专项突破12 数列与函数、不等式的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

3=a2ta1,a4=a3ta2,…,a+2=a1ta,以上各式相加得a3ta4+ ta2=(a2ta+…ta+1)+(a1ta2ttan),化简得aa*2a2=a1+ a+…+a。,即a1+a2++an=a42-1,故B正确： a1=a2=1,=2,a4=3,a5=5,a6=8,.a1+a3+a5=8a6-1=7,放 C错误： 易知c=4mai,c-1=4ma24(c-c1)=m(a-a2)归 (a.-a1)(an+a-1)=ax2a+i(n≥3)，故D正确。 故选ABD. 5.64126解析：依题意，第一次报数后向前一步的原序号为21， n1eN”,1≤50,1为第二次报数时的新序号， 第二次报数后向前一步的原序号为2m2eN”,m2≤25,2为第三 次报数时的新序号 第三次报数后向前一步的原序号为2,3@N,n≤12，为第四 次报数时的新序号。 第四次报数后向前一步的原序号为2n4,n4∈N”,n4≤6，n4为第五 次报数时的新序号， 第五次报数后向前一步的原序号为2m5,n5∈N”,5≤3，m5为第六 次报数时的新序号， 显然第六次报数时向前一步的序号为2，因此走到最前面的同学各 次序号按报数由后向前排列为2,22,2,2,2,2，所以走到最前面 的同学第一次的序号是64：这位同学的所有序号之和为2(1-2)。 1-2 126.故答案为64：126. 专项突破12数列与函数、不等式的综合应用 1.BC解析：a,=n+562x石=4，当且仅当2=56，即n n 2时取等号，因为aeN”,所以当n=7时，4=7：的15，当a 8时，=8名=5，所以。的的最小值为)和6因为≥ a4对n∈N·恒成立，所以k=7或k=8.故选BC 2.C解析：设等比数列{an1的公比为g,依题意，4a2+a4=4a,又可得 2-4g+4=0,解得g=2,a1=2,所以a。=2",所以b。=2”+2·(-1)产 当n为偶数时，由6，<Ab1,得2”+2<A(21-2),所以A22 2+2 1 ；对任意的偶数n成立因为y子单潤遥减，所以 221-2 当2时聚最大值故宁21 3 当n为奇数时，由6，<A地1，得2”-2<A(21+2),所以A21+2 2n-2 子2对任的奇数成立网为 」3单调递增，且当 22+1+2 A道向于正无穷时是无限接近于子，故A≥了综上所述，A>L故 迹选C. 3.C解析：n=1时，a1=2, 因为a1+22+3++na,=2°，所以n≥2时，a1+2a2+33+…+(n- 1)a1=2,两式相减得到nm,=2,放a.-2 (1,n=1. n=1时不适合此式，所以b。= a。 n+1)2= 1 n(n+1),n≥2 当n=1时，S1=61=1, 1111 当n≥2时，sn=1+7-3+34++二了 13 n+12, 所以：≥号，放：的最小值号放选C ）解析：n为正奇数时，不等式为-a<2+ -,易知y=2+ 选择性必修第一册·SJ 是递减的，而2+】>2，所以-4≤2，即4≥-2 n a为正侧数时，不等式为a2,易知y=2-是遥增的，a=2时。 y=2上取得最小值子所以a子 3 综上，a的范用是 【2)故答案为2，号) 5.63解析：a=2n+1→S。=n2+2n,[S]=[Vm+2n].n2< n2+2n<(n+1)2→n<V2+2n<n+1,[√S.]-[√m2+2m]=n,即 [√]+[5]+…+[]=1+2++n=amD≤2s. 2 .n(n+1)≤4050.n=63时.63×64=4032<4050.n=64时，64×65= 4160>4050.故n的最大值为63.故答案为63. 运期：22吃会会宁号 2 所以列}是首项，公均为的等差数列，宁 2(a-1)=2,所以a.=n…2时 (2)解：由S。=1×2°+2×2+3×22++n·2-1,则2S,=1×2+2×22+ 3×2+…+(程-1)·2-1+n·2“,两式相减得-5。=1+21+…+2-1- a·2”=2n…2=(1-m)2-1,所以8，=(n-1)2*+ (3)解：由(1)(2)，得(n-1)2+1≤n·2"-4n-A,整理得入≤2-4n 1恒成立， 令c,=2*-4n-1,则c1-6,=[21-4(a+1)-1]-(2”-4n-1)=2” 4,当n=1时e1<c,当n=2时c1=c,当n≥3时ca1>ca,所 以c1>02=C<c<05<…,即c.的最小值为c3=62=-5. 综上，A-5 7.(1)证明：由(a.+1)2=45。可得(a1+1)2=451,相减可得 (a1+1)2-(an+1)2=451-45。=4a1,因此a2,-a2=2(at+ a)→(a+1+a,)(a+1-a。-2)=0,由于引a.}为正项数列，所以a+1+ a,>0,因此a1-a.-2=0,故a1-=2,故数列{a,}为等差数列， 且公差为2. 又(a1+1)2=4S1■4a1,所以a1=1,故an■1+2(n-1)=2n-1. (2)解：a,+A=2n-1+,放T=+2)-)+=m2+m,由 2 T.≤2-2+(n-1)2可得n2+An≤2-2+(n-1)2,化简可得An≤ 22-2a+1,因此A≤22-2nt1 记6=2-2at1,则61-6， 2-1-2(n+1)+1_22-2nt1 n+1 n21-2m(n+1)+n-(n+1)(2-2-2m+1).(n-1022-1 n(n+1) n(n+1) 当a1时-6=号0，故6，面=6=-1，当33.aeN 时，a-1222≥2.(a-1022-10.0）066>0 故e<04<…,故g2=g3=-1为数列{en}的最小项，故A≤-1，放A的 最大值为-1. 1 8.B解析：因 √a+√n+I√a-可+√a+T √n+I-√n-可 ,应，则 (a-+√n+I)(√m+I-√-I) 2 T+2 1 1 5+45+W6 四t7Imh-0w-a+w6-4+ m-V9哪)=100-5. 2 1 √n+2-n +2-万 万+√n+In+n+2(a+n+2)(√m+2-n) 2 则1 1 +…+ +25+45+√6 t网+m2-i+w5g, 黑白题140 万-5+m-俩)-，-1号放名 2 2 1 1 1 <5,即整数部分为4.故选B /T+√25+/45+69+100 9.B解析：对①，因为51=S.+a,(a,+1),所以51-Sn=a1= a(an+1),所以a1-an=an(an+1)-a=an2>0,即VneN',a.< a1,故①嘴误：对②，由a1=a,(a,+1)得1= 1 1 aatl dn(d+l)aa 1 1 a听以11所以会a1=+1+五++ d+1 dn dael a,+1 上L,LL+上1.1因为4=l,a<a1,所以 B1 02 a2 0g Bn Bntl ay awtl 1所 1<1,所以②正确： 对③，当n=1时，52=S1+a1(a1+1),化简得a2=a1(a1+1)=2,所以 当n≥1时，a1-2a,=an(an+1)-2an=a(an-1)≥0，即a+1≥2a 所以4侧≥24四≥…≥20a,=2,所以宁≥2所以③惜 误故选B 10.ABD解析：对于A,an1-a,=2-6a,+9=(a,-3)2,若an=3,则 a+1-0,=0,a,}是常数列，则a1=3,与a1=5矛盾，所以a1-a> 0,故A正确； 对于B”-5a9 (}(刀 (a,-2)(a,-3)a=5,a=9,a=45,a=452-455+9=1809,所 41806x1807,故B正确： 对Fco=)女()h(4）}月 号a人) (n) >2,累乘可得 5 In a2 023-2 >224,所以na2晒 h(a) 2 对于D,因为a1=(a,-2)(a,-3)+3,所以a1-3=(a,-2)(a。 3),所以1 11 a3a2a.-3》。-3-2所以 a.-2a,-3 数别司}的前：项和为5所以线 1 1 a-2ag-2* 1 111111 。-2,-33+-3a-34-34-3+。,-3 30301了之a1一37放D正确放选ABD 1111.11 1l.（1解：若选①：由a21-2a1=a2+20。,得(21-a)- (2a1+2a.）=0,即(a1+am)(a1-a-2)=0,因为1a (neN”)为正项数列，所以a1-a.=2,|a.}是公差为2的等差数： 参考答案司 列，由42=3，得a.=42+(n-2)×2=2n-1. 若选②：n(an+1)=25,当n2时，(n-1)(a1+1)=2S。1,两式 作差得(a-2)an-(n-1)a-1+1=0,则(n-1)a1-a.+1=0,两式 作差得(n-1)a1-2(n-1)a,+(n-1)a1=0,即a1+a-1=2a, 所以数列{a为等差数列，n=1时，a1+1=25,=2a1,可得a1=1, 公差d=a2-a1=3-1=2,则a.=2n-1. (2)证明：由(1)知，b。= 1 )小（号 2()解：因为1=-1o=a,+1,所以e1+号3，+号-3( 1 1 dn+2 首项，3为公比的等比数列，所以。，+号-子×3=}x3,所以 (2)证明：由(1)可得 32当n31时3”-1-2x3-1=31 1≥0，即3”-1≥2x3,所以1=2 2 0,3-12x33同，所以7.= 1 111 d1 @2 03 3 1- 3 13.(1)解：25。=(n+1)an,当n≥2时，2Sn-1=m1,两式相减 得2a,=(a+1)a,-4-,整理得(a-)a,=a1,即么= a1 n-1' 当≥2时.a,=a1··。之=3x2x3X dn-1 3n,a1=3满足此式，a,=3n (2)①解：由(1)得，2S=3n(n+1).3-3ag*,8 2 数列侣}是首项为3，公花为宁的等款数列 2 当n为奇数时，+1为偶数，3（为3的整数倍，3(D是数列 2 2 1a。中的项， 当n为偶数时，+1为奇数，3（不是数列1a,中的项。 2 ·数列16中的项为数列 }约屑数现且-受-数 6是首项为号，公差为3的等差数列.6=号+3(。-) =3(2n+1) 2 6.61=3(2+D.3(2m+3》.9(2m+1(2n3).1 2 2 4 4 211 9(2n+1)(2n+3)9(2n+12n+3 2(1111 1 4n 2n+354n+8 ②证明：由①得，b,= 3(2n+1) 9 3 2 ,6=2,b1=2(6m+3), 白题141 (2e.+1) be= 2 6,度等比数列候1-4，脚[是6m+3)] 9、3(2+1) 2 2,六cn=6m2+6n+1, 2 cn6n2+6m+16n2+6n “411 11 +…+ Cy c2 专项突破13利用导数运算法则巧构函数解题 1A解折：因为0c宁号可化为)-受子<0，令e) )÷子则g时国2 1 因为∫广()<行，所以g()<0,所以g)在R上单调递减 因为1=1所以=)-子0，所以g国g,所以 D1,即不等式宁的解集为1，+).放选人 2.B解析：设g(x)=八x)-e+2,则g(x)=∫(x)- 因为f"(x)<e,所以f(x)-e<0,即g'(x)<0,所以g(x)在R上单 调递减. 不等式f(nx)>x+2等价于不等式fnx)-x+2>4,即g(lnx)>4. 因为f(2)=e2+2,所以g(2)=f(2)-e2+2=4,所以g(1nx)>g(2). 因为g(x)在R上单调递减，所以lnx<2,解得0<x<e2,故选B. 3.B解折：令8()=)22，当xe(0,+)时g(e)f()-< 0,即g(x)在(0，+x)上单调递诚 又g(x)+g(-x)=f八x)-x)-x2=0g(x)是奇函数，从而g(x)在 R上单调递减， 4-m)m)=g(4-m)+号(4-m)2-g(m)-子m2g(4-m） g(m)+8-4m≥8-4m,∴g(4-m)≥g(m),.4-m≤m,解得m≥2.故 选B. 4.(1,+x)解析：令函数g(x)=八x)-nx(x>0),则g(x)=f'(x) 上寸()-<0，因此函数g)在(0，+)上单调递减， g(e)=f八e)-lne=1,因此e)<x+1f(e)-x<1g(e)<g(e), 即e>e,解得x>1,所以不等式f(e)<x+1的解巢为(1，+).故答 案为(1，+x): 5.A解析：令g(x)=x),因为f八x)+'(x)<0,所以g'(x)=f八)+ 对'(x)<0,所以g(x)在R上单调递减. 又f八2)=-4，所以g(2)=-8,因此不等式(x2-x+2)f八x2-x+2)>-8 可化为g(x2-x+2)>g(2),所以x2-x+2<2,解得0<x<1,即不等式 (x2-x+2)f八x2-x+2)>-8的解集为(0,1).牧选A. 6.B解析：令g(x)=f(x)e,xeR,:3(x)+f'(x)<0,∴g'(x)= f'(x)e+3x)3=e(3)+f(x)<0,g(x)=fx)e在R上 单调递诚. 又fln2)=1,g(1n2)=n2)em2=8,.不等式x)e>8可化 为g(x)>g(血2)，∴.x<血2放选B. AB解折：冷F)-得则F:包，由题查知 (x+1)2 (x+1)f'(xx),所以F(x)<0,即F(x)在(0，+∞)上单调递减， 所2023)，2024)2024)2025) 2024202520252026,放A正确，c错误 又x=2是fx)的唯一零点，所以F(2)=0.又F(x)在(0，+m)上单 调莲减所以F-g0,R3)-九g0即03)c0,款 选择性必修第一册·SJ B正确，D错误故选AB &A解折：由了()n+)<0,得h<0,令g) 尺x)hx,x(0,+),则g'(x)=f'(x)nx+fx)<0,所以g(x)< 0在(0，+)上恒成立，所以g(x)在(0，+∞)上为减函数 因为宁>，且了=心在R上单调逼湖，所以。>>。，所 以g()g)g(e)所以r(e）hi()hei< f()）h,所以宁c文，即6a<40<k故选A 9.(-0,-2)U(1,+)解析：依题意，不等式ex2+x)>e22f2) r,2 e2, 令函数g()=国(x>0),求导得g()=八，由< e e f户(x),得g(x)>0,函数g(x)在(0，+)上单调递增， 原不等式为g(x2+x)>g(2),因此x2+>2,解得x<-2或x>1,所以原 不等式的解集为(-。，-2)U(1,+∞).故答案为(-，-2)U (1,+0). 10. 解桥：)-)0且xe(受受）得到 是奇函数 令ge)-当0≤<号时.ga-f儿因到<0， 则)在0，受)上单调递减。 显然函数-园是奇函数则：()在（三，可上单调遥减 cos x 从面c)在（号 上单调递减， 不等式)<f( 0sx化为) () ,即g(x)< c4 (）解得号a<受所以不等式k(于)小m的解 集为（任受）故答案为（任）】 专项突破14利用导数证明不等式 1.(1)解：依题意知函数的定义域为x1x>01,()=2x-2- 2(+1)(x-D,由f()>0,得1，由f()<0,得0<1，）的 单调递增区间为(1，+。)，单调递减区间为(0,1)· (2)证明：设g(x)-)-3x+4=2-2m-3x+4,g(x)=2-2-3= 2公2-3x-2.(2x+1)(-2》当x>2时，g(x)>0g(x)在 (2,+∞)上单调递增g(x)>g(2)=4-22-6+4>0,当>2时， x2-2n>3x-4,即当x>2时fx)>3x-4 2.(1)解：函数八x)=ae2-x+6求导得f(x)=ae2-1,则∫(0)=a-1, 而f八0)=a+b,因此曲线f八x)在x=0处的切线方程为y一a-b= (a-1)x,即y=(a-1)x+a+6,依题意，a2+2a-1=a-1+a+b,所以6 a2=0. (2)解：由(1)知函数f代x)=ae-x+a2的定义域为R,求导得f(x)= ae*-1, 当a≤0时f'(x)<0(x)在R上单调递诚： 当a>0时，f(x)=ae-1=0,得x=-lha,当x<-lha时f'(x)<0, fx)在(-，-na)上单嗣递减，当x>-lna时f(x)>0,f八x)在 (-lna,+∞)上单调递增， 黑白题142心专项突破12 数列与函数、不等 题组利用单调性解决数列不等式问题 1.(多选)(2025·陕西西安高二月考)已知 56 数列a,的通项公式a,=n+6,若a,≥a n 对n∈N·恒成立，则满足条件的正整数k 可以为 ( A.6 B.7 C.8 D.9 2.(2025·江西萍乡高三期中)已知数列{a} 是等比数列，且a1=2,4a2,2a1,a4成等差 数列.若bn=an+2·(-1)”,且bn<Abn对任 意n∈N恒成立，则实数入的取值范围是 A.(0,1) B(分 C.(1,+o) D.[吃，+x 3.(2025·江西赣州高二月考)已知数列{a,} 满足a1+2a2+3a3+…+nan=2,设bn= (n+1)2心，为数列1b,}的前n项和若 S,<1对任意n∈N°恒成立，则实数t的最 小值为 A.1 B.2 C.3 4.(2025·湖南长沙一中高二期末)若不等式 (-1)a<2+1)”"对于任意正整数n恒 n 成立，则实数a的取值范围是 5.(2025·湖北十堰高三月考)[x]表示不超 过x的最大整数，比如[2.6]=2，[T]=3, …,已知等差数列{an}的通项公式an=2n+ 1,其前n项和为Sn,则使[S,]+[√S2]+ …+[√S.]≤2025成立的最大整数 n为 式的综合应用 6. (2025·江苏淮安淮阴中学高二期中)已知 数列{an}的前n项和为S。,a1=2an+2” (neN"）,a,=1. (1)证明：数列 为等差数列，并求数列 an}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和Sn; (3)若Sn≤2an-4n-入对任意neN°恒成 立，求实数入的取值范围. 7.(2025·河南信阳高二期中)已知正项数列 an}的前n项和为S。,且满足(a.+1)2= 4Sn,n∈N (1)求证：数列{an|为等差数列，并求出它 的通项公式： (2)若数列{an+入}的前n项和为T.,Tn≤ 2-2+(n-1)2恒成立，求实数入的最 大值 进阶突破·专项练29 题组三利用放缩法证明数列不等式 8.1 的整 1+23+√45+6 √99+/100 数部分是 ( A.3 B.4 C.5 D.6 9.(2025·江苏苏州高二月考)已知首项为1 的数列{a,}的前n项和为S.,其中S1= S+a(an+1),现有以下结论：①3neN°， a,>0+1;②21 1;③024-1 22024 .则正确 台a.+1 结论的序号为 A.① B.② C.②③ D.①②③ 10.(多选)(2025·山东青岛高三期中)设数 列{an}满足a+1=a2-5an+9,a1=5,记数 列1}的前n项和为S,则 () (an-2 A.a+>a B、1 a1806×1807 D.S<2 11.已知正项数列1an}(n∈N*)中，a2=3,前 n项和为Sn,且 请在①②中任选 一个条件填在题目横线上，再作答： ①a21-2a1=a2+2an,②n(an+1)=2Sn (1)求数列{an}的通项公式： 1 (2)设bn (a.+1),数列16，的前n项和 为T,证明：T<2 30黑白题数学|选择性必修第一册·SJ 2,已知数列{a}满足a1=1,an+1=3an+1. (1)求数列{an}的前n项和S.; (2)设的前n项和为T,证明：T.< 3 3.(2025·江苏南通高二期中)已知数列 an的前n项和为Sn,2Sn=(n+1)an,且 01=3. (1)求an (2)若从数列} S. 中删除{a,}中的项，余 下的数组成数列{b,. ①求数列 b. 的前n项和T: ②若b1,b1,b。成等比数列，记数列 的前n项和为A,证明：A.<6