5.3.2 极大值与极小值课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第5章 导数及其应用 5.3.2 极大值与极小值 【课标要求】 1.了解函数极值的概念,结合图象直观理解函数的极值与导数的关系. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.函数极大（小）值的概念 一般地,若存在 ,当 时,都有 ,则称 为函 数 的一个极大值；类似地,若存在 ,当 时,都有 ,则称 为函数 的一个极小值.函数的极大值、极小值统称为函数 的极值. 名师点睛 （1）极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较时最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小. 4 （2）函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个. （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小. （4）函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点. （5）若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数 的极值点.也就是说,若 存在,则“ ”是“ 在 处取得极值”的必要不 充分条件. 5 （6）若 在区间 内有极值,则 在 内一定不是单调函数,即在某 区间上单调的函数没有极值. （7）如果函数 在 上连续且有极值,那么它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数 在 上连续且有有限个极值点时,函数 在 上的极大值点、极小值点是交替出现的. 6 知识点2.函数的极值与导数的关系 （1）极大值与导数之间的关系 左侧 右侧 极大值 （2）极小值与导数之间的关系 左侧 右侧 极小值 7 题型分析·能力素养提升 8 【题型一】求函数的极值 角度1 不含参数的函数求极值 例1 求下列函数的极值: 9 （1） ； 解 因为 ,所以 的定义域为 , .令 ,得 或 .当 变化时, , 的变化情况如下表: 0 1 - 0 - 0 2 1 所以当 时, 有极小值,为 ,无极大值. 10 （2） . 函数 的定义域为 , .令 ,得 .当 变化时, , 的变化情况如下表: 1 - 0 3 从表中可以看出,当 时,函数 有极小值,为 ,无极大值. 11 规律方法 求可导函数 的极值的步骤 12 解 函数 的定义域为 , .令 ,即 ,解得 或 .当 变化时, , 的变化情况如下表: 0 2 - 0 0 - 0 所以当 时, 取得极小值,且极小值为 ；当 时, 取得极大值, 且极大值为 . 跟踪训练1 求函数 的极值. 13 角度2 含参数的函数求极值 例2 已知函数 . 解 函数 的定义域为 , . （1）当 时,求曲线 在点 处的切线方程； (1)当 时, , ,所以 , ,所以 在点 处的切线方程为 ,即 （2）求函数 的极值. 14 , . ①当 时, , 在区间 上单调递增,函数 无极值； ②当 时,由 ,得 . 因为 时, , 时, ,所以 在 处取得极小 值,且极小值为 ,无极大值.综上,当 时,函数 无极值；当 时,函数 在 处取得极小值 ,无极大值. 规律方法 讨论参数应从 的根的个数与大小入手. 15 跟踪训练2 已知函数 ,当实数 时,求函数 的单调区间与极值. 解 .令 ,解得 或 .由 ，知 .分以下两种情况讨论: ①若 ,则 .当 变化时, , 的变化情况如下表: , , 0 - 0 极大值 极小值 16 所以 在区间 , 上单调递增,在区间 上单调递减, 函数 在 处取得极大值 ,且 ,函数 在 处取得极小值 ,且 . ②若 ,则 .当 变化时, , 的变化情况如下表: , , , 0 - 0 极大值 极小值 17 所以 在区间 , 上单调递增,在区间 上单调递减,函数 在 处取得极大值 ,且 ,函数 在 处取得极小值 ,且 .综上,当 时, 的增区间为 , ,减区间为 ,极大值为 ,极小值为 ；当 时, 的增区间为 , ,减区间为 ,极大值为 ,极小值为 . 18 【题型二】利用函数极值确定参数的值 例3 已知函数 在 处取得极值. （1）求实数 的值； 解 .因为 在 处取得极值,所以 ,解得 .经验证，当 时, 在 处取得极值，故 . 19 （2）若函数 在区间 上存在零点,求实数 的取值范围. 由（1）知， , , 将 , , 在 内的取值列表如下: 0 2 4 - 0 极小值 由此可得, 在 内有零点,只需 所以 . 故实数 的取值范围是 . 20 规律方法 已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,注意以下两点 （1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解； （2）因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证充分性. 21 （1）求常数 , , 的值； 解 因为函数 在 处取得极值,所以 是方程 的两根, 代入得 又 ,所以 .③ 联立①②③，得 , , . 跟踪训练3 已知函数 在 处取得极值,且 . 22 （2）判断当 时,函数 取极大值还是极小值,试说明理由,并求出极值. 由（1）知, , ,所以 .当 或 时, ,当 时, ,所以函数 在区间 和 上单调递增,在区间 上单调递减,所以当 时,函数取得极大值 ；当 时,函数取得极小值 . 23 【题型三】极值的综合应用 例4 已知函数 （ 为实数）,若方程 有三个不同的实数根, 求实数 的取值范围. 解 令 ,解得 , .当 时, ；当 时, ；当 时, ，故当 时, 有极大值 ；当 时, 有极小值 .因为方程 有三个不同的实数根,所以 的图象与 轴有三个交点,所以 解得 ,故实数 的取值范围是 . 24 规律方法 利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的 大致图象,从直观上判断函数图象与 轴的交点或两个函数图象的交点个数,从而为研究 方程根的个数问题提供了方便. 跟踪训练4 本例中,若方程 恰有两个实数根,则实数 的值如何求解? 解 由例4知，函数的极大值 ,极小值 ,若 恰有两 个实数根,则 或 ,所以 或 . 跟踪训练5 本例中,若方程 有且只有一个实数根,求实数 的取值范围. 解 由例4知,要使方程 有且只有一个实数根,只需 或 ,即 或 .故 的取值范围为 . 25 成果验收•课堂达标检测 26 A层 基础达标练 1.下列函数中存在极值的是( ) B A. B. C. D. 2.已知当 时,函数 有极小值,则 ( ) D A. B. C.4 D.2 3.函数 在 取得极值7,则 ( ) C A. 或3 B.3或 C.3 D. 4.（多选题）已知函数 有极大值和极小值,则实数 的 值可以是( ) AD A. B. C.6 D.8 27 5.已知函数 既有极大值又有极小值,则实数 的取值 范围是_ ___________________________. （ <m></m> , <m></m> ） <m></m> （2, <m></m> ） 6.已知关于 的函数 ,如果函数 在 处取得极值 ,那么 ____, ___. <m></m> 3 28 7.设函数 ,其中 ,曲线 在点 处的切线 垂直于 轴. （1）求 的值； 解 . 由题意,知曲线在 处的切线斜率为0,即 ,从而 ,解得 . 29 （2）求函数 的极值. 由（1）知， , .令 ,得 , （舍 去）. 当 时, , 在 上单调递减；当 时, , 在 上单调递增.故 在 处取得极小值,极小值为 ,无极大 值. 30 B层 能力提升练 8.[2023扬州期末] 已知 是函数 的极小值点，则 的极小值 为( ) A A. B.0 C.1 D.2 31 9.已知函数 ，则“ ”是“ 是 的一个极小值点”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] ，若 ，则 ,当 , 时， ， ， 单调递减；当 , 时， ， ， 单调递增.故 是 的一个极小值点.若 是 的一个极小值点，则 ，解得 ，经检验，当 时， 是 的一个极小值 点，故“ ”是“ 是 的一个极小值点”的充要条件.故选C. 32 10.设函数 在 上可导,其导函数为 ,且函数 在 处取得极小值,则 函数 的图象可能是( ) C A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& 33 11.若函数 在 处取得极大值,则 的值为 ( ) A A.3 B.2 C.3或2 D. 或 [解析] 由题意，得 ,整理得 ,解得 或 . 当 时, 令 ,得 或 ； 令 ,得 . 34 此时,函数 在 处取得极小值,不符合题意. 当 时, . 令 ,得 或 ； 令 ,得 . 此时,函数 在 处取得极大值,符合题意. 综上, .故选A. 12.已知函数 的图象如图所示,且 在 与 处取得极值,则 的值一定( ) B A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.小于或等于0 36 13.（多选题）已知函数 的定义域为 ，则( ) BC A. 为奇函数 B. 在 上单调递增 C. 有且仅有4个极值点 D. 恰有4个极大值点 37 [解析] 因为 的定义域为 ，定义域不关于原点 对称，所以 是非奇非偶函数.又 ，当 时， ，则 在 上单调递增，显 然 令 ，得 .如图，分别作出 ， 在区间 上的图象.由图可知，这两个函数的图象在区间 上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故 在区间 上的极值点的个数为4，且 只有2个极大值点.故选 . 38 14.（多选题）设 ,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实数 根的是( ) BCD A. , B. , C. , D. , 39 15.若函数 在区间 上恰有一个极值,则实数 的取值范围 为_ ______. <m></m> ,5） [解析] ,函数 在区间 上恰有一个极值,即 在 上恰有一个根.又函数 的对称轴为直线 ,所以应 满足 所以 所以 . 40 16.已知函数 ,当 时, 有极大值.写出符合上述 要求的一个 的值_________________. 4（答案不唯一） [解析] 因为 ,所以 因为当 时, 有极大值,所以 有两个根,其中一个根为3,设另一个根为 ,且 , 所以 所以 . 41 17.设 为实数,函数 . （1）求 的极值； 解 . 令 ,得 或 . 当 变化时, , 的变化情况如表所示. , , 1 0 - 0 极大值 极小值 所以 的极大值是 ,极小值是 . 42 （2）若曲线 与 轴仅有一个交点,求 的取值范围. 函数 ,由此可知,当 取足够大的正数 时,有 ，当 取足够小的负数时,有 ,所以曲线 与 轴至少有 一个交点. 由（1）知 , . 因为曲线 与 轴仅有一个交点,所以 或 ,即 或 ,所以 或 ,所以当 , 时,曲 线 与 轴仅有一个交点. 43 C层 拓展探究练 18.（多选题）已知函数 有两个极值点 ， ，则 ( ) BCD A. 的取值范围为 B. C. D. 44 19.已知函数 且 是函数 的极值点. （1）求实数 的值； 解 当 时, , 所以 . 由已知,得 , 所以 ,解得 . 45 （2）若函数 仅有一个零点,求实数 的取值范围. 由（1）知,当 时, , . 令 ,得 或 （舍去）, 所以当 时, , 单调递减, . 当 时, , 单调递增, . 而当 时, 单调递增, . 因为函数 仅有一个零点,即函数 的图象与直线 仅有一个 交点,所以 或 ,即实数 的取值范围为 . 46 $$