1.5.1 平面上两点间的距离 练习-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

1.5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 一、知识梳理 1.平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为P1P2＝____________________．原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离OP＝______________． 2.平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则 二、课前自测 1.已知点A(－2，－1)，B(2，5)，则AB等于(　　) A.4 B. C.6 D.2 2.已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三点，则的值为(　　) A. B. C.3 D.2 3.(多选题)若A（7，8），B（a，4），若AB的距离为5，则a等于（ ） A.2 B.10 C.4 D.6 4.已知点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则AB＝ ________． 5.已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上有一点P，使PA＝PB，求PA的值． 三、课后练习 6.已知直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则PQ等于(　　) A.4 B.4 C.2 D.2 7.若在直线y＝－2上有一点P，它到点A(－3，1)和点B(5，－1)的距离之和最小，则该最小值为(　　) A.2 B.5 C.4 D.10 8.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题．根据上述观点，可得f(x)＝＋ 的最小值为(　　) A. B.5 C.4 D.8 9.任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这个结论首先是由瑞士数学家欧拉发现的，因此，这条直线被称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点B(5，0)，C(0，1)，且AB＝AC，则△ABC的欧拉线方程为(　　) A.5x－y－12＝0 B.5x－y－24＝0 C.x－5y＋12＝0 D.x－5y＝0 10.(多选题)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标 是(　　) A.(－4，5) B.(－3，4) C.(－1，2) D.(0，1) 11.(多选题)已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，若过点A作直线l 与直线l1相交于点B，且使AB＝5，则直线l的方程为(　　) A.x＝1 B.y＝1 C.3x＋4y＋1＝0 D.4x＋3y＋1＝0 12.已知x轴上一点A与点B(5，12)的距离为13，则点A的坐标为_________________． 13.已知点M(4，3)，经过原点的直线l与直线y＝3交于点A，若AM＝2，则直线l的方程为____________________________． 14.已知正三角形ABC的边长为a，P为平面上的任意一点，则PA2＋PB2＋PC2的最小值为________． 15.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． 16. 在△ABC中，AD是边BC上的中线，求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2)． 17.在平面直角坐标系中，定义d(A，B)＝max{|x1－x2|，|y1－y2|}为两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的“切比雪夫距离”．又设点P及直线l上任意一点Q，称d(P，Q)的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d(P，l)． (1) 求证：对任意三点A，B，C，都有d(A，C)＋d(C，B)≥d(A，B)； (2) 已知点P(3，1)和直线l：2x－y－1＝0，求d(P，l)； (3) 已知定点C(x0，y0)，动点P(x，y)满足d(C，P)＝r(r＞0)，求点P 的轨迹所围成图形的面积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 一、知识梳理 1.平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为P1P2＝_______． 原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离OP＝ ____________． 2.平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则 二、课前自测 1.已知点A(－2，－1)，B(2，5)，则AB等于(　D　) A.4 B. C.6 D.2 解析：因为点A(－2，－1)，B(2，5)，所以AB＝＝2. 2.已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三点，则的值为(　D　) A. B. C.3 D.2 解析：由两点间的距离公式，得AC＝＝4，CB＝＝2，所以＝＝2. 3.(多选题)若A（7，8），B（a，4），若AB的距离为5，则a等于（ ） A.2 B.10 C.4 D.6 解析：根据两点间的距离公式得AB＝＝5解的a=4或10 4.已知点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则AB＝___2____． 解析：设A(a，0)，B(0，b)，由中点坐标公式，得解得所以AB＝＝2. 5.已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上有一点P，使PA＝PB，求PA的值． 解：设P(x，0)，则PA＝ ，PB＝ .因为PA＝PB，所以＝，解得x＝1.所以点P的坐标为(1，0)．所以PA＝＝2. 三、课后练习 6.已知直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则PQ等于(　B　) A.4 B.4 C.2 D.2 解析：由题意，得P(1，1)，Q(5，5)，所以PQ＝＝4. 7.若在直线y＝－2上有一点P，它到点A(－3，1)和点B(5，－1)的距离之和最小，则该最小值为(　C　) A.2 B.5 C.4 D.10 解析：设点A(－3，1)关于直线y＝－2的对称点为A′(－3，－5)．若在直线y＝－2上有一点P，它到点A(－3，1)和点B(5，－1)的距离之和最小，则P为直线A′B与直线y＝－2的交点，所以该最小值为A′B＝＝4. 8.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题．根据上述观点，可得f(x)＝＋ 的最小值为(　B　) A. B.5 C.4 D.8 解析：f(x)＝ ＋ ＝＋ .令A(－2，4)，B(－1，3)，则f(x)可表示点P(x，0)到点A和点B的距离之和，C(－2，－4)是点A关于x轴的对称点，结合图象(如图)，可知其最小值BC＝＝5. 9.任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这个结论首先是由瑞士数学家欧拉发现的，因此，这条直线被称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点B(5，0)，C(0，1)，且AB＝AC，则△ABC的欧拉线方程为(　A　) A.5x－y－12＝0 B.5x－y－24＝0 C.x－5y＋12＝0 D.x－5y＝0 解析：因为AB＝AC，所以△ABC为等腰三角形．设BC的中点为D，则△ABC的欧拉线方程即为直线AD的方程．方法一：设A(x，y)，由AB＝AC，得＝，即x2－10x＋25＋y2＝x2＋y2－2y＋1，即10x－2y－24＝0，化简，得5x－y－12＝0.方法二：由B(5，0)，C(0，1)，可知D，直线BC的斜率kBC＝－.因为BC⊥AD，所以直线AD的斜率kAD＝5.所以直线AD的方程为y－＝5，即5x－y－12＝0.所以△ABC的欧拉线方程为5x－y－12＝0. 10.(多选题)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标 是(　BC　) A.(－4，5) B.(－3，4) C.(－1，2) D.(0，1) 解析：设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且＝，两式联立解得或故满足题意的点的坐标为(－3，4)或(－1，2)． 11.(多选题)已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，若过点A作直线l 与直线l1相交于点B，且使AB＝5，则直线l的方程为(　AC　) A.x＝1 B.y＝1 C.3x＋4y＋1＝0 D.4x＋3y＋1＝0 解析：若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为x＝1.由得点B的坐标为(1，4)，此时AB＝5，所以x＝1满足题意．当直线l不与x轴垂直时，可设其方程为y＋1＝k(x－1)，k≠－2.解方程组得交点B的坐标为(k≠－2)．所以＝5，解得k＝－.所以直线l的方程为y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.综上所述，所求直线l的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0. 12.已知x轴上一点A与点B(5，12)的距离为13，则点A的坐标为____(0，0)或(10，0)______． 解析：设x轴上一点A的坐标为(x，0)，由两点间距离公式，可得＝13，解得x＝0或x＝10，所以点A的坐标为(0，0)或(10，0)． 13.已知点M(4，3)，经过原点的直线l与直线y＝3交于点A，若AM＝2，则直线l的方程为_____x－2y＝0或3x－2y＝0__________． 解析：设点A的坐标为(t，3)，则AM＝＝2，解得t＝2或t＝6.当t＝2时，点A的坐标为(2，3)，则直线l的斜率为，此时直线l的方程为y＝x，即3x－2y＝0.当t＝6时，点A的坐标为(6，3)，则直线l的斜率为，此时直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0.综上所述，直线l的方程为x－2y＝0或3x－2y＝0. 14.已知正三角形ABC的边长为a，P为平面上的任意一点，则PA2＋PB2＋PC2的最小值为__a2__． 解析：记AB的中点为O，以O为坐标原点，AB，CO所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A，B，C.设P(x，y)，则PA2＋PB2＋PC2＝＋y2＋ ＋y2＋x2＋＝3x2＋3y2－ay＋a2＝3x2＋3＋a2，所以当x＝0，y＝a时，PA2＋PB2＋PC2有最小值，为a2. 15.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． 解析：方法一：因为AB＝＝2，AC＝＝2，BC＝ ＝2，所以AB＝AC，且AB2＋AC2＝BC2.所以△ABC是等腰直角三角形．方法二：因为kAC＝＝，kAB＝＝－，所以kAC·kAB＝－1.所以AC⊥AB.又AC＝ ＝2，AB＝ ＝2，所以AC＝AB.所以△ABC是等腰直角三角形． 16. 在△ABC中，AD是边BC上的中线，求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2)． 证明：以边BC所在直线为x轴，以D为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．因为AB2＝(a＋b)2＋c2，AC2＝(a－b)2＋c2，AD2＝b2＋c2，DC2＝a2，所以AB2＋AC2＝2(a2＋b2＋c2)，AD2＋DC2＝a2＋b2＋c2.所以AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2)． 17.在平面直角坐标系中，定义d(A，B)＝max{|x1－x2|，|y1－y2|}为两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的“切比雪夫距离”．又设点P及直线l上任意一点Q，称d(P，Q)的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d(P，l)． (1) 求证：对任意三点A，B，C，都有d(A，C)＋d(C，B)≥d(A，B)； (2) 已知点P(3，1)和直线l：2x－y－1＝0，求d(P，l)； (3) 已知定点C(x0，y0)，动点P(x，y)满足d(C，P)＝r(r＞0)，求点P 的轨迹所围成图形的面积． 分析：(1) 利用新定义，证明A，B，C三点间的“切比雪夫距离”满足不等式即可； (2) 设点Q是直线l：2x－y－1＝0上一点，且Q(x，2x－1)，可得d(P，Q)＝max{|x－3|，|2x－2|}，讨论|x－3|，|2x－2|的大小，可得距离d，再由函数的性质，求得最小值； (3) 运用新定义，求得点的轨迹图形，计算图形的面积即可．　 解析：(1) 证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则d(A，C)＋d(C，B)＝max{|x1－x3|，|y1－y3|}＋max{|x3－x2|，|y3－y2|}≥|x1－x3|＋|x3－x2|≥|x1－x2|，同理可得d(A，C)＋d(C，B)≥|y1－y2|，所以d(A，C)＋d(C，B)≥max{|x1－x2|，|y1－y2|}＝d(A，B)． (2) 设Q(x，2x－1)为直线l：2x－y－1＝0上一点，则d(P，Q)＝max{|x－3|，|2x－2|}．由|x－3|≥|2x－2|，解得－1≤x≤，即有d(P，Q)＝|x－3|，当x＝时，取得最小值.由|x－3|＜|2x－2|，解得x＞或x＜－1，即有d(P，Q)＝|2x－2|，d(P，Q)的取值范围是，无最小值．综上所述，d(P，Q)的最小值为，所以d(P，l)＝. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$