第5章 §5.1 5.1.1 平均变化率（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦“平均变化率”核心知识点，以恩格斯名言及生活中变化实例（如身高体重、火箭速度）导入，通过气温变化统计图问题引导学生思考变化快慢刻画方法，进而衔接概念定义、实际问题应用与函数计算，构建递进式学习支架。 其亮点在于以实际问题（如水库存水量、蜥蜴体温）抽象数量关系培养数学眼光，通过函数在不同区间平均变化率计算与趋势分析发展数学思维，用符号公式精确表达规律体现数学语言。如例3探究x²在Δx减小时的变化趋势，小结梳理知识清单与方法，助力学生提升数学应用能力，为教师提供清晰教学流程与丰富实例。

5.1.1 第5章 <<< 平均变化率 1.了解平均变化率的实际背景. 2.理解平均变化率的含义. 3.会求函数在某区间上的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题. 学习目标 恩格斯说：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动.”大家知道，世界充满着变化，有些变化几乎不易被人们察觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼！比如同学们身高、体重的变化，学习成绩的变化，在短时间内不易被发现，而火箭的发射、F1赛道上赛车的速度却会让我们惊呼. 导 语 一、平均变化率的概念 二、实际问题中的平均变化率 课时对点练 三、函数中的平均变化率 随堂演练 内容索引 平均变化率的概念 一 如图是某市近34天最高气温的统计图，用怎样的数学模型刻画气温变化的快慢程度？ 问题 2.平均变化率是曲线陡峭程度的“_______”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“_______”. 数量化 视觉化 知识梳理 (1)函数在区间[x1，x2]上有意义. 注 意 点 <<< (3)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (4)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢. 8 　　　(多选)某物体的位移公式为s＝s(t)，从t0到t0＋Δt这段时间内，下列理解正确的有 A.(t0＋Δt)－t0为自变量的改变量 B.t0为函数值的改变量 C.Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)为函数值的改变量 例 1 √ √ √ 由自变量的改变量、函数值的改变量、平均变化率的概念易得ACD正确. 9 (1)要注意Δx，Δy的值可正、可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常数函数，则Δy＝0. 平均变化率概念的理解 反 思 感 悟 (3)平均变化率一定是相对某一区间而言的，一般地，区间不同，平均变化率也不同. 10 　　　　　(多选)下列说法正确的是 A.平均变化率只能是正数 B.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的变化量Δx可取任意实数 C.利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，效果是 　“粗糙不精确的” D.平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在相应区间上越“陡峭”，反 　之亦然 跟踪训练 1 √ √ 11 平均变化率可正、可负、可以为0，Δx不可为0，故A，B错误； 平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但当Δx很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”，故C正确，D显然正确. 12 二 实际问题中的平均变化率 　　　下表为某水库存水量y(单位：万m3)与水深x(单位：m)的对照表： 例 2 水深x/m 0 5 10 15 20 25 30 35 存水量y/万m3 0 20 40 90 160 275 437.5 650 (1)当x从5 m增长到10 m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义； 即当x从5 m增长到10 m时，水库存水量随水深每增加1 m，水量增加4万m3. 14 水深x/m 0 5 10 15 20 25 30 35 存水量y/万m3 0 20 40 90 160 275 437.5 650 (2)当x从25 m增长到30 m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义； 根据表格可知当x从25 m增长到30 m时， 即当x从25 m增长到30 m时，水库存水量随水深每增加1 m，水量增加32.5万m3. 15 水深x/m 0 5 10 15 20 25 30 35 存水量y/万m3 0 20 40 90 160 275 437.5 650 (3)比较(1)与(2)的数值的大小，并联系实际情况解释意义. 显然4<32.5，所以该水库的水深从5 m增长到10 m时，存水量的平均变化率小于水深从25 m增长到30 m时存水量的平均变化率， 说明该水库的存水量随着水深的增长会增加的越来越快. 16 反 思 感 悟 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等.分清自变量和因变量是解决此类问题的关键. 跟踪训练 2 －1.6 故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6 ℃/min. 18 函数中的平均变化率 三 　　　计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为： (1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01. 并思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 例 3 20 因为f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝(Δx)2＋2Δx， (1)当Δx＝2时，平均变化率为Δx＋2＝4， 即函数f(x)＝x2在区间[1,3]上的平均变化率为4. (2)当Δx＝1时，平均变化率为Δx＋2＝3， 即函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为3. 21 (3)当Δx＝0.1时，平均变化率为Δx＋2＝2.1，即函数f(x)＝x2在区间[1,1.1]上的平均变化率为2.1. (4)当Δx＝0.01时，平均变化率为Δx＋2＝2.01，即函数f(x)＝x2在区间[1,1.01]上的平均变化率为2.01. 观察上式可知，当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变小并接近于2. 22 反 思 感 悟 (1)求自变量的改变量x2－x1. (2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1). 求函数平均变化率的步骤 　　　　　(1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； 跟踪训练 3 函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为 24 (2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率. 25 1.知识清单： (1)平均变化率的概念. (2)实际问题中的平均变化率. (3)函数的平均变化率. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：对平均变化率的理解不透彻导致出错. 课堂小结 随堂演练 四 1.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于 A.1 B.－1 C.2 D.－2 √ 1 2 3 4 2.一物体的运动方程是S＝2t＋3(位移单位：m，时间单位：s)，则该物体在[2,2.1]这段时间内的平均速度是 A.0.4 m/s 　　　　B.2 m/s 　　　　C.0.3 m/s 　　　　D.0.2 m/s √ 1 2 3 4 3.已知函数f(x)＝x2－1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是 A.2.1 　　　　B.0.21 　　　　C.1.21 　　　　D.0.121 √ 1 2 3 4 4.如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间[0,2] 上的平均变化率为____. 1 2 3 4 课时对点练 五 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 2.已知函数f(x)＝x2＋2，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为 A.4 　　　　B.3 　　　　C.2 　　　　D.1 ∵f(3)＝11，f(1)＝3， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是 A.甲厂 B.乙厂 C.两厂一样 D.不确定 在t0处，虽然有W甲(t0)＝W乙(t0)， 但W甲(t0－Δt)<W乙(t0－Δt)， 所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.对于以下四个函数，在区间[1,2]上函数的平均变化率最大的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)如图是物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是 A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为 ，故A错误，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 k1>k2 ∴k1>k2. 9.已知函数f(x)＝x2＋3x在[0，m]上的平均变化率是函数g(x)＝2x＋1在[1,4]上的平均变化率的3倍，求实数m的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令m＋3＝2×3，得m＝3. 10.为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s到0 m/s花了5 s，乙车从18 m/s到0 m/s花了4 s，试比较两辆车的刹车性能. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 平均变化率为负值说明速度在减小，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好. 11.函数f(x)的图象如图，则函数f(x)在下列区间上平均变化率最大的是 A.[1，2]　　 B.[2，3] C.[3，4]　　 D.[4，7] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 即函数f(x)在区间[4，7]上的平均变化率小于0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以函数f(x)在区间[3，4]上的平均变化率最大. 12.已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1，－2)及其邻近一点(－1＋Δx， －2＋Δy)，其中Δx>0，则　 等于 A.3 B.3Δx－(Δx)2 C.3－(Δx)2 D.3－Δx ∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝3Δx－(Δx)2， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内，该车每100千米的平均耗油量为 A.6升 　　　　B.8升 　　　　C.10升 　　　　D.12升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   加油量(升) 加油时累计里程(千米) 第一次 12 35 000 第二次 60 35 600 √ 由题意知，第二次加油量即为这段时间的耗油量V＝60(升)，这段时间的行驶里程数S＝35 600－35 000＝600(千米)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16   加油量(升) 加油时累计里程(千米) 第一次 12 35 000 第二次 60 35 600 14.某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，下表给出了c(t)的一些函数值： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 t/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c(t)/ (mg/mL) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 服药后30～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为_________mg/ (mL·min). －0.002 拓广探究 15.若一射线OP从OA处开始，绕O点匀速逆时针旋转(到OB处为止)，所扫过的图形内部的面积S是时间t的函数，S(t)的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为OP是匀速旋转， 选项A，OP扫过的圆内阴影部分面积在开始时段增速越来越快，中间增速最快，后面时段增速越来越慢，不符合题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选项C，OP扫过的正方形内阴影部分面积在开始时段增速越来越快，中间增速最快，后面时段增速越来越慢，不符合题意； 选项D, OP扫过的三角形内阴影部分面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段快，符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.圆柱形容器，其底面直径为2 m，高度为1 m，盛满液体后以0.01 m3/s的速率放出，求液面高度的平均变化率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设放出液体t秒后的液面高度为y m， 则π·12·y＝π·12×1－0.01t， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则液面高度的平均变化率为 54 提示　“陡峭”的程度反应了气温变化的快与慢；AB两点相差31天，气温相差了15.1°C，则有≈0.5；而BC两点相差2天，气温相差了14.8 °C，则有＝7.4，我们用比值刻画气温变化的快慢程度. 1.一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为. (2)在式子中，x2－x1>0，而f(x2)－f(x1)的值可正、可负、可为0. D.为S(t)在区间[t0，Δt＋t0]上的平均变化率 (2)求点x0附近的平均变化率可用表示. 根据表格可知当x从5 m增长到10 m时，存水量y关于x的平均变化率为＝4， 存水量y关于x的平均变化率为＝32.5， 　蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T＝＋15，其中T为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，则t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为______℃/min. ＝＝－1.6(℃/min)， 所以＝＝Δx＋2. (3)求平均变化率.  ＝＝12.3. 函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率为 ＝＝＝3. 平均变化率为＝－1. ＝＝＝2(m/s). Δx＝1.1－1＝0.1，Δy＝f(1.1)－f(1)＝1.12－1－(12－1)＝0.21，所以函数f(x)＝x2－1在区间[1,1.1]上的平均变化率为＝＝＝2.1. 由折线图知，f(x)＝ 所以该变量在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝. Δy＝－(2＋1)＝－. 1.已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数值的改变量Δy等于 A. B.－ C.1 D.－1 ∴该函数在区间[1,3]上的平均变化率为＝＝4. 从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是＝＝(kg/m). 4.一根金属棒的质量y(单位：kg)是长度x(单位：m)的函数，y＝f(x)＝3，则从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是 A. kg/m B. kg/m C. kg/m D. kg/m A，B，C，D项的四个函数在区间[1,2]上函数的平均变化率依次为 ＝＝1, ＝＝3, ＝＝7, ＝＝－，故平均变 化率最大的是C项函数. A.y＝x B.y＝x2 C.y＝x3 D.y＝ 在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均 速度为.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故C正确，D错误. 8.已知函数y＝sin x在区间，上的平均变化率分别为k1，k2，那么k1，k2的大小关系为________. 当x∈时，平均变化率k1＝＝； 当x∈时，平均变化率k2＝＝， 函数g(x)在[1,4]上的平均变化率为＝＝2. 函数f(x)在[0，m]上的平均变化率为＝＝m＋3. 甲车速度的平均变化率为＝－5(m/s2). 乙车速度的平均变化率为＝－4.5(m/s2)， 函数f(x)在区间上的平均变化率为， 由函数图象可得，在区间[4，7]上，<0， 在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上，>0且Δx相同，由图象可知函数在区间[3，4]上的Δy最大. ∴＝3－Δx. 故这段时间，该车每100千米的平均耗油量为×100＝10(升). ＝＝－0.002 mg/(mL·min). 选项B，OP扫过的圆内阴影部分面积是匀速变化的，不符合题意； ＝＝－(m/s)， 故液面高度的平均变化率为－ m/s. ∴y＝1－t， $