4.2.1 等差数列的概念课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 4.2.1 等差数列的概念 【课标要求】 1.理解等差数列的概念，并根据等差数列的定义进行简单的运算. 2.能根据等差数列的定义证明一个数列是等差数列. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.等差数列的概念 （1）文字语言：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得 的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公 差，公差通常用 表示. （2）符号语言：在数列 中，若 ， , 为常数 或 , 为常数 ,则此数列是等差数列，其中常数 叫作等差数列的 公差. 4 名师点睛 （1）“从第二项起”是指第一项前面没有项，无法与后续条件中“减去它的前一项所得的差”相吻合. （2）“每一项减去它的前一项所得的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻. （3）定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，必须与 无关，否则这个数列不能称为等差数列. 5 知识点2.等差中项的概念 如果 , , 这三个数成等差数列，那么 .我们把 叫作 和 的等 差中项. 名师点睛 （1）两个数的等差中项就是两个数的算术平均数.任意两实数 , 的等差中项存 在且唯一. （2）三个数 , , 成等差数列的充要条件是 . 6 题型分析·能力素养提升 7 【题型一】等差数列的概念 例1 （多选题）下列是等差数列的有( ) AD A. ， ， ， ， B. ， ， ， ， C.0，2，0，2，0，2 D. ，0，2，4，6 [解析] 对于A，因为 ， ， ， ， 为常数列，所以该数列是等差数列， 故选项A正确；对于B，因为 ，所以该数列不是等差数列，故选项B错误； 对于C，因为 ，所以该数列不是等差数列，故选项C错误；对于D，因 为 ，所以该数列是等差数列，故选项D正确.故选 . 8 题后反思 利用定义法判断等差数列：从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列. 跟踪训练1 以下不能构成等差数列的是( ) B A.2,2,2,2 B. , , , C. , , , D. , , 9 【题型二】等差中项的概念 例2 与 的等差中项是_ _______. <m></m> [解析] 设 与 的等差中项是 ，则 . 10 题后反思 若 , , 成等差数列，则 ;反之，由 也可得到 , , 成等差数列， 所以 是 , 的等差中项 . 跟踪训练2 若 和 的等差中项是4， 和 的等差中项是5，则 和 的等差中项 是___. 3 11 【题型三】等差数列的基本计算 例3 若一个等差数列的前4项是 , , , ，则 等于( ) C A. B. C. D. [解析] 因为等差数列的前4项是 ， ， ， ，所以 解得 ， 所以 .故选C. 12 题后反思 , , 成等差数列 跟踪训练3 已知方程 有实数根，且2， , 为等差数列的前三项， 求该等差数列公差 的取值范围. 解由题意，得 则 ，故 或 ，故 或 ，则该等差数列公差 的取值范围为 . 13 【题型四】等差数列的判断与证明 例4 （多选题）若 是等差数列，则下列数列仍为等差数列的是( ) BCD A. B. C. , 为常数 D. 14 [解析] 对于A，数列 ，1，3是等差数列，取绝对值后1，1，3不是等差数列，故选项A不符合题意；对于B，若 为等差数列，根据等差数列的定义，可知数列 为常数列，故 为等差数列，故选项B符合题意；对于C，若 为等差数列，设其公差为 ，则 为常数，故 为等差数列，故选项C符合题意；对于D，若 为等差数列，设其公差为 ，则 为常数，故 为等差数列，故选项D符合题意.故选 . 15 例5 已知 , , 成等差数列，求证： , , 也成等差数列. 证明 由已知得 ，所以 ， ，所以 ， ，即 .故 ， ， 成等差数列. 规律方法 判断或证明等差数列的方法 （1）定义法： 或 数列 为等差数列. （2）等差中项法： 数列 为等差数列. 16 跟踪训练4（1） （多选题）若数列 为等差数列，则下列说法正确的有( ) ABD A.数列 , , , , , 为等差数列 B.数列 , , , ， , 为等差数列 C.数列 为等差数列 D.数列 为等差数列 17 [解析] 设等差数列 的公差为 .对于A， （常 数），所以A正确；对于B， （常数），所以B正确；对 于C，由 ，当 时， （常数），此时数列 为等差数列；当 时， （不是常数），此时数列 不是等差数列，所以C 不正确；对于D， （常数），所以D正 确.故选 . 18 （2）已知数列 满足 ,且 .求证：数列 是等差数列. 证明 因为 ，所以 ，即 ，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列. 19 成果验收•课堂达标检测 20 A层 基础达标练 1.下列数列中，不成等差数列的是( ) B A.2，5，8，11 B. , , , C. , , , D. , , , 2.“ , , 成等差数列”是“ ”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若等差数列 的公差为 , 为常数且 ,则( ) B A.数列 是公差为 的等差数列 B.数列 是公差为 的等差数列 C.数列 是首项为 的等差数列 D.数列 不是等差数列 21 4.若 是2，8的等差中项，则 ___. 5 5.请写出三个数，使它们成等差数列，且这个数列的公差为 ，这三个数为________ ____________________. 0， <m>，</m> <m></m> （答案不唯一） 6.若3， , , , 成等差数列，求 , , 的值. 解 由题意，得 解得 22 B层 能力提升练 7.现有下列命题： ①若 ,则数列 是等差数列； ②若 ,则数列 是等差数列； ③若 ， 是常数 ，则数列 是等差数列. 其中真命题有( ) C A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 23 8.已知无穷数列 和 都是等差数列，其公差分别为 和 ，若数列 也是 等差数列，则( ) B A. B. C. , 可以是任何实数 D.不存在满足条件的实数 和 9.已知数列 满足 , ,则 与 的等差中项是( ) C A. B. C.5 D.10 24 10.设甲： 的一个内角为 ，乙： 的三个内角的度数成等差数列，那 么( ) C A.甲是乙的充分条件，但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件，但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 25 11.已知数列 和 满足 , , , .证明：数列 是等差数列. 证明 因为 ， ，两式相减,得 ，所以 .又因为 ，所以 是首项为1，公差为2的等差数列. 26 C层 拓展探究练 12.[2023南京模拟] 已知等差数列 的首项为 ,且 ，则 __________. 1或6或11 [解析] 当 时， 为常数列，所以 ；当 时， 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 ；当 时， 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 . 27 13.设 和 是两个等差数列,记 , , , ,其中 , , , 表示 , , , 这 个数中最小的 数. （1）若 , ，求 , , 的值； 解 因为 ， ，所以 ， ， ， ， ， ，所以 ， ， ， ， ， . 28 （2）若 , ,证明 是等差数列. 证明 因为 ， ，所以 ，当 时， ;当 时， ，所以 为递增数列，所以 ， ， ， ，所以对任意 ， ，所以 ，所以 是等差数列. 29 $$