4.3.1 等比数列的概念课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 4.3.1 等比数列的概念 【课标要求】 1.通过实例理解等比数列的概念. 2.能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列,并能进行简单的求值. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.等比数列的概念 文字 语言 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这 个数列就叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母 表示 符号 语言 注意：等比数列的每一项都不为0. 4 知识点2.等比中项 若 , , 成等比数列，则称 为 和 的等比中项，此时 . 只有两个同符号的非零实数才有等比中项,其等比中项有两个，它们互为相反数. 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】等比数列的概念 例1 判断下列数列是否为等比数列,如果是,写出它的公比. （1）1, , , , ,…； 解 不是等比数列. （2） , , , , ； 解 是等比数列，公比为 . （3）1,0,1,0,1,0, ； 解 不是等比数列. 7 （4）1, ,16, ,256, . 解 是等比数列，公比为 . 规律方法 判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列是等比数列;否则不是等比数列.等比数列中任意一项不能为0,对于含参的数列需要分类讨论. 8 跟踪训练1（1） 对于无穷常数列7,7,7, ,下列说法正确的是( ) D A.该数列既不是等差数列也不是等比数列 B.该数列是等差数列但不是等比数列 C.该数列是等比数列但不是等差数列 D.该数列既是等差数列又是等比数列 [解析] 该数列看成等差数列时，公差为0；该数列看成等比数列时，公比为1.故选D. 9 （2）（多选题）以下数列中,不能判断数列是等比数列的有( ) ABC A.数列1,2,6,18, B.数列 中,已知 , C.常数列 , , , , D.数列 中, ,其中 [解析] 对于A，数列不符合等比数列的定义,不是等比数列；对于B，前三项成等比数 列，多于三项时，无法判断，故不能判断是等比数列；对于C，当 时，不是等 比数列；对于D，该数列符合等比数列的定义，是等比数列.故选 . 10 【题型二】等比中项及其应用 例2（1） 已知等比数列的前三项依次为 , , ,求实数 的值； 解 因为等比数列的前三项依次为 ， ， ，所以 ，解得 或 . 又因为当 时， ，不合题意，所以实数 的值为 . 11 （2）已知等比数列 中, , ,求 和 的等比中项. 解 因为 是等比数列，所以 是 和 的等比中项，即 ，所以 ，解得 ，从而 . 设等比数列 的公比为 ，则 解得 所以 , . 设 和 的等比中项为 ，则 ,所以 ，故 和 的等比中项为 . 12 规律方法 涉及三个数成等比数列时,常利用等比中项列式求解,使用等比中项时,要注意只有同号的两个数才有等比中项,要注意根据题意选择等比中项的符号. 13 跟踪训练2 在等差数列 中, ,公差 .若 是 和 的等比中项,则 ( ) B A.2 B.4 C.6 D.8 14 【题型三】等比数列的判断或证明 例3 已知数列 是首项为3,公差为2的等差数列,令 ,求证:数列 是等比数列. 证明 依题意, ,所以 ，所以 , 所以数列 是首项为 ，公比为25的等比数列. 15 规律方法 判断或证明一个数列是等比数列的主要方法 （1）定义法:若当 时, （ , 为常数）,则数列 为等比数列. （2）等比中项法:对于各项均不为0的数列 ,若 ,则数列 为等比数列. 16 跟踪训练3 已知数列 的通项公式，判断它是否为等比数列. （1） ； 解 ， ， 是等比数列. （2） ； 解 ， ，不是常数，故 不是等比数列. （3） ； 解 ， ， 是等比数列. （4） . 解 ， ，不是常数，故 不是等比数列. 17 成果验收•课堂达标检测 18 A层 基础达标练 1.下列说法错误的是( ) B A.等比数列中的项不能为0 B.等比数列的公比的取值范围是 C.若一个常数列是等比数列，则公比为1 D. , , 成等比数列 2.若2, ,6成等比数列,则 等于( ) B A.1 B. C.2 D. 3.在等比数列 中, , ,则 ( ) C A.16 B.16或 C.32 D.32或 19 4.在数列 中,若 , ,则 ( ) B A.108 B.54 C.36 D.18 5.已知数列 和 满足 ,则“数列 为等比数列”是“数列 为等比数 列”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 20 6.（多选题）若数列 是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是( ) AB A. B. C. D. 7.在公差不为0的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，则数列 的通项公式为_ __________. <m></m> 21 8.已知数列 的通项公式,判断它是否为等比数列. 解 由等比数列的定义可知， , ，若 是一个与 无关的常数， 则数列 是等比数列. （1） ； ，不是常数，故 不是等比数列. （2） ； ，故 是等比数列. 22 （3） ； ，不是常数，故 不是等比数列. （4） . ，故 是等比数列. 23 B层 能力提升练 9.“一尺之棰,日取其半,万世不竭”出自《庄子·天下篇》,其意思为“一根一尺长的木棰,每 天截取其一半,永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下 尺,第二天被截取剩 下的一半剩下 尺, ,第五天被截取剩下的一半剩下 尺,则 等于( ) D A.18 B.20 C.22 D.24 10.已知不等式 的解集中的三个整数解构成等比数列 的前三项,则 数列 的第四项是( ) D A.8 B. C.8或2 D.8或 24 11.若等差数列 和等比数列 满足 , , ,则 的公比 为( ) B A.2 B. C.4 D. 12.若 是等比数列的通项公式，则 ___. 2 13.在 中，若 , ， 成公比为 的等比数列，则 _ _. <m></m> [解析] 由 ， ， 成公比为 的等比数列，得 ， .设角 ， ， 的对边分别 ， ， ，则由正弦定理可知， ， ，所以 . 25 14.一个正实数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该正实数的小数部分 为_ ____. <m></m> [解析] 设该正实数的小数部分为 ，整数部分为 .由题设知 .若 ，则 ，矛盾.从而 ， ,故 . 又因为 ，且 是整数，所以 ， .因 此，该正实数的小数部分为 . 26 15.设等差数列 的前 项和为 ，已知 , （1）求 ; 解 设等差数列 的公差为 ， ，解得 .又 ，所以 ， ，所以 . （2）若 为 与 的等比中项，求 . 解 由题意，得 ，即 ，化 简得 ，解得 或 （舍去），故 . 27 16.在 中,角 , , 的对边分别是 , , ,若 , , 成等比数列,且 ,求 的大小及 的值. 解 因为 ， ， 成等比数列，所以 .又 ，所以 ，即 .在 中，由余弦定理,得 ，所以 .在 中，由正弦定理,得 .因为 ， ，所以 . 28 C层 拓展探究练 17.已知在等差数列 中, , , , 成等比数列,把各项按 如图所示排列,则从上到下第10行,从左到右的第11个数值为________. 275或8 29 [解析] 设 的公差为 ， 由 ，得 . 由 ， ， 成等比数列， 得 ，解得 或 . 当 时， ， ，由题图可得第10行第11个数为数列 中的第92项， ；当 时， ，则 . 30 18.在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,这样的操作称为该数列的 一次“ 扩展”.已知数列1，2，3第一次 扩展后得到数列1,3,2,5,3；第二次 扩展后得 到数列1,4,3,5,2,7,5,8,3.设第 次 扩展后得到数列1, , , , ,3,并记 . （1）求 ， ， 的值； 解 设 ， ， ,则 .由 ，得 ， . 31 （2）若 ,证明： 为等比数列. 证明 ，即 .又 ，故 为等比 数列. 32 $$