4.2.3 等差数列的前n项和（第1课时 等差数列的前n项和）课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 4.2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和 【课标要求】 1.理解等差数列前 项和公式的推导方法——倒序相加法. 2.掌握等差数列的前 项和公式,掌握 , , , , 之间的关系. 3.理解等差数列的通项公式与前 项和公式的关系. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点.等差数列的前 项和 （1）数列 的前 项和： 对于数列 ,把 称为数列 的前 项和，记作 . （2）等差数列前 项和公式推导： 等差数列前 项和公式是用倒序相加法推导的. （3）等差数列的前 项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 4 名师点睛 （1）倒序相加法是数列求和的重要方法之一. （2）上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及 , , , , 五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量. 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】等差数列中与前 项和有关的基本运算 例1 已知等差数列 的前 项和为 ,且 , . （1）求 ； 解 设 的公差为 ,由已知得 解得 所以 . 7 （2）若 ,求 . 由（1）得， . 因为 ，所以 ， 解得 （负值舍去）. 题后反思 利用等差数列中的基本量求值 等差数列的通项公式和前 项和公式中有五个量 , , , 和 ,这五个量可以 “知三求二”.一般是利用公式列出基本量 和 的方程组,解出 和 ,便可解决问题.解 题时注意整体代换的思想. 8 跟踪训练1 在等差数列 中, （1）已知 , ,求 和 ； 解 解得 所以 , . （2）已知 , ,求 和 . 由已知得 ， 解得 . 又 ，所以 . 9 【题型二】等差数列前 项和的中项表示 例2（1） 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ，则 ( ) D A.18 B.12 C.9 D.6 [解析] 由等差数列的公式及性质可得 ，所以 ，所以 .故选D. 10 （2）已知在等差数列 中， , , ,则项数 为 ( ) D A. B. C. D.15 [解析] 由等差数列的性质可得 ，解得 ，故 ，而 ，解得 .故选D. 11 题后反思 根据等差数列的前 项和公式 结合等差数列的性质：若 , , , ,且 ,则 ,可以得到 （其中 表示 ， 的等差中项）. 跟踪训练2 设等差数列 的前 项和为 , ,则 ( ) B A.56 B.63 C.67 D.72 12 【题型三】等差数列的求和在实际生活中的应用 例3 某研究所计划建设 个实验室,从第1到第 实验室的建设费用依次构成等差数列, 已知第7实验室比第2实验室的建设费用高15万元,第3实验室和第6实验室的建设费用共 61万元.现在总共有建设费用438万元，则该研究所最多可以建设的实验室个数是( ) C A.10 B.11 C.12 D.13 13 [解析] 设第 实验室的建设费用为 万元，其中 ，等差数列 的公差为 ， 由题意可得 即 解得 则 . 令 ，即 且 ，解得 ，所以最多可以建设12个实验室. 14 规律方法 应用等差数列解决实际问题的一般思路 15 跟踪训练3 甲、乙两物体分别从相距 的两处同时相向运动,甲第1分钟移动 ,以 后每分钟比前1分钟多移动 ,乙每分钟移动 . （1）甲、乙两物体开始运动后几分钟第一次相遇? 解 设 分钟后甲、乙两物体第一次相遇. 由题意，得 . 整理，得 ， 解得 或 （舍去）， 所以甲、乙两物体开始运动后7分钟第一次相遇. 16 （2）如果甲、乙两物体到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多移动 , 乙继续每分钟移动 ,那么开始运动后几分钟第二次相遇? 设 分钟后甲、乙两物体第二次相遇，由题意，得 ， 整理，得 ，解得 或 （舍去）， 所以开始运动后15分钟第二次相遇. 17 成果验收•课堂达标检测 18 A层 基础达标练 1.已知 是等差数列 的前 项和， , ，则 ( ) B A.250 B. C.180 D. 2.（多选题）记 为等差数列 的前 项和.已知 , ,则下列结论正确的 是( ) ABC A. B. C. D. 3.设等差数列 的前 项和为 ，且 ,则 ( ) B A.64 B.72 C.80 D.144 19 4. 为等差数列 的前 项和，若 , ,则使 的 的最大值为 ( ) C A.2 B.12 C.11 D.10 5.在等差数列 中， , ,则它的前5项和 的值为____. 25 6.设 为等差数列 的前 项和,若 ,公差 , ,则 ___. 5 7.在等差数列 中, ,则 __. <m></m> 20 8.在等差数列 中，已知 且 （1）求 的通项公式； 解 由题意，设等差数列 的公差为 ，则 ， ，解得 ， ，所以 ， . （2）求数列 的前 项和 . 因为 ， 所以 . 21 B层 能力提升练 9.已知等差数列 ,且 ，则数列 的前14项之 和为( ) C A.14 B.28 C.35 D.70 22 10.已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ,则“ ”是“ ”的 ( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 若 ，则 ，即 ，所以 ， ， ，则“ ”是“ ”的充要条件.故选C. 23 11.记 为等差数列 的前 项和，给出下列4个条件： ; ; ; .若只有一个条件不成立，则该条件为( ) B A.① B.② C.③ D.④ [解析] 设等差数列 的公差为 ， ， ， ，即 ， ，即 .当 ， 时，①③④ 均成立，②不成立.故选B. 24 12.若数列 是正项数列,且 ,则 ______________, _________. 4（ <m></m> ） <m></m> <m></m> [解析] 令 ，得 ，所以 .当 时， ，与已知式相减，得 ，所以 ， . 又当 时， 满足上式，所以 ,所以 ，所以 数列 是首项为8的等差数列，所以 . 25 13.已知等差数列 的前 项和为 ,公差为 ,且满足 , ,则 的取 值范围是__________, 的取值范围是______. <m></m> <m></m> [解析] 因为等差数列 满足 ， ，所以 所以 ，即 的取值范围是 ， ，由 ，得 ，所以 ，即 的取值范围 是 . 26 C层 拓展探究练 14.把形如 的正整数表示为各项都是整数，公差为2的等差数列的 前 项和,称作“对 的 项划分”.例如: ,称作“对9的3项划分”； ,称作“对64的4项划分”.据此,对324的18项划分中最大的数 是____. 35 27 15.已知等差数列 的公差 ,前 项和为 ，且 , . （1）求数列 的通项公式； 解 由题意，得 解得 所以 . 28 （2）若 （ 为非零数），且数列 也是等差数列，求 的值. 由题意得， ，所以 ，所以 解得 . 29 $$