第二十四章圆讲义知识点详解及题型分类汇总-2024-2025学年人教版数学九年级上册

圆 ★【知识点梳理】 一、圆基础知识 1、定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 3.圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2） 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 二、圆有关概念 1、弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 2、直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 3、弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 4、等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 5、半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 6、优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 7、劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 ★【题型汇总】 【题型一、圆有关概念】 【例1】．以下说法：（1）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（2）过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径；（3）弦是直径；（4）直径是圆中最长的弦；（5）直径不是弦；（6）优弧大于劣弧；（7）以O为圆心可以画无数个圆．正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【练习1】．下列说法正确的是（　　） A．长度相等的弧叫做等弧 B．半圆不是弧 C．过圆心的线段是直径 D．直径是弦 【例2】．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（　　） A．42° B．29° C．21° D．20° 【例3】．如图，在⊙O中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦． A．2 B．3 C．4 D．5 【练习2】．过圆内一点A可以作出圆的最长弦有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或无数条 【练习3】．半径为5的圆的一条弦长不可能是（　　） A．3 B．5 C．10 D．12 【练习4】．如下图中有　 　条直径，有　 　条弦，以点A为端点的优弧有　 　条，有劣弧　 　条． 【练习5】．如图，圆中以A为一个端点的优弧有　 　条，劣弧有　 　条． 【练习6】．如图，在直径为的中，弦，则的大小是 ． 【例4】．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长． 【练习7】．如图，AB、AC为⊙O的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F，∠B＝∠C．求证：CE＝BF． 【练习8】．如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长． 【练习9】．如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点C、D，且AC＝BD，OA与OB相等吗？为什么？ 【练习10】．如图，两正方形彼此相邻内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为（） A． B． C． D． ★【知识点梳理】 三、垂径定理 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 3、垂径定理的 知2推3：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧 中任意2个条件推出其他3个结论。 ★【题型汇总】 【题型二、垂径定理】 【例1】．下列说法中正确的有（　　） ①垂直平分弦的直线经过圆心；②平分弦的直径一定垂直于弦； ③一条直线平分弦，那么这条直线垂直这条弦； ④平分弦的直线，必定过圆心；⑤平分弦的直径，平分这条弦所对的弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【巩固】．如图，CE是圆O的直径，⊙O的直径，AB为⊙O的弦，EC⊥AB，垂足为D，下面结论正确的有（　　） ①AD＝BD；②＝；③＝；④OD＝CD． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，垂足为D．连接AC．若BC＝，AC＝3，则⊙O的半径长为（　　） A．9 B．8 C． D．3 【练习1】．如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【练习2】．半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　） A． B． C． D． 【练习3】．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（　　） A．4 B．4 C．4 D．4 【练习4】．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：MC＝3：2，则AB的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．2 【练习6】．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（　　） A．5 B．4 C． D．2 【练习7】．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（　　） A．5 B． C．2 D． 【练习8】．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C在弦AB上，且AC＝AB，则OC的长为（　　） A．2 B．2 C． D．4 【练习10】．如图，⊙O的直径为4，弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【练习12】．圆的半径为13cm，两弦：AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则两弦AB、CD的距离是（　　） A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm 【练习13】．如图，在圆O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为（　　） A．2 B．2 C． D． 【练习14】．已知⊙O的直径为10，圆心O（4，5），则⊙O截y轴所得的弦长为　 　． 【练习15】．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD＝8，OE＝1，则AB＝　 　． 【练习17】．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是　 　． 【练习18】．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为　 　． 【练习19】．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，则∠AED＝　 　． 【练习20】．如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为　 　． 【练习21】．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，GB＝5，EF＝4，那么AD＝　 　． 【练习22】．如图，圆O的半径为，弦的长．    (1)求的度数； (2)求点到的距离． 【练习23】．如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE＝BC＝16，求⊙O的直径． 【练习28】．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D， （1）若∠AOD＝52°，求∠DOB的度数； （2）若AB＝2，ED＝1，求CD的长． 【练习24】．如图，在同心⊙O中，大圆的半径为5，大圆的弦AB与小圆交于CD，AB＝8，CD＝3． （1）求AC的长； （2）求小圆的半径． 【练习26】．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点D，E，求AB，AD的长． 【练习25】．如图所示，D、E分别是弧、的中点，DE交AB于M、交AC于N．求证：AM＝AN． 【练习27】．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°， （1）求CD的长； （2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长． 【题型三、垂径定理的应用】 【例1】．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝160m，CD＝40m，则这段弯路的半径是 　 　m． 【例2】．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（　　） A．2cm B．cm C． D． 1．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（    ） A．10cm B．16cm C．18cm D．20cm 2．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升 ． 3．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m.    （1）求拱桥的半径； （2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由； 试卷第2页，共2页 试卷第2页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 ★【知识点梳理】 四、圆心角 1、定义：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 注意：一条弧或一条弦所对的圆心角只有一个 2、圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①；②； ③；④ 弧弧 ★【题型汇总】 【题型四、圆心角】 【例1】．下列图形中的角是圆心角的是（      ） A．   B．  C．   D．   【例2】．下列说法中，正确的是（　　） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 【例3】．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（　　） A．32° B．60° C．68° D．64° 【巩固】已知圆的半径为2cm，圆中一条弦长为2cm，则这条弦所对的圆心角的度数为 度。 【练习1】．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为（　　） A．25° B．30° C．50° D．65° 【练习2】．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（　　） A．51° B．56° C．68° D．78° 【练习3】．如图，AB是⊙O的直径，若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【练习4】．如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为　 　． 【练习5】．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数　 　． 【练习6】．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的周长为（　　） A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm 【练习7】．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC． 【练习8】．如图，AB是⊙O的直径，AB平分弦CD，交CD于点E，∠AOC＝60°，OC＝2，求CD的长． 【练习9】．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数． 【练习10】．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D为的中点． 【练习11】．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证OE＝OF． 【练习12】．如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证： （1）＝； （2）AE＝CE． 【练习13】．如图，AB、CD为⊙O两弦，且AB＝CD，M、N分别为AB、CD的中点，求证：∠AMN＝∠CNM． ★【知识点梳理】 五、圆周角 1、定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ∴ 3、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角 ∴ 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙中，∵是直径 或∵ ∴ ∴是直径 六、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边形是内接四边形 ∴ ★【题型汇总】 【题型五、直径所对圆周角为90°的运用】 【例1】．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠C＝70°，则∠BAD的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【练习1】．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，则∠1+∠2等于（　　） A．100° B．90° C．80° D．60° 【练习2】．如图，CD是圆O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，则∠BCD的度数是（　　） A．44° B．56° C．38° D．52° 【练习3】．如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的两点，连结AB，BC，CD，BD，若∠A+∠D＝80°，则∠ACB的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 【练习4】．如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（　　） A．4 B．5 C． D．2 【练习5】.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ACD＝28°，则∠BAD的度数是（　　） A．48° B．56° C．62° D．68° 【练习5】．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（　　） A． B．8 C． D． 【题型六、同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】 【例1】．如图所示，A，B，C，D是圆上的点，∠1＝68°，∠A＝40°．则∠D的度数为（　　） A．30° B．40° C．28° D．56° 【练习1】.如图，AB是⊙O的直径，D是弧AC的中点，DC、AB的延长线相交于点P．若∠CAB＝16°，则∠BPC的度数为（　　） A．37° B．32° C．21° D．16° 【练习2】.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABD＝55°，则∠BCD等于（　　） ​ A．55° B．45° C．35° D．25° 【练习3】.如图，点A、B、C在⊙O上，＝2，若∠A＝70°，则∠B的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．110° 【练习4】．如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是的中点，点B是的中点，若AB＝10，BG＝2，则BE的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【练习5】．如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，C是劣弧AB的中点，P是优弧APB任意一点，连接AP，BP，则∠APC的度数是（　　） A．30°或60° B．60° C．40° D．30° 【练习6】．如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是的中点，连结BD，AC交于点E，若∠EDC＝25°，则∠ACD的度数是（　　） ​ A．30° B．35° C．40° D．45° 【练习7】．如图，在⊙O中，C是的中点，点D是⊙O上一点．若∠ADC＝20°，则∠BOC的度数为（　　） A．10° B．20° C．40° D．80° 【练习8】．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，B是弧AC的中点，则∠D的度数是（　　） A．30° B．35° C．45° D．70° 【题型七、圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】 【例1】．如图，点A，B，C在⊙O上，∠C＝20°，∠B＝30°，则∠A等于（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 【练习1】．如图，在⊙O中，AB、CD是互相平行的弦，连接BC、BO、DO，若∠BOD＝90°，则∠ABC的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．90° 【练习9】．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是（　　） A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD 【练习2】．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（　　） A．45° B．55° C．45°或155° D．55°或155° 【练习3】．如图所示，点A，B，C，D在⊙O上，若四边形ABCO为平行四边形，连接BD与CD，则∠BDC的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．45° 【练习4】．如图⊙O的半径为3，AB是弦，点C为弧AB的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（　　） A． B．3 C． D． 【练习5】．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，∠ACD＝35°，则∠BOD的度数是（　　） A．105° B．110° C．115° D．120° 【练习6】．如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠BDC的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 【练习7】．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠CDB＝28°，则∠AOC的度数为（　　） A．28° B．56° C．58° D．62° 【题型八、利用半径相等构成的等腰三角形有关运用】 【练习1】．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠BAO＝20°，则∠ACB的大小是（　　） A．90° B．70° C．60° D．40° 【练习2】．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为（　　） A．40° B．30° C．45° D．50° 【练习3】．如图，△ABC 内接于⊙O，连接OB、OC，若OB＝AB，∠BAC＝110°，则∠ABC的度数为（　　） A．60° B．40° C．30° D．20° 【练习4】．如图，⊙O中，，连接AB，AC，BC，OB，OC，若∠ACB＝65°，则∠BOC的度数为（　　） A．130° B．115° C．100° D．150° 【练习5】.如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC度数为（　　） A．58° B．32° C．60° D．68° 【练习7】.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠OCD＝25°，连接AD，则∠BAD＝　　°． 【例1】．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB另一侧半圆的中点，若CD＝3，BC＝4，则⊙O的半径长为（　　） A．2 B． C．2 D．2 【题型九、圆内接四边形的综合运用】 【例1】．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D＝85°，则∠B的度数为（　　） A．95° B．105° C．115° D．125° 【练习1】．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD＝130°，则∠BAD的度数是（　　） A．120° B．130° C．115° D．125° 【练习2】．如图，C是圆O劣弧AB上一点，∠ACB＝130°，则∠AOB的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【练习4】.如图，CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且AD∥OB．若∠BAD＝110°，则∠D的度数为（　　） A．45° B．40° C．35° D．30° 【练习5】.如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧上一点，则∠BCD的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【练习6】.如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝60°，那么∠BOD的度数为（　　） A．128° B．64° C．32° D．120° 【练习6】.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA，OC，AC，已知∠ACO＝40°，则∠ABC的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 七、点与圆的位置关系： （1） 点在圆内 d<r 点C在圆内； （2） 点在圆上 d=r 点B在圆上； （3） 点在圆外 d>r 点A在圆外； 八、直线和圆的位置关系 直线和相交⇔； 直线和相切⇔； 直线和相离⇔. 八、切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径 九、三角形的内切圆和内心： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。 十、三角形的外接圆和外心： 经过三角形各顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的焦点，叫做三角形的外心。 十一、切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 【题型十、点和圆、直线和圆的位置关系】 一、点和圆的位置关系 【例1】．已知⊙ O的半径OA长为1，OB＝，则正确图形可能是（    ） A． B． C． D． 【例2】．已知⊙ O的半径是，点与圆心的距离分别为．则点A在 ，点在 ，点在 ． 二、直线和圆的位置关系 【例1】已知的半径为，点到直线的距离为，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【练习1】已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是 ． 【练习2】在，，，，以A为圆心，长度为半径的圆与直线的公共点的个数为 个． 【练习3】在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、切线的判定和性质 【例1】下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【例2】平面内，的半径为，点到的距离为，过点可作的切线条数为（ ） A．条 B．条 C．条 D．无数条 【例3】如图，分别切于点，点是上一点，且，则的度数为 ．    【例4】如图，为的直径，，当 时，直线与相切． 【练习1】如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 【练习2】在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【练习3】如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【练习4】如图，在中，，，的半径为3．求证：是的切线．    【练习5】如图，是上一点，点在直径的延长线上，的半径为，，．求证：是的切线．    【练习6】已知：如图，在中，，以为直径的半圆交于，是的中点．求证：直线是半圆的切线．    【练习7】（不需作辅助线）如图，内接于，，是的直径，交于点，过点作，交的延长线于点，连接．求证：是的切线．    【练习8】如图，在四边形中，，，以为直径作， 求证：与相切．    【练习9】如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【练习10】如图，是的直径，点是上的一点，交于点，．    （1）求证：是的切线； （2）求证：． 四、切线长定理 【例1】如图，是的两条切线，切点分别为交于点．下列结论中，错误的是（    ）    A． B． C． D． 【例2】切线长为，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【例3】如图，在中，，，与，分别切于点D，C，连接．则的度数为（    ）    A．50 B．40 C．30 D．20 【练习1】如图，内切于四边形，，分别连接．下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．A，O，C三点共线 【练习2】．（天津市2019年中考题）已知，分别与⊙ O相切于点，，，为⊙ O上一点． （Ⅰ）如图①，求的大小； （Ⅱ）如图②，为⊙ O的直径，与相交于点，若，求的大小． 【练习3】．已知、分别与⊙ O相切于点，，延长交直径的延长线于点． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，在⊙ O上取一点，连接，，，当四边形是平行四边形时，求及的大小． 【练习4】．如图，，是⊙ O的切线，，为切点，是⊙ O的直径． (1)若，求的度数； (2)若，，求⊙ O的半径． 五、内切圆和外接圆 【例1】．下列四个命题中，正确的个数是(　　) ①经过三点一定可以画圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆； ③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤三角形的外心一定在三角形的外部. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例2】．在中，，，，则它的内切圆与外接圆半径分别为（    ） A．， B．， C．2，13 D．6， 【例3】如图所示，内切于，切点分别为点，点，点，已知，，连接，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【例4】两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为（    ） A．2 B． C． D． 【练习1】．已知△ABC的三条边长分别为6cm，8cm，10cm，则这个三角形的外接圆的面积为 cm2．（结果用含的代数式表示） 【练习2】．如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，且，，，则的半径是（    ） A．1 B．2 C． D． 【练习3】．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、．    (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【题型十、直击考试真题--圆综合求角度】 1．（天津市2013年中考题）已知直线l与⊙ O相切于点C，，AB是⊙ O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙ O相切于点C时，若∠ DAC=30°，求∠ BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙ O相交于点E、F时，若∠ DAE=18°，求∠ BAF的大小． 2．（天津市2015年中考题）已知A，B，C是⊙ O上的三个点，四边形OABC是平行四边形，过点C作⊙ O的切线，交AB的延长线于点D． （Ⅰ）如图①，求∠ ADC的大小； （Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF，求∠ FAB的大小． 3．（天津市2016年中考题）在⊙ O中，AB为直径，C为⊙ O上一点． （1）如图1，过点C作⊙ O的切线，与AB延长线相交于点P，若∠ CAB=27°，求∠ P的度数； （2）如图2，D为弧AB上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接DC并延长，与AB的延长线交于点P，若∠ CAB=10°，求∠ P的大小． 4．（天津市2017年中考题））已知是⊙ 的直径，是⊙ 的切线，，交⊙ 于点，是上一点，延长交⊙ 于点. （1）如图①，求和的大小； （2）如图②，当时，求的大小. 5．（天津市2018年中考题）已知是⊙ O的直径，弦与相交，. （Ⅰ）如图①，若为的中点，求和的大小； （Ⅱ）如图②，过点作⊙ O的切线，与的延长线交于点，若，求的大小. 7．（天津市2020年中考题）在⊙ O中，弦与直径相交于点P，． （Ⅰ）如图①，若，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若，过点D作⊙ O的切线，与的延长线相交于点E，求的大小． 8．（天津市2021年中考题）已知内接于，点D是上一点． （Ⅰ）如图①，若为⊙ O的直径，连接，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D作⊙ O的切线，与的延长线交于点E，求的大小． 【题型十一、直击考试真题--圆综合求线段长】 一、构造矩形 1．（天津市2022年中考题）已知为的直径，，C为⊙ O上一点，连接． (1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作⊙ O的切线，与的延长线相交于点F，求的长． 2．已知是的直径，点是上一点，点是外一点，是的切线，为切点，连接，．    (1)如图①，若与相切，为切点，，求的大小； (2)如图②，若与相交于点，恰有，且，，求的长． 3．如图，在中，，点D是边上一点，以为直径的圆O与边相切于点E，与边相交于点F，，点G是中点． (1)如图①，求的度数； (2)如图②，延长交于点M，连接，若，，求的长． 4．如图，中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，，垂足为G． (1)求证：是的切线； (2)若的半径长为，，求的长． 5．如图，是的直径，点C在上，平分交于点D，． (1)如图①，若点E是的中点，求的大小； (2)如图②，过点D作的切线，交的延长线于点F，若交于点G，，求的长． 二、构造等边三角形 1．如图，的半径为，弦的长． （Ⅰ）求的度数； （Ⅱ）求点O到的距离． 2．如图，在⊙O中，弧AB=弧BC，∠ACB=60°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）求∠AOC的大小． 试卷第2页，共2页 试卷第15页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 3．如图，四边形内接于，连接，，．    (1)求的大小； (2)若的半径为3，求的长． 三、垂径定理 1．（2017南开期中）如图，AB是⊙ O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙ O于点D，点E在⊙ O上． （1）若∠ AOD=54°，求∠ DEB的度数； （2）若OC=3，OA=5，求弦AB的长 四、特殊角 1．（2023南开期中）如图1，AB是⊙ O的直径，点C在⊙ O上，D为的中点，连接BC，OD． (1)求证：； (2)如图2，过点D作AB的垂线与⊙ O交于点E，作直径EF交BC于点G．若G为BC中点，⊙ O的半径为2，求弦BC的长． 2．（2022南开期中）已知⊙ O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝8，点D在⊙ O上，连接AD，BD，CD． （Ⅰ）如图1，若AD经过圆心O，求BD，CD的长； （Ⅱ）如图2，若∠ BAD＝2∠ DAC，求BD，CD的长． 3．（天津市2023年中考题）在⊙ O中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．    (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长． 4．（天津市2024年中考题）已知三角形AOB中，为⊙ O的弦，直线与⊙ O相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 试卷第2页，共2页 试卷第47页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$