5.2.3 简单复合函数的导数(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

5.2.3 简单复合函数的导数 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 能求简单的复合函数导数，了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则. 能够利用复合函数的求导法则及学过的求导公式对复合函数求导. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.复合函数的概念 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成关于x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). 2.复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yx'=__________. 特别地，若y=f(u)，u=ax+b，则yx'=_______，即yx'=______. y'u·u'x yu'·ux' yu'·a |微|点|助|解| 　　使用复合函数求导法则的注意事项 (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成的，选择适当的中间变量. (2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin 2x)'=2cos 2x，不能得出(sin 2x)'=cos 2x. (3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y=sin的导数，设y=sin u，u=2x+，则y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos. (4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写. 基础落实训练 1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是 (　　) A.y=un，u=x2-1 B.y=(u-1)n，u=x2 C.y=tn，t=(x2-1)n D.y=(t-1)n，t=x2-1 √ 解析:由复合函数求导法则知A正确. 2.设函数f(x)=(1-2x)10，则f'(1)= (　　) A.0 B.-1 C.-20 D.20 √ 解析:因为f'(x)=10(1-2x)9×(-2)=-20(1-2x)9，所以f'(1)=20. 3.函数y=cos的导数为__________________.  3sin 解析:y'='=-sin(-3)=3sin. 4.指出下列函数由哪些函数复合而成. (1)y=ln ; 解: y=ln 由y=ln u，u=复合而成. (2)y=esin x; 解: y=esin x由y=eu，u=sin x复合而成. (3)y=cos(x+1). 解:y=cos(x+1)由y=cos u，u=x+1复合而成. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　求复合函数的导数 [例1]　求下列函数的导数. (1)y=; 解:令u=1-3x，则y==u-4，所以y'u=-4u-5，u'x=-3. 所以y'x=y'u·u'x=12u-5=. (2)y=cos x2; 解:令u=x2，则y=cos u，所以y'x=y'u·u'x=-sin u·(2x)=-2x sin x2. (3)y=sin; 解:令u=2x-，则y=sin u，所以y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos. (4)y=. 解:令u=1+x2，则y=，所以y'x=y'u·u'x=·2x=x·=. 　　|思|维|建|模|　求复合函数的导数的步骤 针对训练 1.求下列函数的导数: (1)y=(3x-2)2; 解:∵y=(3x-2)2由函数y=u2和u=3x-2复合而成，∴y'x=y'u·u'x=(u2)'·(3x-2)'=6u=18x-12. (2)y=ln(6x+4); 解:∵y=ln(6x+4)由函数y=ln u和u=6x+4复合而成，∴y'x=y'u·u'x=(ln u)'·(6x+4)'===. (3)y=. 解:函数y=可以看作函数y=和u=3x+5的复合函数，根据复合函数求导法则有y'x=y'u·u'x=()'·(3x+5)'==. 题型(二)　复合函数与导数的运算法则的综合应用 [例2]　求下列函数的导数. (1)y=; 解:∵(ln 3x)'=×(3x)'=，∴y'===. (2)y=x; 解:y'=(x)'=x'+x()'=+=. (3)y=xcossin. 解:∵y=xcossin =x(-sin 2x)cos 2x=-xsin 4x， ∴y'='=-sin 4x-cos 4x×4=-sin 4x-2xcos 4x. |思|维|建|模| (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的. (2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，开始由外及内逐层求导. 针对训练 2.求下列函数的导数: (1)y=e-x+2(2x+1)5; 解: y'=(e-x+2)'·(2x+1)5+e-x+2·[(2x+1)5]'=-e-x+2·(2x+1)5+5e-x+2· (2x+1)4·(2x+1)'=-e-x+2(2x+1)4(2x-9). (2)y=cos(3x-1)-ln(-2x-1); 解: y'=-sin(3x-1)·(3x-1)'-·(-2x-1)'=-3sin(3x-1)-. (3)y=sin 2x+cos2x; 解:y'=cos 2x·(2x)'+2cos x·(cos x)'=2cos 2x-2sin xcos x=2cos 2x-sin 2x. (4)y=. 解:y'==. 题型(三)　复合函数求导的综合应用 [例3]　 (1)曲线y=f(x)=esin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，则直线l的方程为____________________.  x-y+3=0或x-y-1=0 解析:设u=sin x，则f'(x)=(esin x)'=(eu)'(sin x)'=cos xesin x， 所以f'(0)=1.则切线方程为y-1=x-0，即x-y+1=0.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为x-y+c=0，c≠1，由两平行线间的距离d==，解得c=3或c=-1.故直线l的方程为x-y+3=0或x-y-1=0. (2)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=_____.  ln 2 解析:由y=ex+x得y'=ex+1，y'|x=0=e0+1=2，故曲线y=ex+x在(0，1)处的切线方程为y=2x+1.由y=ln(x+1)+a得y'=，设切线与曲线y=ln(x+1)+a的切点为(x0，ln(x0+1)+a)，由两曲线有公切线得y'==2，解得x0=-，则切点为，切线方程为y=2+a+ln=2x+1+a-ln 2.由两切线重合，得a-ln 2=0，解得a=ln 2. |思|维|建|模| 复合函数应用问题的注意点 (1)正确求导是关键. (2)涉及切线问题，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程;若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标. (3)实际问题中，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现了导数揭示物体某时刻的变化状况. 针对训练 3.某市在一次降雨过程中，降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=，则在时刻t=40 min的降雨强度为(　　) A.20 mm/min B.400 mm/min C. mm/min D. mm/min √ 解析:由f(t)=，得f'(t)=·(10t)'=，所以f'(40)==. 4.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=_______.  1-ln 2 解析:设f(x)=ln x+2，g(x)=ln(x+1)，则f'(x)=，g'(x)=.设曲线f(x)= ln x+2上的切点为(x1，y1)，曲线g(x)=ln(x+1)上的切点为(x2，y2)，则k==，则x2+1=x1.又y1=ln x1+2，y2=ln(x2+1)=ln x1，所以k==2，故x1==，y1=ln+2=2-ln 2.故b=y1-kx1=2-ln 2-1=1-ln 2. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.若函数f(x)=e2x+e2，则f'(1)= (　　) A.e2 B.2e2 C.3e2 D.4e2 √ 解析:f'(x)=e2x·2+0=2e2x，则f'(1)=2e2.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.函数y=exsin 2x的导数为 (　　) A.y'=2excos 2x B.y'=ex(sin 2x+2cos 2x) C.y'=2ex(sin 2x+cos 2x) D.y'=ex(2sin 2x+cos 2x) √ 15 解析:若y=sin 2x，根据复合函数的求导法则，y'=2cos 2x，根据两函数乘积的求导公式，y=exsin 2x的导数为y'=exsin 2x+ex·2cos 2x=ex(sin 2x+2cos 2x).故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.函数f(x)=e4x-x-2的图象在点(0，f(0))处的切线方程是 (　　) A.3x+y+1=0 B.3x+y-1=0 C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0 √ 15 解析:因为f'(x)=4e4x-1，所以k= f'(0)=3.因为f(0)=-1，所以切线方程为y+1=3x，即3x-y-1=0.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.设f(x)=ln(3x-1)，若f(x)在x0处的导数f'(x0)=6，则x0的值为 (　　) A.0 B. C.3 D.6 √ 15 解析:对于函数f(x)=ln(3x-1)，由3x-1>0，可得x>，即函数f(x)的定义域为，f'(x)=，由f'(x0)==6，解得x0=，合乎题意.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.某放射性同位素在衰变过程中，其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系N(t)=N0，其中N0为t=0时该同位素的含量.已知t=24时，该同位素含量的瞬时变化率为-e-1，则N(120)=(　　) A.24贝克 B.24e-5贝克 C.1贝克 D.e-5贝克 √ 15 解析:由N(t)=N0，得N'(t)=-N0，因为t=24时，该同位素含量的瞬时变化率为-e-1，所以N'(24)=-N0=-e-1，解得N0=24，所以N(120)=24×，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.函数f(x)=xln(x+2)的图象在点(-1，0)处的切线与直线(a-2)x+y-2=0垂直，则实数a的值为 (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 15 √ 解析:函数f(x)=xln(x+2)，求导得f'(x)=ln(x+2)+，则f'(-1)=-1，即函数f(x)=xln(x+2)的图象在点(-1，0)处的切线斜率为-1，因为切线与直线(a-2)x+y-2=0垂直，有(2-a)×(-1)=-1，所以a=1.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知f(x)及其导函数f'(x)定义域为R，满足:x∈R，f(x)=f(2-x)+2(x-1)，g(x)=sin，g(x)定义域为，若g(x)在点(x0，g(x0))处的切线斜率与f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率相同，则x0=(　　) A. B. C. D. 15 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题知，f(x)及其导函数f'(x)定义域为R，满足:x∈R，f(x)=f(2-x)+2(x-1)，所以f'(x)=-f'(2-x)+2，所以f'(1)=-f'(1)+2，即f'(1)=1.因为g(x)=sin，x∈，所以g'(x)=2cos.因为g(x)在点(x0，g(x0))处的切线斜率与f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率相同，所以g'(x0)=2cos=1，所以cos=，所以2x0+=±+2kπ，k∈Z，由x∈，解得x0=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)设函数y=ln，则y'=__________.  15 解析:对于函数y=ln ，可看作y=ln u，u=，v=1+x的复合函数，所以y'=××1=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)一个质点的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)满足函数关系式s=3t3-(2t+1)2+1，则当t=1时，该质点的瞬时速度为_____m/s.  15 -3 解析:因为s=3t3-(2t+1)2+1，所以s'=9t2-4(2t+1).当t=1时，s'|t=1=9-4×(2+1)=-3，故当t=1时，该质点的瞬时速度为-3 m/s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)与函数f(x)=e3x-1在点(0，0)处具有相同切线的一个函数的解析式是________________________.  15 g(x)=3ex-3(答案不唯一) 解析:f'(x)=3e3x，故f'(0)=3e0=3，则函数f(x)=e3x-1在点(0，0)处的切线为y=3x.不妨令g(x)=3ex-3，g(0)=3e0-3=0，故(0，0)在g(x)=3ex-3上，g'(x)=3ex，故g'(0)=3e0=3，则函数g(x)=3ex-3在点(0，0)处的切线为y=3x，满足要求. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)如图，在墙角处有一根长3米的直木棒AB紧贴墙面，墙面与底面垂直.在t=0 s时，木棒的端点B以0.5 m/s的速度垂直墙面向右做匀速运动，端点A向下沿直线运动，则端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为_____ m/s.  15 解析:设端点A运动的路程为s，则(3-s)2+=9，因为t=2 s，所以BB'=0.5×2=1 m<3 m，此时木棒处于倾斜状态，所以3-s>0，所以s=3-，则s'=.当t=2 s时，s'=，即端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为 m/s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)函数y=[f(x)]g(x)在求导时可运用对数法:在解析式两边同时取对数得到ln y=g(x)ln f(x)，然后两边同时求导得=g'(x)ln f(x)+g(x)，于是y'=[f(x)]g(x)，用此法探求y=(x+1)x(x>0)的导数为__________________________.  15 y'=(x+1)x 解析:两边取对数可得ln y=ln(x+1)x=xln(x+1)，两边求导可得= ln(x+1)+，所以y'=y=(x+1)x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知a∈R，函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f'(x)，且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是，求切点的横坐标x0. 15 解:易得f'(x)=ex-ae-x，x∈R.∵f'(x)为奇函数，∴f'(x)+ f'(-x)=0对任意x∈R恒成立，即(1-a)(ex+e-x)=0对任意x∈R恒成立，∴a=1， ∴f(x)=ex+e-x，f'(x)=ex-e-x.设切点的横坐标为x0，由题可得-=，令=t(t>0)，则t-=，解得t=2或t=-(舍去)，∴=2，∴x0=ln 2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)=3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t=18时的导数，并解释它的实际意义. 15 解:函数y=s(t)=3sin是由函数f(z)=3sin z和函数z=φ(t)=t+复合而成的，其中z是中间变量.由导数公式表可得f'(z)=3cos z，φ'(t)= .再由复合函数求导法则得y't=s'(t)=f'(z)φ'(t)=3cos z·=cos.将t=18代入s'(t)，得s'(18)=cos=.它表示当t=18时，潮水的高度上升速度为 m/h. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15.(10分)设函数f(x)=aexln x+. (1)求导函数f'(x);(5分) 15 解:由f(x)=aexln x+，得f'(x)=(aexln x)'+'=aexln x++. (2)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2，求a，b的值.(5分) 解:由于切点既在曲线y=f(x)上，又在切线y=e(x-1)+2上，将x=1代入切线方程得y=2，将x=1代入函数f(x)得f(1)=b，∴b=2，将x=1代入导函数f'(x)中，得f'(1)=ae=e，∴a=1.∴a=1，b=2. $$