1.5.2点到直线的距离 练习-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

1.5.2　点到直线的距离 一、知识梳理 1.点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝______________． 2.两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝________． 二、课前自测 1.点(－1，0)到直线x＋y－1＝0的距离是(　　) A. B. C.1 D. 2.若点P在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，则OP的最小值为(　　) A.4 B.2 C. D.2 3.(多选题)已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距 离相等，则实数a的值为(　　) A.－3 B.3 C.－1 D.1 4.直线3x－4y－27＝0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是________． 5.已知A，B为直线l1上两点，且A(1，0)， B(－3，3)，直线l2：6x＋my＋14＝0. (1) 求直线l1的方程； (2) 若l1∥l2，求l1，l2之间的距离． 三、课后练习 6.已知点M(3，2)，N(－1，2)，F(1，0)， 则点M到直线NF的距离为(　　) A. B.2 C.2 D.3 7.经过点(1，3)且与原点距离为1的直线共有(　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 8.已知平面上一点M(5，0)，若直线l上存在点P使PM＝4，则称该直线为点M(5，0)的“相关直线”，下列直线中不是点M(5，0)的“相关直线”的是(　　) A.y＝x－3 B.y＝2 C.4x－3y＝0 D.2x－y＋1＝0 9.(多选题)定义点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出下列命题，其中属于假命题的是(　　) A.若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 B.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 C.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D.若d1d2＜0，则直线P1P2与直线l相交 10.(多选题)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n的可能值为(　　) A.3 B.－17 C.－3 D.17 11.若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是_______． 12.已知△ABC的三个顶点为A(1，1)，B(4，2)，C(－4，6)，则△ABC的面积为________． 13.已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则的最小值为 ________． 14.已知直线l1：ax＋y＋2＝0(a∈R)． (1) 若直线l1在x轴上的截距为－2，求实数a的值； (2) 若直线l1与直线l2：2x－y＋1＝0平行，求两平行直线l1与l2之间的距离． 15.已知直线l经过点P(－2，4)． (1) 若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程； (2) 若直线l被两条相交直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截 得的线段恰被点P平分，求直线l的方程． 16.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点． (1) 若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程； (2) 求点A(5，0)到直线l的距离的最大值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5.2　点到直线的距离 一、知识梳理 1.点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝_______． 2.两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝___ _____． 二、课前自测 1.点(－1，0)到直线x＋y－1＝0的距离是(　A　) A. B. C.1 D. 解析：由点到直线的距离公式，可得点(－1，0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝. 2.若点P在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，则OP的最小值为(　D　) A.4 B.2 C. D.2 解析：根据题意，得点O到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝2，而OP的最小值就是点O到直线x＋y－4＝0的距离，即OP的最小值为2. 3.(多选题)已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距 离相等，则实数a的值为(　AB　) A.－3 B.3 C.－1 D.1 解析：因为A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，所以＝，即|2a＋3|＝|a＋6|，解得a＝3或a＝－3. 4.直线3x－4y－27＝0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是__(5，－3)____． 解析：由题意，知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则M为该直线上到点P(2，1)距离最近的点，易得直线MP的方程为 y－1＝－(x－2)．联立解得所以所求点的坐标为(5，－3)． 5.已知A，B为直线l1上两点，且A(1，0)， B(－3，3)，直线l2：6x＋my＋14＝0. (1) 求直线l1的方程； (2) 若l1∥l2，求l1，l2之间的距离． 解析：(1) 因为A，B为直线l1上两点，且A(1，0)，B(－3，3)，所以 kAB＝－.所以直线l1的方程为3x＋4y－3＝0. (2) 因为l1∥l2，所以＝≠.所以m＝8，故直线l2的方程为3x＋4y＋7＝0.所以两平行线之间的距离d＝＝2. 三、课后练习 6.已知点M(3，2)，N(－1，2)，F(1，0)， 则点M到直线NF的距离为(　B　) A. B.2 C.2 D.3 解析：因为点M(3，2)，N(－1，2)，F(1，0)，所以直线NF的斜率k＝－，故直线NF的方程为y＝－(x－1)，即x＋y－＝0.所以点M到直线NF的距离为＝2. 7.经过点(1，3)且与原点距离为1的直线共有(　C　) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 解析：当直线的斜率不存在时，经过点(1，3)的直线的方程为x＝1，原点到直线的距离为1，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，则直线的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，则原点到直线的距离d＝＝1，解得k＝，即直线方程为4x－3y＋5＝0.综上所述，满足题意的直线共有2条． 8.已知平面上一点M(5，0)，若直线l上存在点P使PM＝4，则称该直线为点M(5，0)的“相关直线”，下列直线中不是点M(5，0)的“相关直线”的是(　D　) A.y＝x－3 B.y＝2 C.4x－3y＝0 D.2x－y＋1＝0 解析：根据题意，知当点M到直线l的距离d≤4时，该直线上存在点P使PM＝4，此时直线l为点M(5，0)的“相关直线”．对于A，y＝x－3，即x－y－3＝0，点M到该直线的距离d＝＝＜4，则该直线是点M(5，0)的“相关直线”；对于B，y＝2，点M到该直线的距离d＝2＜4，则该直线是点M(5，0)的“相关直线”；对于C，4x－3y＝0，点M到该直线的距离d＝＝4，则该直线是点M(5，0)的“相关直线”；对于D，2x－y＋1＝0，点M到该直线的距离d＝＞4，则该直线不是点M(5，0)的“相关直线”． 9.(多选题)定义点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出下列命题，其中属于假命题的是(　ABC) A.若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 B.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 C.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D.若d1d2＜0，则直线P1P2与直线l相交 解析：设点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则d1＝ ，d2＝ .对于A，若d1－d2＝0，则d1＝d2，即 ＝，所以Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C.当d1＝d2＝0，即Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C＝0时，点P1，P2都在直线l上，此时直线P1P2与直线l重合，所以A错误．对于B，C，由A知，当d1＝d2＝0时，满足d1＋d2＝0，但此时Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C＝0，点P1，P2都在直线l上，直线P1P2与直线l重合，所以B，C错误．对于D，若d1d2＜0，则 ·＜0，即(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧．所以直线P1P2与直线l相交．所以D正确． 10.(多选题)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n的可能值为(　AB　) A.3 B.－17 C.－3 D.17 解析：因为直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0平行，所以＝，解得n＝－4.所以直线l2的方程为x－2y－3＝0.所以直线l1与l2间的距离d＝＝2.所以|m＋3|＝10，解得m＝－13或m＝7.当m＝－13时，m＋n＝－13－4＝－17；当m＝7时，m＋n＝7－4＝3.所以m＋n的可能值为3或－17. 11.若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是_______． 解析：由题意，知≤3，解得≤a≤ .所以a的取值范围是. 12.已知△ABC的三个顶点为A(1，1)，B(4，2)，C(－4，6)，则△ABC的面积为___10____． 解析：根据直线的两点式方程，得直线BC的方程为＝，即x＋2y－8＝0.由点到直线的距离公式，得边BC上的高d＝＝.又因为BC两点之间的距离为＝4，所以△ABC的面积为×4×＝10. 13.已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则的最小值为_______． 解析：因为＝，所以上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0，1)的距离，即为点N到直线6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离．所以的最小值应为点N到该直线的距离，即MNmin＝＝. 14.已知直线l1：ax＋y＋2＝0(a∈R)． (1) 若直线l1在x轴上的截距为－2，求实数a的值； (2) 若直线l1与直线l2：2x－y＋1＝0平行，求两平行直线l1与l2之间的距离． 解析：(1) 直线l1：ax＋y＋2＝0，令y＝0，求得l1在x轴上的截距为－＝－2，所以实数a＝1. (2) 若直线l1：ax＋y＋2＝0与直线l2：2x－y＋1＝0平行，则＝≠，解得a＝－2，故直线l1的方程为－2x＋y＋2＝0，即 2x－y－2＝0，所以两平行直线l1与l2之间的距离为＝. 15.已知直线l经过点P(－2，4)． (1) 若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程； (2) 若直线l被两条相交直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截 得的线段恰被点P平分，求直线l的方程． 解析：(1) ① 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合题意．② 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x＋2)，由原点到直线l的距离为2，得＝2，解得k＝－，故直线l的方程为y－4＝－(x＋2)，即3x＋4y－10＝0.综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x＋4y－10＝0. (2) 设直线l夹在直线l1，l2之间的线段为AB(点A在l1上，点B在l2上)，点A，B的坐标分别设为(x1，y1)，(x2，y2)．因为AB被点P平分，所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝8，即x2＝－4－x1，y2＝8－y1.因为点A在l1上，点B在l2上，所以解得即点A的坐标是(3，4)．又直线经过点P(－2，4)，所以直线l的方程为y＝4. 16.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点． (1) 若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程； (2) 求点A(5，0)到直线l的距离的最大值． 解析：(1) 易知点A到直线x－2y＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0.由题意，得＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或.所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. (2) 联立解得交点为P(2，1)．过点P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时，等号成立)．所以dmax＝PA＝. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$