4.2.2 等差数列的通项公式课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 4.2.2 等差数列的通项公式 【课标要求】 1.掌握等差数列的通项公式，能利用等差数列的通项公式进行基本量的计算. 2.能在实际问题中抽象出等差数列，并解决一些简单的问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.等差数列的通项公式 首项为 ,公差为 的等差数列 的通项公式为 , . 名师点睛 通项公式由首项 和公差 完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了. 4 知识点2.从函数角度认识等差数列 若数列 是等差数列，首项为 ,公差为 ，则 名师点睛 点 落在直线 上，这条直线的斜率为 ，在 轴上的截距为 . 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】等差数列的通项公式及相关计算 例1 在等差数列 中, （1）已知 , ,求 ； 解 （2）已知 , , ,求 ； 由 ，得 ，解得 . （3）已知 , ,求 ； 由 ，得 ，解得 . 7 （4）已知 , ,求 和 . 由 ，得 ，解得 ，所以 . 规律方法 等差数列 的通项公式 中共含有四个变量,即 , , , , 如果知道了其中的任意三个数,就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程我 们通常称之为“知三求一”. 8 跟踪训练1 已知在递增的等差数列 中, , . （1）求 和 ； 解 由 是等差数列，得 .根据 且 是递增数列，得 （2）求 的通项公式. 设等差数列 的公差为 . 由 得 解得 所以 . 9 【题型二】灵活设元解等差数列 例2（1） 三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数; 解 设这三个数依次为 ， ， ，由题意可得 解得 所以这三个数依次为4，3，2. （2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两数的积为 ，求这四个数. 设这四个数依次为 ， ， ， （公差为 ）， 由题意可得 解得 或 （舍去），故所求的四个数依次为 ，0，2，4. 10 规律方法 等差数列的设项方法与技巧 （1）当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为 ,公差为 ，利用已知条件建立方程求出 和 ，即可确定数列. （2）当已知数列有 项时，可设为 , , , , , , , ,此时公差为 . （3）当已知数列有 项时，可设为 , , , , , , , , ,此时公差为 . 11 跟踪训练2（1） 已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首末两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列； 解 设这四个数分别为 ， , ， ,则 又该数列是递增数列，所以 ，所以 ， ，所以此等差数列为 ，2， 5，8或 ， ， ，1. 12 （2）已知等差数列 是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数 列 的通项公式. 设等差数列 的公差为 ，则其前三项分别为 ， ， ，则 解得 或 因为数列 为递增数列， 所以 所以等差数列 的通项公式为 . 13 【题型三】等差数列的实际应用 例3 体育课上老师指挥大家排成一排,冬冬站排头,阿奇站排尾,从排头到排尾依次报数. 如果冬冬报17,阿奇报150,每位同学报的数都比前一位多7,那么队伍里一共有____人. 20 [解析] 由题意知，每位同学报的数是一个等差数列，其中首项为17，公差为7，末项为150.设末项为第 项,则 ，解得 ，故队伍里一共有20人. 14 规律方法 当一组数按次序“定量”增加或减少时,这组数成等差数列.合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题. 15 跟踪训练3 我国古代数学著作《周髀算经》中记载了二十四节气与晷长的关系：每个 节气的晷长损益相同.晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度，如 图1所示，损益相同，即相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，且周而复始.二十四 节气及晷长变化如图2所示.已知谷雨时节晷长为5.5尺，霜降时节晷长为 9.5尺，则二 十四节气中晷长的最大值为( ) 图1 图2 B A.14.5 B.13.5 C.12.5 D.11.5 16 成果验收•课堂达标检测 17 A层 基础达标练 1.401是等差数列5，9，13， 的( ) C A.第98项 B.第99项 C.第100项 D.第101项 2.在数列 中, , ,那么这个数列的通项公式是( ) B A. B. C. D. 3.（多选题）等差数列20,17,14,11, 中的负数项可以是( ) BCD A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 18 4.已知 是等差数列，且 ,则 ( ) B A.1 B.3 C.5 D.7 5.在等差数列 中， , ,则 的值为( ) B A.18 B.20 C.22 D.24 6.已知 为等差数列,若 , ,则 _ ___. <m></m> 19 7.在等差数列 中, , . （1）求数列的第10项. （2）112是数列 的第几项? （3）在80到110之间有多少项? 20 解 设数列 的公差为 ，则 解得 . . 由 ，解得 ,所以112是数列 的第39项. （3）由 ,解得 ， 所以 的值为29，30， ，38，共10项. 故80到110之间有10项. 21 B层 能力提升练 8.（多选题）已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个 数依次为( ) AB A. ,4,10,16 B.16，10，4， C.2，5，8，11 D.11,8,5,2 9.在数列 中， , ，则数列 的通项公式为_________. <m></m> 10.写出一个公差不为零，且满足 的等差数列 的通项公式 _ ____________________. <m></m> （答案不唯一） 22 11.已知等差数列 的首项为2，公差为8，在 中每相邻两项之间插入三个数，使 它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列 ,则数列 的通项公式 _ ___. <m></m> 12.某公司经销一种数码产品,第一年可获利200万元,从第二年起，由于市场竞争方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销此产品将亏损? 解 设第 年的利润为 万元， 则 ， ，所以每年的利润构成一个等差数列 . 从而 . 若 ，则该公司经销此产品将亏损，令 ，得 . 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损. 23 C层 拓展探究练 13.意大利数学家斐波那契在《算盘全书》中提出一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34, ,这个 数列被称为斐波那契数列.数列 与自然界的许多现象有密切关系,在科学研究中有 着广泛的应用.若该数列 满足 , ,则该数列的前1 000 项中,为奇数的项共有( ) D A.333项 B.334项 C.666项 D.667项 [解析] 因为 为奇数， 为偶数， ， 为奇数， 为偶数，依此类推， ， ， ， 为偶数.由 ，可得为偶数的 项共有333项，那么为奇数的项共有667项.故选D. 24 14.已知数列 ， 都是等差数列，公差分别为 , ,数列 满足 . （1）数列 是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. 解 数列 是等差数列. 证明:因为数列 ， 都是等差数列，公差分别为 ， ，所以 ， .又因为 ， 故 . 而 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数 列. 25 （2）若 , 的公差都等于2， ,求数列 的通项公式. 由（1）知，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，且 ， ，所以 . 26 $$