=1,即a≥1,即实数a的取值范围为[1,+∞). Δ=1-4a≥0,解得a≤,即实数a的取值范围是. 变式探究将本例(1)中的条件“∃x∈,2x+2-a=0”改为 “∀x∈,2x+2-a>0”,其他条件不变,求实数a的取值范围. 解 由∀x∈,2x+2-a>0为真命题,则2×+2-a>0.得a<1. D.存在一个负数x,使>2 时,x2=0,所以B既是存在量词命题又是真命题;选项C中,因为+(-)=0,所以C是假命题;选项D中,对于任何一个负数x,都有<0,所以D是假命题. (,+∞)　 当a≠0时,得解得a>. 当p真q假时,即m>1; 当p假q真时,即m<0. $$