5.2.2 函数的和、差、积、商的导数课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第5章 导数及其应用 5.2.2 函数的和、差、积、商的导数 【课标要求】 1.掌握函数的和、差、积、商的求导法则. 2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点.导数的四则运算法则 （1）对于两个函数 和 的和（或差）的导数，有如下法则： . （2）对于两个函数 和 的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . （3）由函数的乘积的导数法则可以得出 ，也 就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 . 4 题型分析·能力素养提升 5 【题型一】利用导数运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： （1） ； 解 因为 ,所以 . （2） ； . （3） ； 因为 ,所以 . 6 （4） . . 规律方法 利用导数运算法则求导的策略 （1）分析待求导式符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组成的,确定求导法则、基本公式. （2）如果待求导式比较复杂,那么需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和式求导、商式变乘积式求导、三角函数恒等变换后求导等. （3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和、差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导. 7 跟踪训练1 求下列函数的导数： （1） ； 解 . （2） ; 因为 ,所以 . （3） ； . 8 （4） . . 9 【题型二】求导法则的应用 角度1 用待定系数法处理求导问题 例2 设 是二次函数,方程 有两个相等的实数根,且 ， 求 的函数解析式. 解 因为 ,所以 （ 为常数）.又方程 有两个 相等的实数根,即 有两个相等的实数根,所以 ,即 ,所 以 . 10 规律方法 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题,然后利用已知条件解出所设未知数,进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式,特别是已知具有某些特征的函数. 11 跟踪训练2 已知函数 的导数 是一次函数, 对 一切 恒成立,求函数 的解析式. 解 由 为一次函数可知 为二次函数.设 ,则 .把 , 代入方程，得 ,即 . 又该方程对一切 恒成立,则 解得 所以 . 12 角度2 求导法则在导数几何意义中的应用 例3 已知函数 ,且 的图象在 处与直线 相切. （1）求函数 的解析式； 解 由题意，得 . 因为 的图象在 处与直线 相切, 所以 解得 所以 . 13 （2）若 为 图象上的任意一点,直线 与 的图象相切于点 ,求直线 的斜率 的取值范围. 由（1），得 , 所以直线 的斜率 .设 , 则 ,所以 ,则 在 处取到最小值 ,在 处取到最大值4,所以直线 的斜率 的取值范围是 , . 14 规律方法 涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素时,解题方法为把其他题设条件转化为这三个要素间的关系,构建方程（组）求解.准确利用求导法则求出函数的导数是解决此类问题的关键,务必做到准确. 15 跟踪训练3 已知函数 , , 的图象在 处的切线方程为 . （1）求 , 的值. 解 . 因为 的图象在 处的切线方程为 ,所以 ,即 ,解得 .因为 ,所以 ,解得 . 综上, , . 16 （2）直线 是否与函数 的图象相切?若相切,求出切点的坐标；若不相切, 请说明理由. 相切.假设直线 与函数 的图象相切于点 . 因为 ,所以 ,解得 .将 代入 ,得点 的坐标为 , ,所以切线方程为 ,化简得 .故直线 与函数 的图象相切,切点的坐标是 , . 17 成果验收•课堂达标检测 18 A层 基础达标练 1.记函数 的导函数为 ，若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 2.曲线 在点 处的切线的倾斜角为( ) B A. B. C. D. 3.设函数 ，若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 4.已知 ，则 ___. 4 5.已知函数 ,若 ,则 ___. 3 6.已知函数 ,则 ___. 1 19 7.求下列函数的导数： （1） ； 解 . （2） . . 20 B层 能力提升练 8.已知 ， 为非零常数，函数 ，则 ( ) B A. B.0 C.2 D.4 9.已知曲线 在点 处切线的倾斜角为 ,则实数 ( ) C A.1 B. C.7 D. 10.已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直,则 ( ) C A. B.1 C. D. 21 11.（多选题）当函数 在 处的导数为0时, 的值可以是 ( ) AC A. B.0 C. D. [解析] .由 ,得 .故选 . 22 12.已知函数 ，则 _ __. <m></m> 13.已知函数 的导函数为 ，且 ，则 _ ___. <m></m> 23 14.已知函数 ,其导函数 （1）求 , 的值； 解 因为 , 所以 又 ,所以 , . 24 （2）设函数 ,求曲线 在点 处的切线方程. 由（1）可知 , 所以 , 所以 . 又 ,所以曲线 在点 处的切线方程为 ,即 . 25 C层 拓展探究练 15.在等比数列 中, , ,函数 ,则 _______. 4 096 [解析] 因为 , 所以 . 因为数列 为等比数列,所以 ,所以 . 26 16.已知函数 , 为 的导函数,且 , . （1）求 ； 解 . 因为 ， . 所以 , 所以 . 又 , ,所以 ,所以 ,所以 . 27 （2）求 的值. . 28 $$