第二十四章《圆》知识点 讲义 2025--2026学年人教版九年级数学上册

本讲义系统梳理《圆》章节核心知识点，从圆的集合与轨迹概念出发，逐步展开点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，深入讲解垂径定理、圆心角定理、圆周角定理等重要定理，延伸至切线性质与判定、切线长定理，结合正多边形计算及扇形、圆柱和圆锥的相关公式，构建从概念到性质再到应用的完整学习支架。 资料亮点在于以核心素养为导向，通过“2推3”“1推3”等定理推导培养推理意识，结合铅球砸坑、工件检查等实例发展数学眼光，练习题覆盖选择填空解答并附详细答案。课中助力教师系统授课，课后便于学生查漏补缺，提升空间观念与模型应用能力。

《圆》章节知识点复习和练习附参考答案 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 点在圆内； 2、点在圆上 点在圆上； 3、点在圆外 点在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系 外离（图1） 无交点 ； 外切（图2） 有一个交点 ； 相交（图3） 有两个交点 ； 内切（图4） 有一个交点 ； 内含（图5） 无交点 ； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧 中任意2个条件推出其他3个结论。 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①；②； ③；④ 弧弧 七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ∴ 2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角 ∴ 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙中，∵是直径 或∵ ∴ ∴是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△中，∵ ∴△是直角三角形或 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边形是内接四边形 ∴ 九、切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴ 平分 十一、圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 十二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2）圆柱的体积： （2）圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 圆练习题 一、选择 1。下列命题中正确的有( )个 (1) 平分弦的直径垂直于弦 （2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 （3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半 （4）平面内三点确定一个圆 （5）三角形的外心到各个顶点的距离相等 ( A B P O )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 2。如图，直线是的两条切线， 分别为切点，， 厘米，则弦的长为（ ） A．厘米 B．5厘米 C．厘米 D．厘米 3。小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（ ） 4。已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的内切圆的半径为（ ） A． B． C．2 D．3 5。若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm、深约为2 cm的小坑，则该铅球的直径约为( ) A. 10 cm B. 14.5 cm C. 19.5 cm D. 20 cm 6。如图9，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，要使⊙A与静止的⊙B内切，那么⊙A由图示位置需向右平移 _______个单位长．　 7。一扇形的圆心角为150°，半径为4，用它作为一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的表面积是_____________ 8。已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为 。 9。直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为 10。点A是半径为3的圆外一点,它到圆的最近点的距离为5,则过点A 的切线长为__________ ( （第12题） )11、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=300，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，开始时，PO=6cm．如果⊙P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（秒）满足条件 时，⊙P与直线CD相交． 12。如图，点是上两点，，点是上的动点（与不重合），连结，过点分别作于，于，则 ． 13。已知是半径为的圆内的一条弦，点为圆上除点外任意一点，若，则的度数为 ． 14。⊙0的半径为5，A、B两动点在⊙0上，AB=4,AB的中点为点C,在移动的过程中，点C始终在半径为_______的一个圆上，直线AB和这个圆的位置关系是______ 15. Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为________ 三、解答 16。已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。 （1）如图1，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）： ① ；② ；③ 。 （2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线。 ( 图1 图2 ) 17。求作一个⊙O，使它与已知∠ABC的边AB，BC都相切，并经过另一边BC上的一点P． 18。如图，从点P向⊙O引两条切线PA，PB，切点为A，B，AC为弦，BC为⊙O�的直径，若∠P=60°，PB=2cm，求AC的长． 19。如图，已知扇形AOB的半径为12，OA⊥OB，C为OB上一点，以OA为直线的半圆O与以BC为直径的半圆O相切于点D．求图中阴影部分面积． 20. 如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0），直线过点A（—1，0），与⊙C相切于点D，求直线的解析式。 答案： 1. A 2. A 3. B 4. A 5. B 6. 4或6 7. 8. 2或8 9. 6.5cm 10. cm 11. 4＜t≤6 12. 5 13. 60°或120° 14. 3，相切 15. 12 16.（1）①BA⊥EF；②∠CAE=∠B；③∠BAF=90°。 （2）连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD， 则AD为⊙O的直径，∴∠D+∠DAC=90°。 ∵∠D与∠B同对弧AC，∴∠D=∠B， 又∵∠CAE=∠B，∴∠D=∠CAE， ∴∠DAC+∠EAC=90°， ∴EF是⊙O的切线。 17. 作法：①作∠ABC的角平分线BD． ②过点P作PQ⊥BC，交BD于点O，则O为所求作圆的圆心． ③以O为圆心，以OP为半径作圆． 则⊙O就是所求作的圆 18. 连结AB．∵∠P=60°，AP=BP， ∴△APB为等边三角形． AB=PB=2cm，PB是⊙O的切线，PB⊥BC， ∴∠ABC=30°， ∴AC=2·=． 19. 扇形的半径为12，则=6，设⊙O2的半径为R． 连结O1O2，O1O2=R+6，OO2=12-R． ∴Rt△O1OO2中，36+（12-R）2=（R+6）2， ∴R=4． S扇形=·122=36，S=·62=18，S=·42=8． ∴S阴=S扇形-S-S=36-18-8=10． 20. 如图所示，连接CD，∵直线为⊙C的切线，∴CD⊥AD。 ∵C点坐标为（1，0），∴OC=1，即⊙C的半径为1，∴CD=OC=1。 又∵点A的坐标为（—1，0），∴AC=2，∴∠CAD=30°。 作DE⊥AC于E点，则∠CDE=∠CAD=30°，∴CE=， ( 0= — k+b， = k+b. )，∴OE=OC-CE=，∴点D的坐标为（，）。 设直线的函数解析式为，则 解得 k=，b=， ∴直线的函数解析式为y=x+. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $