4.2.3 等差数列的前n项和（第2课时 等差数列前n项和的性质及应用（1））课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 4.2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用（1） 【课标要求】 1.理解等差数列前 项和的函数性质. 2.能够根据等差数列前 项和的性质判定一个数列是否为等差数列. 3.掌握等差数列的片段和与奇偶项和的性质. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.等差数列前 项和的性质 （1）若数列 是公差为 的等差数列，则数列 也是等差数列，且公差为 . （2）设等差数列 的公差为 ， 为其前 项和，则 ， ， ， 仍构成等差数列，且公差为 . （3）若等差数列 的项数为 ，则 ， ， . （4）若等差数列 的项数为 ，则 ， ， . 4 知识点2.等差数列 的前 项和公式的函数特征 公式 可化成关于 的表达式 .当 时， 关于 的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点 在其相应的二次 函数的图象上，这就是说等差数列的前 项和公式是关于 的二次函数，它的图象是 抛物线 上横坐标为正整数的一系列孤立的点.令 ， ，则 .可以证明 （其中 ， 为常数）是数 列 成等差数列的充要条件. 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】由等差数列的前 项和判断等差数列 例1（1） （多选题）已知数列 的前 项和是 ，则下列结论正确的是( ) BCD A.若数列 为等差数列，则数列 为等差数列 B.若数列 为等差数列，则数列 为等差数列 C.若数列 和 均为等差数列，则 D.若数列 和 均为等差数列，则数列 是常数列 7 [解析] 对于A，若数列 为等差数列，可得 , .因为首项 不确定，所以数列 不一定是等差数列，故A错误. 对于B，若数列 为等差数列，设公差为 ，则 ，可得 ， 当 时， ；当 时， ，则 , . 由 , ，得 ，满足上式，所以数列 为等差数列，故B正确. 8 对于C，由数列 为等差数列，可得 ，则 ， 可得 ，则 常数，所以 ，即 ，所以 ， 所以 ，且 ，所以 ，故C正确. 对于D，由数列 为等差数列，可得 ，则 ， 可得 .因为 为等差数列，所以 为常数，所以 ，所以 ，所以数列 是常数列，故D正确.故选 . （2）已知一个数列 的前 项和 ①当 时，求证：数列 是等差数列； 证明 当 时， ，令 ,则 .当 时， ，所以 ，此时 ，所以 ，所以 ，可得数列 是首项为23，公差为 的等差数列. 10 ②若数列 是等差数列，求 满足的条件. 解 ，令 ，得 .当 时， ，所以 ，所以 ，可得当 时，数列 是公差为 的等差数列.若数列 是等差数列，则 ，所以 ． 题后反思 设 为数列 的前 项和.（1）若数列 是等差数列，则数列 也是等差 数列，且公差为 ；（2）若 ，则数列 是等差数列的充要条件 是 . 11 跟踪训练1（1） （多选题）若等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，记 ， 则( ) AC A.数列 是公差为 的等差数列 B.数列 是公差为 的等差数列 C.数列 是公差为 的等差数列 D.数列 是公差为 的等差数列 12 [解析] 由已知可得 .对于A,B选项， ，所以数列 是公差为 的等差数列， 故A正确，B错误；对于C选项， ，所以数列 是公差为 的等差数列，故C正确；对于D选项， ，所以数列 是公差为 的等差数列，故D错误.故选 . 13 （2）已知数列 的前 项和为 ，且 ，给出下列四个命题，其 中正确的是( ) D A.数列 是等差数列 B.对任意的自然数 ，都有 C. , , , 是等差数列 D. , , , , 是等差数列 14 [解析] 当 时， ；当 时， ，不满足上式，所以 故A，B错误； 因为 ， ， ， ，所以 ， ， ， 所以 ，故C错误； 对于D，因为 ，而当 时， ，故 ，故D正确．故选D. 15 【题型二】等差数列片段和的性质及应用 例2 已知 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 ____. 40 [解析] 由等差数列的性质知， , , 成等差数列，所以 ，即 ，解得 . 16 题后反思 解决此类问题可使用以下方法 （1）通性通法（基本量的计算）； （2）运用前 项和“片段和”的性质: 连续 项的和仍然成等差数列，即 ， ， ， 成等差数列，且公差为 ； （3）使用性质“ 也是等差数列”； （4）利用前 项和可用 表示的特点. 这四种解法从不同角度应用了等差数列的性质，并灵活选用前 项和公式，使问题得 以快速解决. 17 跟踪训练2（1） 等差数列 的前 项和是 ，若 , ，则 ( ) A A.10 B.20 C.30 D.15 [解析] 由等差数列的性质，有 , , , 成等差数列.设公差 为 ，则 ，故 故选A. 18 （2）在等差数列 中，其前 项和为 ，若 ，则 ( ) D A. B. C. D. [解析] 由等差数列前 项和的性质，可得 , , , 成等差数列.设 ，则 ，即 , , 成等差数列，故 ，解得 ，故 , , , 即为 , , , ，故 ,则 ，故 .故选D. 19 【题型三】等差数列的奇数项与偶数项和 例3（1） 在等差数列 中， ，且在这10项中， ，则公差 ___. 2 [解析] 由 得 所以 ，所以 . 20 （2）在等差数列 中，前 项（ 为奇数）的和为7，其中偶数项之和为3，且 ，则数列的通项公式为 _ _________. <m></m> [解析] 设等差数列 的公差为 , , ,所以 ，解得 ， 所以 ，即 . 因为 ,所以 解得 所以 . 21 题后反思 解等差数列的奇数项与偶数项和的问题时，（1）若项数为 ，则 ， ， ;（2）若项数为 ，则 ， ， ， ， . 22 跟踪训练3 一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第 一项之差为63,则该数列的公差为___. 3 [解析] 由题意，不妨设等差数列为 ,首项为 ,公差为 ,项数为 , ,故有 , , .因为 ,故 , 故 , . 23 成果验收•课堂达标检测 24 A层 基础达标练 1.已知等差数列 的前 项和是 , , ,则公差 为( ) D A.6 B. C.9 D.2 2.已知等差数列 的项数为奇数, 其中所有奇数项之和为319, 所有偶数项之和为290, 则该数列的中间项为( ) B A.28 B.29 C.30 D.31 3.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ____. 12 25 4.已知等差数列 的前 项和为 ,且满足 ,则数列 的公差是___. 2 5.设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，求 . 解 因为 ， ， 成等差数列，即 ，所以 ，解得 . 26 6.已知等差数列 共有 项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120， 求 的值. 解 依题意，可列方程组 即 所以 ， 解得 . 27 B层 能力提升练 7.已知等差数列 的前 项和为 ，若 , ，则 ( ) D A.8 B.12 C.14 D.20 8.在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若 ，则 的值等于( ) C A.2 018 B.2 017 C.2 016 D.2 015 28 9.已知数列 是等差数列， 为数列 的前 项和， ， ，则 ( ) C A.10 B.15 C.20 D.40 [解析] 根据等差数列的性质得 , , , , 仍成等差数 列，记 ，设 ， ， ， ， .故选C. 29 10.设等差数列 的前 项和为 ,若 , , ,则 ( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 [解析] , ,所以公差 , , , ,因此 不能为0,得 ,所以 ,解得 .故选C. 30 11.（多选题）记 为等差数列 的前 项和，则( ) BCD A. B. C. ， ， 成等差数列 D. ， ， 成等差数列 31 [解析] 由题意可知，对于选项A， ， ， ， 则 ，故选项A错误；对于选项 B， ，故选项B正确；对于选 项C，由等差数列的性质可得， ， ， 成等差数列，故选项C正 确；对于选项D， ， ， ，则 ，即 ， ， 成等差数列，故选项 D正确.故选 . 32 12.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 __. <m></m> 13.一个等差数列的前12项和为354，前12项中,偶数项的和与奇数项的和之比为 ， 则公差 为___. 5 33 C层 拓展探究练 14.设数列 的前两项分别为 , ， 若数列 是公差为 1的等差数列,则 ___________ . 2 041 211 [解析] 易知 .由 的公差为1知 ，故 . 34 15.设数列 是等差数列，数列 满足 ， 1,2, . （1）证明:数列 是等差数列； 证明 设等差数列 的公差是 ，则 ，所以数列 是等差数列. 35 （2）设数列 , 的公差均是 ，并且存在正整数 ， ，使得 是 整数，求 的最小值. 解 由已知条件及（1）知 .因为 ，所以 ，所以 .若正整数 ， 满足 ，则 .记 ，则 ，且 是一个非零的整数， 故 ，从而 .又当 时， .综上， 的最小值为 . 36 $$