4.1 数列（第2课时 数列的递推公式）课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 4.1 数列 第2课时 数列的递推公式 【课标要求】 1.理解数列递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 2.进一步理解数列与函数的关系. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.数列及其有关概念 一般地，如果已知一个数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式.递推公式也是给定数列的一种方法. 4 知识点2.数列的周期性 在数列 中，如果存在一个正整数 ，使得对于任意的 ，都有 ，那么数列 就叫作周期数列，正整数 叫作这个数列的周期. 5 知识点3.数列的单调性 若数列 满足对于一切正整数 ，都有 （或 ），则称数列 为递增数列（或递减数列）. 6 题型分析·能力素养提升 7 【题型一】由递推公式求数列的一些项 例1 在数列 中， , , ，求 的前5项. 解 由 ，得 .因为 ， ，所以 ， ， ， 所以数列 的前5项为1，3，10，33，109. 题后反思 已知数列的首项（或前几项），通过对递推公式逐项赋值可求出数列的项，直至 求出数列的任何一项或所需的项；如果已知的是末项，通常是解方程，依次求出 的 值，直到满足条件. 8 跟踪训练1（1） 若数列 满足 ,则 ( ) D A.136 B.120 C.68 D.40 [解析] 因为 ，所以 ， ， , ， ， ， ,所 以 .故选D. 9 （2）“科拉茨猜想”又称“ 猜想”，是德国数学家洛萨·科拉茨在1950年世界数学 家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数 ，如果 是偶数，就将它减半；如果 为奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，得 到1即终止运算.已知正整数 经过5次运算后得到1，则 的值为( ) A A.32或 B.16或2 C. D.32或5或4 10 [解析] 设 经过第 次运算后变为 ，可知 ， ， ， .因为 ，所以 ， .若 为奇数，则 ,得 ，不符合题意，所以 为偶数，且 .若 为奇数，则 ，得 ，不符合题意；若 为偶数，则 .若 为奇数，则 ，可得 ；若 为偶数，则 .综上， 或32.故选A. 11 【题型二】与周期数列有关的问题 例2（1） 已知数列 满足 , ，则 ( ) C A.0 B. C. D. [解析] 因为数列 满足 ， ，所以 ， ， ， ， ， ，这样，数列 是周期为3的数列， 所以 .故选C. 12 （2）若数列 满足 , , ,则 的值为_ ___. <m></m> [解析] 由题意可知， ，则 .又 ，则 .因为 ，则 ，同理可得， ， ， ，可得数列 的周期为6.又 ，所以 . 13 题后反思 已知递推公式，可以由数列的首项（或前几项）求出后一项，进而可以求出所有项.但是当所求项的项数较大时，则要找出规律，利用周期性来解题. 跟踪训练2（1） 若数列 满足 , ,则 ( ) C A. B.1 C.2 D. [解析] 数列 满足 ， ，可得 ， ， ， ，所以数列 是以3为周期的数列， 所以 故选C. 14 （2）（多选题）已知数列 中， , ,使 成立的 可以是 ( ) AD A.2 019 B.2 021 C.2 022 D.2 023 [解析] 由题意可知， ， ， ， ， ， ， ， ，可得数列 的周期为4，所以 ， ， ， ，所以使 成立的 可 以是 ， .故选 . 15 【题型三】单调性的判断与应用 例3（1） 已知数列 的通项公式为 ,则该数列为( ) D A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.先增后减数列 [解析] 因为 ，所以 .而 ，所以当 时， ；当 时， ，所以数列 为先增后减 数列.故选D. 16 （2）数列 的通项公式为 .若 为递增数列，则 的 取值范围是( ) D A. B. C. D. [解析] 因为数列 的通项公式为 ，且 为递增数列， 所以 对于 都成立，所以 对于 都成立，即 ，所以 对于 都成立，所以 对于 都成立，所以 ，即 的 取值范围是 .故选D. 17 规律方法 判断数列单调性的方法主要有作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断.在利用函数进行判断时，要注意自变量的取值是不连续的，只能取正整数.利用数列的单调性确定变量的取值范围时，常利用以下的等价关系：数列 递增 ，数列 递减 ,进而转化为不等式恒成立问题，通过分离变量转化为代数式的最值来解决；或由数列的函数特征，通过构建变量的不等关系，解不等式（组）来确定变量的取值范围. 18 跟踪训练3 在数列 中， , ,则( ) A A.数列 单调递减 B.数列 单调递增 C.数列 先递减后递增 D.数列 先递增后递减 [解析] 由 ， ，得 ， ，且可知 . 再由 ，两边平方得 ，则 , 得 ,所以 .因为 ， 所以 与 同号，由 ，可知 ，即 ，所以数列 单调递减.故选A. 19 【题型四】数列的最大（小）项问题 例4 若数列 的通项公式为 ，则数列 的最小项的值是_ ___. <m></m> [解析] .因为 ，当 时， ； 当 时， ，结合二次函数的性质，可得数列 的最小项的值是 . 20 规律方法 求数列最值的方法 （1）函数的单调性法：令 ，通过研究 的单调性来研究最大（小） 项. （2）不等式组法：先假设有最大（小）项.不妨设 最大，则满足 ,解不等式组便可得到 的取值范围，从而确定 的值；求最小项， 设 最小，用不等式组 求得 的取值范围，从而确定 的值. 21 跟踪训练4 已知数列 的通项公式为 ，则 中的最大项为 ( ) C A.第6项 B.第12项 C.第24项 D.第36项 [解析] 因为 ，令 ，得 ，解得 ，所 以当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，故当 时， 最大.故选C. 22 成果验收•课堂达标检测 23 A层 基础达标练 1.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) B A. , , , , B. , , , ,… C. , , , , D.1, , , , , 2.已知数列 满足 , ,则 等于( ) C A. B. C. D. 3.数列1，3，6，10，15， 的递推公式可以是( ) B A. B. C. D. 24 4.在数列 中， ,则数列 的最小项是( ) C A. B. C. D. 5.（多选题）已知数列 的通项公式为 ,若数列 是递减数列，则实数 可能取的值是( ) CD A. B.0 C.1 D.2 6.如下表定义函数 1 2 3 4 5 5 4 3 1 2 对于数列 , , , ,3,4, ,则 的值是___. 5 25 7.已知数列 中， , ，以后各项由 给出. （1）写出此数列的前5项； 解 因为 ，且 ， ，所以 ， ， .故数列 的前5项依次为1，2， 3，5，8. （2）通过公式 构造一个新的数列 ,写出数列 的前4项. 因为 ，且 ， ， ， ， ，所以 ， ， ， .因此数列 的前4项依次为 ， ， ， . 26 B层 能力提升练 8.已知数列 满足 若 ,则 ( ) B A.3 B.6 C.11 D.12 9.在数列 中， ,若对任意的 ,都有 成立，则实数 的取 值范围为( ) A A. B. C. D. 10.设 是无穷数列，若存在正整数 ,使得对任意的 ,均有 ,则称 是间隔递减数列， 是 的间隔数.已知 ,若 是间隔递减 数列，且最小间隔是4，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 27 11.分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科， 它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规 律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第 行黑圈的个数为 ,则 ( ) 图1 图2 A A.55 B.58 C.60 D.62 28 12.（多选题）[2023泰州检测] 在数列 中，对于任意的 都有 ,且 ,则下列结论正确的是( ) ACD A.对于任意的 ,都有 B.对于任意的 ,数列 不可能为常数列 C.若 ,则数列 为递增数列 D.若 ，则当 时， 29 [解析] 对于选项A，因为 ，对于任意的 都有 ，所以 ，即对于任意的 ，都有 ，故选项A正确；对于选项 B，由 ，得 ，若数列 为常数列且 ， 则 ，满足 ，故选项B错误；对于选项C，由 ，得当 时， ，此时 ，且 ，故数 列 为递增数列，当 时， ，此时 ，故 数列 为递减数列，故当 时，数列 为递增数列，故选项C正确；对 于选项D， ，故选项D正确.故选 . 30 13.已知数列 的通项公式 ,若数列 为递增数列，则实数 的取值范围 是_ _____________. （ <m></m> ，2） [解析] 因为数列 为递增数列， ，所以 对 恒成立，化简并整理，得 对 恒成立.因为当 时， 有最小值，即 ，所以 ，故实数 的取值范围 是 . 31 14.在数列 中，若存在 ，使得“ 且 ”成立（其中 ， ）,则称 为 的一个峰值.若 ,则 的峰值为____；若 ，且 不存在峰值，则实数 的取值范围是_ _____________. 15 （ <m></m> ，6］ [解析] 令 ，则 的图象开口向下，且对称轴为直线 .但 由于 ，当 时， ；当 时， .所以对于任意的 ， 都有 ，所以 的峰值为15. 因为 ，且 不存在峰值，令 ，因为 的图 象开口向下，所以数列 是满足 且 ，其中 ， ，所 以 ，即 ，所以实数 的取值范围是 . 32 15.已知数列 中， ,且当 时， . （1）试求 , , 的值，并归纳出数列 的通项公式； 解 当 时， ，所以 ；当 时， ，所以 ；当 时， ，所 ，所以 . 33 （2）若不等式 对任意的 恒成立，求 的取值范围. 对任意的 恒成立，即 对任意的 恒成立.记 ,故 ，所以当 时， ， ，所以 ，即 ，当 时， ，即随着 的增大， 单调递减，所以 的最大 值为 ，所以 ，即 .故 的取值范围为 , . 34 C层 拓展探究练 16.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反 复进行上述两种运算，经过有限步骤后，必进入循环圈 .这就是数学史 上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数 ，根据上述运算法则得 出： ,至少需经过8个步骤变成1（简称为8步 “雹程”）.一般地，一个正整数 首次变成1需经过 个步骤（简称为 步“雹程”）.现 给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 满足 （ 为正整数）， 若 ，则7步“雹程”对应的 的所有可能取值的个数 为( ) D A.3 B.4 C.5 D.6 35 [解析] 因为 且 ，所以 ，所以 ，所 以 或 . ①若 ，则 ，所以 ，所以 或 ，所以 或 . ②若 ，则 ，所以 或 . 当 时， ，此时 或 ； 当 时， ，此时 或 综上，满足条件的 的值共有6个.故选D. 36 17.已知无穷数列 ,若存在正整数 ，使得该数列由 个互不相同的实数组成，且对 于任意的正整数 , , , , 中至少有一个等于 ,则称数列 具有性质 ，集合 , . （1）若 ，判断数列 是否具有性质 ； 解 因为 数列 是由2个不同元素组成的无穷数列，即 ，1， ，1， ，是周期为2的周期数列，故 ，所以对于任意的正整数 ， 有 ，满足性质 的条件，故数列 具有性质 . 37 （2）数列 具有性质 ，且 , , , ,求 ， 的值. 由 ， ， ， ，2， ，可知 .考虑 后面连续三项 ， ， .假设 ，由 ，及性质 知 ， 中必有一个数为2.所以 ， ， 中有两项为2，故必有1或3不在其中，不妨设 （ 或3），考虑 ， ， ， 中，最后一个等于 的项，则该项的后三项均不等于 ，不满足性质 的条件，矛盾，所以 .同理可知， . 38 $$