5.1.1 平均变化率课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第5章 导数及其应用 5.1.1 平均变化率 【课标要求】 1.了解平均变化率的实际背景. 2.理解平均变化率的含义. 3.会求函数在某一点附近的平均变化率,并能用平均变化率解释一些实际问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点.函数的平均变化率 函数 在区间 上的平均变化率为 .若设 , ，则平均变化率为 . ， 的值可正也可负，但 ， 可为零，若函数 为 常值函数，则 .平均变化率的实质是函数值的改变量与自变量的改变量之比，其 意义是刻画函数值在区间 上变化的快慢. 它的几何意义为:如图，设 ， 是曲线 上任意不同的两点，函数 的平均 变化率 为割线 的斜率. 4 题型分析·能力素养提升 5 【题型一】求函数的平均变化率 例1 若函数 , 在 上的平均变化率分别记为 , ,则下列结 论正确的是( ) A A. B. C. D. , 的大小无法确定 [解析] , ,故 .故选A. 6 规律方法 求函数平均变化率的三个步骤 步骤1 求自变量的增量 步骤2 求函数值的增量 步骤3 求平均变化率 跟踪训练1 若函数 在区间 上的平均变化率为3,则 ___. 2 7 【题型二】实际问题中的平均变化率 例2 一质点作直线运动,其位移 （单位: ）与时间 （单位: ）的函数关系为 ,该质点在时间段 上的平均速度不大于5,则 的取值范围是 _ ______. （0, <m></m> [解析] 质点在 上的平均速度为 . 又 ,所以 ,所以 .又 ,所以 的取值范围是 . 8 规律方法 实际问题中的平均变化率与函数在某一区间上的平均变化率类似,首先求 ,再求比值 .当函数解析式没有给定时,先根据实际问题求出函数 解析式,再重复上述步骤. 9 跟踪训练2 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 （单位: ）与起跳后的时 间 （单位: ）存在函数关系: ，则运动员在第一个 内 高度 的平均变化率为_________；高度 在 这段时间内的平均变化率为 _ _________. <m></m> <m></m> 10 【题型三】平均变化率的实际应用 例3 为了检测甲、乙两辆车的刹车性能,分别对两辆车进行了测试,甲车从 到 用了 ,乙车从 到 用了 ,试比较两辆车的刹车性能. 解 甲车速度的平均变化率为 ,乙车速度的平均变化率为 ,平均变化率为负值说明速度在减少.因为刹车后,甲车的速度变化相 对较快,所以甲车的刹车性能较好. 规律方法 平均变化率的应用主要有:求某一时间段内的平均速度,物体受热膨胀率，高度（质量）的平均变化率等.解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量. 11 跟踪训练3 已知气球的体积 （单位: ）与半径 （单位: ）之间的函数关系是 . （1）求半径 关于体积 的函数 . 解 因为 , 所以 , ,即 . 12 （2）比较体积 从 增加到 和从 增加到 半径 的平均变化率,哪段半径变 化较快（精确到 ）?此结论可说明什么意义? 函数 在区间 上的平均变化率为 ,函数 在 区间 上的平均变化率为 .显然体积 从 增加到 时,半径 变化快,这说明气球刚开始膨胀得比较快,随着体积的增大,半径增加 得越来越慢. 13 成果验收•课堂达标检测 14 A层 基础达标练 1.在平均变化率的定义中，自变量 在 处的改变量 ( ) D A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不等于零 2.设函数 ，当自变量 由 改变为 时，函数值的改变量 为( ) D A. B. C. D. 3.一根金属棒的质量 （单位： ）与长度 （单位： ）的函数关系为 ，则金属棒从 到 时,质量的平均变化率是( ) B A. B. C. D. 15 4.（多选题）如图是表示物体甲、乙在时间 0 到 范围内路程的变化 情况，下列说法正确的是( ) BC A.在0到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到 范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C.在 到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在 到 范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 5.函数 在区间 上的平均变化率为_ _________. <m></m> 6.若函数 在区间 上的平均变化率为2，则 ___. 5 16 7.已知函数 在 上的平均变化率是函数 在 上的 平均变化率的 3 倍，求实数 的值. 解 函数 在 上的平均变化率为 ,函数 在 上的平 均变化率为 ,则 ,解得 . 17 B层 能力提升练 8.函数 在区间 上的平均变化率为 ，在区间 上的平 均变化率为 ，则( ) A A. B. C. D.不确定 9.某物体沿水平方向运动，其前进距离 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系为 ，则该物体在运动前 的平均速度为( ) C A. B. C. D. 18 10.函数 的图象如图所示，则函数 在下列区间上平均变 化率最大的是( ) C A. B. C. D. 11.已知函数 的图象上一点 及邻近一点 ， 则 ( ) D A.3 B. C. D. 12.一个物体做直线运动，位移 （单位： ）与时间 （单位： ）之间的函数关系 为 ，且这一物体在 这段时间内的平均速度为 ，则实 数 的值为( ) A A.2 B.1 C. D. 19 13.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.在这段时 间内，该车每 100千米平均耗油量为( ) 加油时间 加油量/升 加油时累计里程/千米 2022年10月1日 12 35 000 2022年10月15日 60 35 600 注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. C A.6升 B.8升 C.10升 D.12升 20 14.某人服药后,吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度 （单位: ）来表 示,它是时间 （单位: ）的函数,表示为 ,下表给出了 的一些函数值: 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 服药后 这段时间内,血液中药物质量浓度的平均变化率为________ . <m></m> 15.将半径为 的球加热,若半径从 到 时,球的体积膨胀率为 ,则 的值 为___. 2 21 16.已知函数 在区间 ， 上的平均变化率分别为 ， ，那么 ， 的大小关系为_ _______. <m></m> [解析] 当 , 时,平均变化率 ,当 , 时,平均变化率 ,所以 . 22 17.有一圆柱形容器，其底面直径为 ，深度为 ，盛满液体后以 的速 率放出，求液面高度的平均变化率. 解 设液体放出 后液面高度为 ,则 ,所以 ,液面高度的平均变化率为 . 23 C层 拓展探究练 18.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 （单位： ）与时间 （单位： ）之间的函数关系为 ，则： （1）前 内球的平均速度为___ ； 8 [解析] 由题设知， ， ，即平均速度为 . 24 （2）在 这段时间内球的平均速度为____ . 12 [解析] 由题设知， ， ，即平均速度为 . 25 19.已知函数 , , , ,分别计算这四个函数在区 间 上的平均变化率,并比较它们的大小. 解 , , , . 故在区间 上的平均变化率由大到小依次为 . 26 $$