4.3.2 等比数列的通项公式（第2课时 等比数列的性质及应用）课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 4.3.2 等比数列的通项公式 第2课时 等比数列的性质及应用 【课标要求】 1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质. 2.能够运用等比数列的性质解决有关问题. 3.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点.等比数列 的常用性质 （1）若 ,则 特例:若 ,则 . （2） . （3）在等比数列 中,每隔 项取出一项,取出的项按原来顺序组成新 数列,该数列仍然是等比数列,公比为 . （4）数列 , , 也是等比数列 , , 也是等比数 列. （5）若数列 是有穷数列，则 . 4 名师点睛 等比数列 的单调性 （1）当 , 或 , 时, 是递增数列. （2）当 , 或 , 时, 是递减数列. （3）当 时, 是常数列;当 时, 是摆动数列. 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】等比数列性质的应用 例1 已知 为等比数列. （1）若 , ,求 ； 解 由等比数列的性质,得 ,即 . 因为 ，所以 . （2）若 , ,求 的值. 由等比数列的性质，得 ， 所以 ， 所以 . 7 规律方法 应用等比数列性质的解题技巧 （1）基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题； （2）优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量. 8 跟踪训练1（1） 在例 中,添加条件 ,求 ； 解 由等比数列的性质,得 .又由例 知 ,解得 ， 或 ， .若 ， ，则公比 ， ;若 ， ，则公比 ， . （2）把例 的条件改为“公比为3, ”,求 的值. 解 因为公比 , ,所以 ，所以 9 【题型二】灵活设项求解等比数列 例2 有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们的和为12,求这四个数. 解 设前三个数分别为 ， ， ,则 ，所以 ，所 以 . 因此前三个数为 ，6， . 由题意，知第4个数为 ， 所以 ，解得 . 故这四个数为9，6，4，2. 10 规律方法 几个数成等比数列的设项技巧 （1）三个数成等比数列，设为 , , . 推广到一般:奇数个数成等比数列，设为…, , , , , , . （2）四个符号相同的数成等比数列，设为 , , , . 推广到一般:偶数个符号相同的数成等比数列，设为…, , , , , , , . （3）四个数成等比数列,不能确定它们的符号是否相同时,可设为 , , , . 11 跟踪训练2 有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13后成等差数列,则这四个 数的和是____. 45 [解析] 设这四个数分别为 ， ， ， ，则 ， ， ， 成等差数列， 即 整理得 解得 因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 12 【题型三】等比数列的实际应用 例3 月球距离地球约38万千米,有人说在理想状态下,若将一张厚度约为0.1毫米的纸对 折 次,其厚度就可以超过地球到月球的距离,那么至少对折的次数 是( ) C A.40 B.41 C.42 D.43 [解析] 设对折 次时，纸的厚度为 ，每次对折厚度变为原来的2倍，由题意知 是以 为首项，2为公比的等比数列，所以 .令 ，即 , 所以 ,即 ,解得 ，所以至少对折的次数 是42.故选C. 13 规律方法 等比数列实际应用的求解策略 （1）一般地,产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题,往往与等比数列有关,可建立等比数列模型进行求解. （2）建立等比数列模型进行运算时,往往涉及指数、对数方程或不等式的问题,要注意运算的正确性,还要善于进行估算,对于近似计算问题,答案要符合实际问题的需要. 14 跟踪训练3（1） 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 ,然后每3分钟自 身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开始后____分钟,该病毒占据内存 . 45 [解析] 由题意，得每3分钟病毒占据内存构成一个等比数列.设病毒占据 时自身复制了 次，即 ，解得 ，从而复制的时间为 （分钟）. 15 （2）某工厂2021年年底制订生产计划,要使工厂的总产值到2029年年底在原有基础上 翻两番,则总产值年平均增长率为( ) A A. B. C. D. [解析] 设2021年年底总产值为 ，年平均增长率为 ，则 ，解得 .故选A. 16 成果验收•课堂达标检测 17 A层 基础达标练 1.已知等比数列 满足 , ,则 ( ) D A. B.27 C.81 D.243 2.在正项等比数列 中， , ，则 ( ) D A.4 B.8 C.32 D.64 3.在等比数列 中， , ,则 ( ) C A.8 B. C.16 D. 4.在正项等比数列 中， 是 与 的等差中项，若 ，则 ( ) D A.4 B.8 C.32 D.64 18 5.（多选题）已知数列 为等比数列，则( ) BD A. , , 成等比数列 B. , , 成等比数列 C. , , 成等比数列 D. , , 成等比数列 6.在数列 中, , ,则 _ ________. <m></m> 7.已知等比数列 的公比为 ,则 的值是____. <m></m> 19 8.有四个数,前三个数成等差数列,它们的和为12,后三个数成等比数列,它们的和为19,求这四个数. 解 由于前三个数成等差数列，且它们的和为12，则第二个数为4. 设前三个数分别为 ，4， ，由于后三个数成等比数列，则第四个数为 . 由后三个数之和为19，得 ，整理得 ，解 得 或 . 若 ，则这四个数分别为2，4，6，9； 若 ，则这四个数分别为18，4， ，25. 因此，这四个数分别为2，4，6，9或18，4， ，25. 20 B层 能力提升练 9.在等比数列 中， , 是方程 的根，则 的值为( ) B A. B. C. D. 或 10.已知数列 是等比数列,满足 ,数列 是等差数列,且 ,则 ( ) C A.24 B.16 C.8 D.4 21 11.两个公比均不为1的等比数列 , ,其前 项的乘积分别为 , .若 ,则 ( ) A A.512 B.32 C.8 D.2 12.（多选题）已知等比数列 ,则下列式子对任意正整数 都成立的是( ) BD A. B. C. D. 22 13.在流行病学中,基本传染数 是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况 下,一个感染者平均传染的人数， 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触 频率、每次接触过程中传染的概率决定.假定某种传染病的基本传染数 ,那么感 染人数由1个初始感染者增加到2 000人大约需要的传染轮数为( ) 注:初始感染者传染 个人为第一轮传染,这 个人每个人再传染 个人为第二 轮传染. B A.5 B.6 C.7 D.8 23 14.写出一个同时具有下列性质①②③的数列 的通项公式： _ _____________________. ①数列 是无穷等比数列； ②数列 不单调； ③数列 单调递减. <m></m> （答案不唯一） 24 15.已知各项都为正数的等比数列 , , ,则满足 的最大正整数 的值为___. 4 [解析] 因为 ，且 ，所以 .设 的公比为 ，则 ，解得 （舍去）或 ，所以 , 所以 ，所以 ，即 ，所以 的最大值为4. 25 16.画一个边长为2的正方形,再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形,以第2个 正方形的一条对角线为边画第3个正方形,……这样一共画了10个正方形,则第10个正方 形的面积等于_______. 2 048 [解析] 依题意，这10个正方形的边长构成以2为首项， 为公比的等比数列 ，所以 ，所以第10个正方形的面积 . 26 17.已知在各项均不为0的数列 中, , , 成等差数列, , , 成等比数列, , , 的倒数成等差数列,求证： , , 成等比数列. 证明 由已知，得 ，① ，② ,③ 由③得 ， 所以 由①得 将④⑤代入②，得 27 ， 所以 ， 即 ， 化简，得 . 又 ， ， 均不为0， 所以 ， ， 成等比数列. 18.设数列 是公比小于1的各项均为正数的等比数列,已知 ,且 , , 成等差数列. （1）求数列 的通项公式； 解 设数列 的公比为 . 由题意，可得 ，且 . 由 ， ， 成等差数列， 得 ，即 ， 解得 或 （舍去）， 所以 . 29 （2）若 ,且数列 是递减数列,求实数 的取值范围. ， 由 ,得 ,即 ，所以 .故实数 的取值范围为 . 30 $$