4.1 数列（第1课时 数列的概念及通项公式）课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 4.1 数列 第1课时 数列的概念及通项公式 【课标要求】 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.数列及其有关概念 按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的项.数列 的一般形式可以写成 , , , , , ,简记为 ，其中 称为数列 的第1项 或首项, 称为第2项 称为第 项. 注意两个区别：（1） 与 的区别： 表示数列 , , , , , ; 表示数列 的第 项.（2）数列与集合的区别：数列是按照一定次序排列的一列数， 其每一项必须是数，是有序的；而集合中的元素可以是数，也可以是点、方程等，其 排列是无序的. 4 知识点2.数列的分类 项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列. 5 知识点3.数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，它可以看成以正整数集 （或它的有限子集 ，2， ， ）为定义域的函数 ，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.反过来，对于函数 ，如果 有意义，那么就可以得到一个数列 , , , , ， . 6 知识点4.数列的通项公式及表示法 一般地，如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.数列可以由通项公式来给定，也可以通过列表或图象来表示. 数列的图象是一些离散的点.并非所有的数列都能写出它的通项公式，对于一个确定的数列，其通项公式也不一定唯一. 7 题型分析·能力素养提升 8 【题型一】数列的有关概念及其分类 例1 （多选题）下列有关数列的说法正确的是( ) BD A.数列 ，0，1与数列1，0， 是同一个数列 B.数列可以看成一个定义在正整数集（或它的有限子集 ，2， ， ）上的函数 C.数列 与 表示同一数列 D.数列1，2，1，2，1，2， 是无穷数列 9 [解析] 数列 ，0，1与数列1，0， 中项的顺序不同，即表示不同的数列，故A不正确；由数列的函数性质可知B正确；数列 表示数列 ， ， ， ， ， ，而数列 表示数列 ， ， ， ， ， ，不是同一数列，故C不正确；由于数列1，2，1，2，1，2， 有无穷多项，所以是无穷数列，故D正确.故选 . 10 题后反思 准确理解数列的有关概念是解决这类问题的关键.如：数列是按照一定次序排列的一 列数，也是一种特殊的函数，其图象是一些离散的点；数列 中的 表示第 项等. 跟踪训练1 现有下列说法： ①元素有三个以上的数集就是一个数列； ②数列1，1，1，1， 是无穷数列； ③每个数列都有通项公式； ④数列可以用一群孤立的点表示. 其中正确的有( ) C A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 11 【题型二】根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式 例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1） ， ， ， ; 解 各项均是分式且分子均为1，分母均为两因数的积，第一个因数是项数加上1，第 二个因数比第一个因数大2，所以它的一个通项公式为 . （2） ， ， ， ; 数列可写为 ， ， ， ，分子满足 ， ， ， ，分母满足 ， ， ， ，所以它的一个通项公式为 . 12 （3） ，7， ，31; 正负相间，且负号在奇数项，故可用 来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次 幂减1，所以它的一个通项公式为 . （4）2，6，2，6. 为摆动数列，一般求两数的平均数 ，而 ， ，中间符号用 来表示，所以它的一个通项公式为 或 13 题后反思 由数列的前几项写出其中一个通项公式.往往要观察数列的前几项是否具有以下几个特征：各项的符号是否正负相间；各项能否拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”等；相邻项的变化规律；奇偶项是否有变化；对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子与分母之间的关系等. 14 跟踪训练2（1） （多选题）已知数列 的前5项为 ，1， ，1， ，则 的通项公式可能为( ) ABC A. B. C. D. [解析] 观察数列 的前5项可知， 的通项公式可能为 ，因为 ， 所以 ；若 ，则 ，不符合题意.故选 . 15 （2）根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式： ① ，3，8，15，24， ； 解 观察数列中的数，可以看到 ， ， ， ， ， ，所以它的一个通项公式为 . ② ， ，5， ，9， ； 数列各项的绝对值为1，3，5，7，9， ，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正， 偶数项为负，所以它的一个通项公式为 . ③ ， ， ， ， ， ； 此数列的整数部分为1，2，3，4， ，恰好是序号 ，分数部分与序号 的关系为 ，故所求数列的一个通项公式为 . 16 ④1，11，111， ， ， . 原数列的各项可变为 ， ， ， ， ， ，易知数列9，99，999， ， ， 的一个通项公式为 ，所以原数列的一个通项公式为 17 【题型三】数列中项的求解与判断 例3 已知数列 的通项公式为 . （1）求这个数列的第4项与第25项. 解 因为 ，所以 ， . （2）253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 假设253是这个数列中的项，则 ，解得 ，所以253是这个数列 的第121项.假设153是这个数列中的项，则 ，解得 ，这与 是 正整数矛盾，所以153不是这个数列中的项. 18 题后反思 （1）已知数列的通项公式，只要将序号代替公式中的 ，就可以求出数列的指定项. （2）判断某数值是否为该数列的项：先假定它是数列中的第 项，然后列出关于 的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不 是该数列的一项. 跟踪训练3（1） 已知数列1，2， ， ， , ,则10是该数列的第____项. 34 （2）在数列 中，若 ,则 的值为____. 27 19 【题型四】用列表法与图象法表示数列 例4 已知数列 的通项公式，分别用列表法和图象法表示它们 （1） ；（2） . 20 解 列表法分别表示这两个数列为 1 2 3 4 5 1 3 1 3 1 2 和 的图象分别如图1，2. 图1 图2 21 题后反思 对于任意数列 ，其每一项的序号与该项都有对应关系，于是可以用列表法表示；这样，根据列表法可知，数列的图象是一群孤立的点.一般情况下，我们用横坐标表示序号 ，纵坐标表示项 ,注意横坐标是正整数. 22 跟踪训练4 写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： （1）素数按从小到大的顺序排列成的数列； （2）欧拉函数 的函数值按从小到大的顺序排列成的数列.［注：欧拉函 数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互素的正整数的个数，如 ， 23 图2 解 令数列的第 项为 . （1）前10项为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29.图象如图1. （2）前10项为1，1，2，2，4，2，6，4，6，4.图象如图2. 图1 24 成果验收•课堂达标检测 25 A层 基础达标练 1.下列有关数列的说法正确的是( ) D A.同一数列的任意两项均不可能相同 B.数列 ，0，2与数列2，0， 是同一个数列 C.数列2，4，6，8可表示为 ，4，6， D.数列中的每一项都与它的序号有关 26 2.在数列 中， ,则 等于( ) B A.2 B.3 C.9 D.32 3.数列2， ，6， ， 的通项公式可能是( ) C A. B. C. D. 4.已知数列 的通项公式为 ，则33是这个数列的( ) C A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 5.已知数列 的通项公式是 ,则122是该数列的第____项. 11 27 6.数列 的通项公式是 . （1）这个数列的第4项是多少？ 解 因为 ，所以 . （2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 令 ，即 ，解得 或 （舍去），所以150是这个数列的项，是第16项. 28 B层 能力提升练 7.若一个数列为1， ， ， ， ，则 是这个数列的( ) D A.不在此数列中 B.第13项 C.第14项 D.第15项 8.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， 中，第25项为( ) C A.2 B.6 C.7 D.8 29 9.（多选题）已知数列0，2，0，2，0，2， ，则前六项适合的通项公式为( ) AC A. B. C. D. [解析] 分别验证，写出各数列的前六项可得.选项A的前六项为0，2，0，2，0，2，满 足条件；选项B的前六项为0， ，0，2，0， ，不满足条件；选项C的前六项为0， 2，0，2，0，2，满足条件；选项D的前六项为0，2，2，8，12，22，不满足条件.故 选 . 30 10.已知数列 . （1）求这个数列的第10项. 解 设 ，则 . （2） 是不是该数列中的项？为什么？ 解 不是.理由：令 ，得 .此方程无正整数解，所以 不是该数列 中的项. （3）求证：数列中的各项都在区间 内. 证明 因为 ， 所以 ，所以 ，所以数列中的各项都在区间 内. 31 （4）在区间 内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由. 解 令 ，即 所以 所以当且仅当 时， 上式成立，故在区间 内有数列中的项，且只有一项,为 . 32 C层 拓展探究练 11.如图1是第七届国际数学教育大会（简称 ）的会徽图案,会徽的主体图案是 由如图2的一连串直角三角形演化而成的,其中 ,若 把图2中的直角三角形继续作下去,记 , , , , 的长度构成数列 ,则 _ ___,此数列的通项公式为 _ ___ 图1 图2 <m></m> 2 33 [解析] 因为 ， ， ， ， ， ，所以 ， ， ， ， ， . 34 $$