4.3.2 等比数列的通项公式（第1课时 等比数列的通项公式）课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 4.3.2 等比数列的通项公式 第1课时 等比数列的通项公式 【课标要求】 1.能根据等比数列的定义推导等比数列的通项公式. 2.掌握等比数列的通项公式的结构特征并能进行基本的运算. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列 的第 项 ,有 ，这就是等比数列 的通项公式，其中 为首项， 为公比. 名师点睛 已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知 , , , 四个量中的三个,可以求得第四个量. 4 知识点2.等比数列与指数函数的关系 当 且 时，等比数列 的通项公式可整理为 ,是一个常数 与指数式的乘积,从图象上看,表示该数列的各点 均在函数 的图象上. 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】等比数列的通项公式 例1 写出下列等比数列的一个通项公式: （1） ,1, ,1, , ； 解 数列的首项为 ,公比为 ,所以 （2）1, , , ,…； 数列的首项为1,公比为 ,所以 . （3）5,10,20,40, . 数列的首项为5,公比为2,所以 . 7 题后反思 求一个等比数列的通项公式,关键是找出该等比数列的首项和公比,需要注意的是,若公比是负数或分数,写通项公式时需加括号. 跟踪训练1 已知等比数列 的通项公式是 ,试写出它的首项 和公比 . 解 当 时, ;当 时, .所以公比 . 8 【题型二】等比数列中基本量的计算 例2 在等比数列 中, （1）已知 , ,求 ； 解 设公比为 ,因为 , 所以 ,所以 ,所以 . （2）已知 , , ,求 ； . 9 （3）已知 , , ,求 . 设公比为 ,则 ,得 ,从而 . 又 ,所以 ,即 ,故 . 题后反思 等比数列的通项公式涉及四个量 , , , ,只要知道其中任意三个就能求出另外 一个,在这四个量中, 和 是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,问题便迎刃而解. 10 跟踪训练2 在等比数列 中, （1）若它的前三项分别为5, ,45,求 ； 解 设公比为 ,因为 ,而 , ,所以 . （2）若 , ,求 . 设公比为 ,因为 所以 ,得 . 从而 . 而 ,于是 , 所以 . 11 【题型三】等比数列通项公式的应用 例3 已知数列 为等比数列,若 ,且 与 的等差中项为 ,则 的最大值为( ) C A.5 B.512 C.1 024 D.2 048 [解析] 设公比为 ,因为 ,所以 .因为 ,所以 , .故 , , , , , , ,故数列的前4项或前5项的积最大,最大值为 . 12 题后反思 会用基本量,即首项和公比来解决和等比数列有关的问题,仔细审题,抓住题目中的关键信息或限制条件. 跟踪训练3 在首项为1,公比不为1的等比数列 中, ,则 的值为 ( ) B A.20 B.22 C.24 D.28 13 成果验收•课堂达标检测 14 A层 基础达标练 1.在等比数列 中, ， ,则 ( ) C A. B.8 C. D. 2.已知等比数列 的公比 ,且 , ,则 ( ) A A.8 B.12 C.16 D.20 3.在等比数列 中, , ,则公比 ( ) D A. B. C. D.2 15 4.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一 个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等,且最后一个单音的频率是第一个单音 频率的2倍.已知第十个单音的频率 ,则与第四个单音的频率 最接近的是 ( ) C A. B. C. D. 5.在数列 中,已知 ,且对任意正整数 都有 ,则 _ ______________. <m></m> 6.在160与5中间插入4个数,使这6个数成等比数列,则插入的这4个数依次为___________ _____. 80，40，20，10 16 7.在等比数列 中， （1）已知 , , ,求 ； 解 因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，解 得 . （2）已知 , ,求公比 和通项公式. 因为 ，即 ，所以 ，所以 .当 时， ；当 时， ,所以数列 的公比为2，通项公式为 或公比为 ，通项公式为 17 B层 能力提升练 8.设 ,数列 是公比为2的等比数列,则 等于( ) C A.31.5 B.160 C.79.5 D.159.5 9.数列 的前 项和为 , ,则 ( ) B A.32 B.16 C.15 D.8 18 10.（多选题）已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为 ,则 的值可能是 ( ) BC A. B. C. D. [解析] 由题意，可设三角形的三边分别为 ， , .因为三角形的两边之和 大于第三边，所以当 时， ，即 ，解得 ； 当 时， ,即 ，解得 .故 的值可能 是 与 .故选 . 19 11.已知数列 的前 项和为 ,满足 ，且 ,则当 时， _ _____. <m></m> 12.一个各项均为正数的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比 _ ____. <m></m> 13.若等差数列 满足 , ,则 _______；若 是等比数 列,且 , , ,则 ____. <m></m> 63 [解析] 由 知等差数列 的公差 .又 ，则 ，故 ，所以 , ，所以等比数列 的公比 ， .因为 ，所以 ，解得 . 20 C层 拓展探究练 14.在公差不为0的等差数列 中， , , , , 成公比为4的等比数列，则 ( ) B A.84 B.86 C.88 D.96 [解析] 设等差数列 的公差为 .因为 ， ， ， ， 成公比为4的等比 数列，所以 ，所以 ，得 ，所以 ， 所以 ，即 ，解得 ．故选B. 21 15.设关于 的一元二次方程 有两实根 ， ,且 满足 （1）试用 表示 ； 解 易知 .根据根与系数的关系， 得 代入题设条件 ， 得 ，所以 . 22 （2）求证: 是等比数列； 证明 因为 , 所以 . 若 ，则方程 可化为 ，即 . 此时 , 所以 ，即 ， 所以数列 是以 为公比的等比数列. 23 （3）当 时,求数列 的通项公式. 解 当 时， ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列, 所以 ， 所以 . 24 $$