5.3.2 极大值与极小值-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“函数的极大值与极小值”，通过“横看成岭侧成峰”的情境导入，衔接导数与函数单调性的已有知识，构建从概念理解到导数应用的学习支架，帮助学生逐步掌握极值的判定与求解。 其亮点在于融合数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养，通过分类讨论含参数函数极值、母题变式探究等实例，采用问题链设计与分层训练，助力学生提升思维严谨性与运算能力，也为教师提供系统的教学资源和可操作的教学流程。

第5章　导数及其应用 5.3　导数在研究函数中的应用 5.3.2　极大值与极小值 学习任务 核心素养 1．了解极大值、极小值的概念．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(难点) 2．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点) 1．通过对极值点与极值概念的学习，体现了数学抽象的核心素养． 2．借助函数极值的求法，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 5.3.2　极大值与极小值 “横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山之中，各个山峰的顶端，虽不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．这就是我们这节课研究的函数的极值． 必备知识·情境导学探新知 5.3.2　极大值与极小值 知识点1　极大值与极小值 (1)极大值：一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有 f (x)____f (x1)，则称f (x1)为函数f (x)的一个极大值． (2)极小值：一般地，若存在δ>0，当x∈(x2－δ，x2＋δ)时，都有 f (x)____f (x2)，则称f (x2)为函数f (x)的一个极小值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)极大值一定比极小值大． (　　) (2)每一个函数都至少有一个极大值或极小值． (　　) (3)单调函数不存在极值．　 (　　) [提示]　(1)极大值不一定比极小值大，∴(1)错误； (2)有的函数可能没有极值，∴(2)错误； (3)正确． × × √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 知识点2　函数极大值、极小值与函数的导数的关系 (1)极大值与导数的关系 x x1左侧 x1 x1右侧 f ′(x) f ′(x)＞0 f ′(x)＝0 f ′(x)＜0 f (x)  极大值f (x1)  课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 (2)极小值与导数的关系 x x2左侧 x2 x2右侧 f ′(x) f ′(x)＜0 f ′(x)＝0 f ′(x)＞0 f (x)  极小值f (x2)  课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 体验2．(多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的是(　　) A．y＝x3 B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝2x BC　[对于A，y′＝3x20，∴y＝x3单调递增，无极值；对于B，y′＝2x，x＞0时y′＞0，x＜0时y′＜0，∴在x＝0处取得极小值；对于C，根据图象(图略)知，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C符合；对于D，y＝2x单调递增，无极值．故选BC．] √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 体验3．函数f (x)＝x＋2cos x在上的极大值为(　　) A．f (0) B．f 　 C．f 　 D．f √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 B　[f ′(x)＝1－2sin x． 令f ′(x)＝0，解得sin x＝． ∵x∈， ∴x＝．故当x∈[0，)时，f ′(x)>0；当x∈(时，f ′(x)<0． ∴f 是f (x)在上的极大值．] 关键能力·合作探究释疑难 类型1　不含参数的函数求极值 【例1】　【链接教材P215例4】 求下列函数的极值： (1)y＝x3－3x2－9x＋5； (2)y＝x3(x－5)2． 5.3.2　极大值与极小值 [解]　(1)∵y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝ －1，x2＝3． 当x变化时，y′，y的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) y′ ＋ 0 － 0 ＋ y  极大值  极小值  ∴当x＝－1时，函数y＝f (x)有极大值，且f (－1)＝10； 当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22． (2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5) ＝5x2(x－3)(x－5)． 令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0， 解得x1＝0，x2＝3，x3＝5．当x变化时，y′与y的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，3) 3 (3，5) 5 (5，＋∞) y′ ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋ y  无极值  极大值  极小值  ∴当x＝3时，y极大值＝f (3)＝108；当x＝5时，y极小值＝f (5)＝0． 【教材原题·P215例4】 求f (x)＝x2－x－2的极值． [解]　f ′(x)＝2x－1．令f ′(x)＝0，解得x＝． 列表如表5-3-3所示． 表5-3-3 x 左侧 右侧 f ′(x) — 0 ＋ f (x)  极小值f  因此，当x＝时，f (x)有极小值f ＝－． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 反思领悟　求函数y＝f (x)的极值的步骤 (1)求出函数的定义域及导数f ′(x)； (2)解方程f ′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)； (3)用方程f ′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中； (4)由f ′(x)在各个开区间内的符号，判断f (x)在f ′(x)＝0的各个根处的极值情况： 如果左正右负，那么函数f (x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么函数f (x)在这个根处取得极小值； 如果导数值在这个根左右两侧同号，那么函数在这个根处不能取得极值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 [跟进训练] 1．求函数f (x)＝3x3－3x＋1的极值． [解]　f ′(x)＝9x2－3，令f ′(x)＝0，得x1＝－，x2＝．当x变化时， f ′(x)，f (x)的变化情况如下表： x －∞，－ － －， ，＋∞ f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)  极大值  极小值  根据上表可知，当x＝－时，函数f (x)有极大值为f ＝1＋；当x＝时，函数f (x)有极小值为f ＝1－． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 类型2　含参数的函数求极值 【例2】　已知函数f (x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f (x)的极值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 [解]　∵f (x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，∴f ′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)，令f ′(x)＝0，得x1＝，x2＝．①当a＞0时，＜，则随着x的变化，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表： x f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)  极大值  极小值  ∴当x＝时，函数f (x)取得极大值，为f ＝；当x＝时，函数f (x)取得极小值，为f ＝0． ②当a＜0时，＜，则随着x的变化，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表： x f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)  极大值  极小值  课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 ∴当x＝时，函数f (x)取得极大值，为f ＝0； 当x＝时，函数f (x)取得极小值，为f ＝． 综上，当a＞0时，函数f (x)在x＝处取得极大值，在x＝处取得极小值0； 当a＜0时，函数f (x)在x＝处取得极大值0，在x＝处取得极小值． 反思领悟　求含参数的函数极值的注意点 求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f ′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f ′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 [跟进训练] 2．若函数f (x)＝x－a ln x(a∈R)，求函数f (x)的极值． [解]　函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1－＝．①当a0时， f ′(x)＞0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f (x)无极值． ②当a＞0时，令f ′(x)＝0，解得x＝a． 当0＜x＜a时，f ′(x)＜0；当x＞a时，f ′(x)＞0． 故f (x)在x＝a处取得极小值，且f (a)＝a－a ln a，无极大值． 综上可知，当a0时，函数f (x)无极值； 当a＞0时，函数f (x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 类型3　由极值求参数的值或取值范围 【例3】　(1)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝(　　) A．4或－3　　　　　　 B．4或－11 C．4 D．－3 (2)若函数f (x)＝x2＋(a－1)x－a ln x没有极值，则(　　) A．a＝－1 B．a0 C．a＜－1 D．－1＜a＜0 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 (1)C　(2)A　[(1)∵f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f ′(x)＝3x2＋2ax＋b．由 题意得即 解得或当时，f ′(x)＝3x2－6x＋3＝ 3(x－1)20，故函数f (x)单调递增，无极值，不符合题意．∴a＝4．故选C． (2)f ′(x)＝(x－1)，x＞0，当a0时，＋1＞0，令f ′(x)＜0，得0＜x＜1；令f ′(x)＞0，得x＞1．f (x)在x＝1处取极小值，不符合题意．当a＜0时，方程＋1＝0必有一个正数解x＝－a， ①若a＝－1，此正数解x＝1，此时f ′(x)＝0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值，符合题意． ②若a≠－1，此正数解x≠1，f ′(x)＝0必有2个不同的正数解，f (x)存在2个极值，不符合题意．综上，a＝－1．故选A．] 反思领悟　已知函数极值求参数的方法 对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：若f (x0)是函数的极值，那么f ′(x0)＝0，且在x0两侧的导数值异号． (1)已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤： ①求函数的导数f ′(x)； ②由f ′(x0)＝0，列出方程(组)，求解参数． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． (2)对于函数无极值的问题，往往转化为f ′(x)0或f ′(x)0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 [跟进训练] 3．若函数f (x)＝x(x－m)2在x＝2处取得极大值，求函数f (x)的极大值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 [解]　∵f ′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f ′(2)＝0， ∴(m－2)(m－6)＝0， 即m＝2或m＝6． ①当m＝2时，f ′(x)＝(x－2)(3x－2)， 由f ′(x)＞0，得x＜或x＞2； 由f ′(x)＜0，得＜x＜2． ∴f (x)在x＝2处取得极小值，不合题意，故m＝2舍去． ②当m＝6时，f ′(x)＝(x－6)(3x－6)， 由f ′(x)＞0，得x＜2或x＞6； 由f ′(x)＜0，得2＜x＜6． ∴f (x)在x＝2处取得极大值，∴f (2)＝2×(2－6)2＝32． 即函数f (x)的极大值为32． 类型4　极值问题的综合应用 【例4】　已知函数f (x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f (x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围． 从函数f (x)＝x3－3x＋a(a为实数)的图象观察，若方程f (x)＝0有三个不同实根，其极大值与极小值应满足什么条件？ [提示]　要使f (x)＝0有三个不同实根，则其有极大值大于0，极小值小于0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 [解]　令f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0， 解得x1＝－1，x2＝1． 当x<－1时，f ′(x)>0； 当－1<x<1时，f ′(x)<0； 当x>1时，f ′(x)>0． 所以当x＝－1时，f (x)有极大值f (－1)＝2＋a； 当x＝1时，f (x)有极小值f (1)＝－2＋a． 因为方程f (x)＝0有三个不同实根， 所以y＝f (x)的图象与x轴有三个交点，如图． 由已知应有解得－2<a<2，故实数a的取值范围是 (－2，2)． [母题探究] 1．(变条件)本例中，若方程f (x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？ [解]　由例题知，函数的极大值f (－1)＝2＋a，极小值f (1)＝－2＋a， 若f (x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0或－2＋a＝0，所以a＝－2或a＝2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 2．(变条件)本例中，若方程f (x)＝0有且只有一个实根，求实数a的取值范围． [解]　由例题可知，要使方程f (x)＝0有且只有一个实根，只需2＋a＜0或－2＋a＞0，即a＜－2或a＞2．故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 3．(变条件、变结论)讨论方程＝a的根的情况． [解]　令f (x)＝，则定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝． 令f ′(x)＝0，得x＝e． 当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化情况如下表： x (0，e) e (e，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － f (x)   课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 因此极大值为f (e)＝，函数f (x)没有极小值点．其图象如图． 综上，当0＜a＜时，＝a有两个不同的根； 当a＝或a0时，＝a只有一个根； 当a＞时，＝a没有实数根． 反思领悟　利用导数求函数零点的个数 (1)利用导数可以判断函数的单调性； (2)研究函数的极值情况； (3)在上述研究的基础上画出函数的大致图象； (4)直观上判断函数的图象与x轴的交点或两个图象的交点的个数．若含有参数，则需要讨论极值的正负． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 1．函数f (x)的定义域为R，它的导函数y＝f ′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(　　) 学习效果·课堂评估夯基础 √ A．在(1，2)上函数f (x)单调递增 B．在(3，4)上函数f (x)单调递减 C．在(1，3)上函数f (x)有极大值 D．f (3)是函数f (x)在区间[1，5]上的极小值 5.3.2　极大值与极小值 D　[由题图可知，当1＜x＜2时，f ′(x)＞0，当2＜x＜4时，f ′(x)＜0，当4＜x＜5时，f ′(x)＞0， ∴f (2)是函数f (x)的极大值，f (4)是函数f (x)的极小值，故A，B，C正确，D错误．] 2．设函数f (x)＝xex，则(　　) A．f (1)为f (x)的极大值 B．f (1)为f (x)的极小值 C．f (－1)为f (x)的极大值 D．f (－1)为f (x)的极小值 √ D　[令f ′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1．当x＜－1时，f ′(x)＜0；当x＞－1时，f ′(x)＞0．故当x＝－1时，f (x)取得极小值．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 3．已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________________________． (－∞，－1)∪(2，＋∞)　[f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)， ∵函数f (x)既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x)＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0， 即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1．] (－∞，－1)∪(2，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 4．已知函数f (x)＝2ef ′(e)ln x－，则函数f (x)的极大值为________． 2ln 2　[f ′(x)＝(x>0)，故f ′(e)＝，解得f ′(e)＝， 所以f (x)＝2ln x－，f ′(x)＝． 由f ′(x)＞0得0＜x＜2e，f ′(x)＜0得x＞2e．所以函数f (x)在(0，2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减，故f (x)的极大值为f (2e)＝2ln 2e－2＝2ln 2．] 2ln 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．极大值与极小值的概念是什么？ [提示]　若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f (x)f (x1)，则称f (x1)为函数f (x)的一个极大值；若都有f (x)f (x1)，则称f (x1)为函数f (x)的一个极小值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 2．求函数的极值的步骤是什么？ [提示]　(1)确定函数的定义域，求导数f ′(x)． (2)求方程f ′(x)＝0的根． (3)列表． (4)利用f ′(x)与f (x)随x的变化情况表，根据单调性的变化情况求极值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．设函数f (x)＝＋ln x，则(　　) A．x＝为f (x)的极大值点 B．x＝为f (x)的极小值点 C．x＝2为f (x)的极大值点 D．x＝2为f (x)的极小值点 课时分层作业(三十六)　极大值与极小值 √ 45 D　[f ′(x)＝，x>0，令f ′(x)＝0，即＝0，得x＝2， 当x∈(0，2)时，f ′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时， f ′(x)>0． 因此x＝2为f (x)的极小值点，故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．已知函数f (x)的导函数f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f (x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)　　　　　　 B．(0，＋∞) C．(0，1) D．(－1，0) √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 47 D　[∵f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若a<－1， 则f (x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f (x)在x＝a处取得极小值，与题意不符； 若－1<a<0，则f (x)在(－1，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，从而在x＝a处取得极大值，符合题意； 若a>0，则f (x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 48 3．函数f (x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，则(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A．f 是极大值 B．f (－2)是极大值 C．f (2)的极大值 D．f 是极小值 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 49 A　[对于A选项，当－2＜x＜时，f ′(x)＞0，当＜x＜2时，f ′(x)＜0，f 是极大值，A选项正确； 对于B选项，当x＜－2时，f ′(x)＜0，当－2＜x＜时，f ′(x)＞0，f (－2)是极小值，B选项错误； 对于C选项，当＜x＜2时，f ′(x)＜0，当x＞2时，f ′(x)＞0，f (2)是极小值，C选项错误； 对于D选项，由于函数y＝f (x)为可导函数，且f ′＜0，f 不是极小值，D选项错误．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 4．当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　　) A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 51 B　[∵三次函数过原点，故可设为y＝x3＋bx2＋cx， ∴y′＝3x2＋2bx＋c． 又x＝1，3是y′＝0的两个根， ∴即 ∴y＝x3－6x2＋9x，又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)， ∴当x＝1时，f (x)极大值＝4 ， 当x＝3时，f (x)极小值＝0，满足条件，故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 5．已知a为常数，函数f (x)＝x ln x－ax2＋x有两个极值，则实数a的取值范围为(　　) A． B．(0，e) C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 53 A　[f ′(x)＝ln x＋2－2ax，x>0，函数f (x)有两个极值，则f ′(x)有两个零点，即函数y＝ln x与函数y＝2ax－2的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为(x0，y0)，对函数y＝ln x求导(ln x)′＝， 则有解得要使函数图象有两个交点， 则0＜2a＜e，即0＜a＜．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 二、填空题 6．已知函数f (x)＝x3－x2＋cx＋d无极值，则实数c的取值范围为 ____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[∵f ′(x)＝x2－x＋c，要使f (x)无极值，则方程f ′(x)＝x2－x＋c＝0没有变号的实数解，从而Δ＝1－4c．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 55 7．若函数f (x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [1，5)　[∵f ′(x)＝3x2＋2x－a，函数f (x)在区间(－1，1)上恰有一个极值点，即f ′(x)＝0在(－1，1)内恰有一个根．又函数f ′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－．∴应满足∴ ∴1a<5．] [1，5) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 56 8．已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f (x)极大值与极小值的差为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 57 4　[函数f (x)求导得f ′(x)＝3x2＋6ax＋3b，因为函数f (x)在x＝2取得极值，所以f ′(2)＝3·22＋6a·2＋3b＝0，即4a＋b＋4＝0．① 又因为图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行， 所以f ′(1)＝3＋6a＋3b＝－3，即2a＋b＋2＝0，② 联立①②可得a＝－1，b＝0，所以f ′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)． 当f ′(x)＞0时，x＜0或x＞2；当f ′(x)＜0时，0＜x＜2，∴函数的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调递减区间是(0，2)， 因此求出函数的极大值为f (0)＝c，极小值为f (2)＝－4＋c， 故函数的极大值与极小值的差为c－(－4＋c)＝4．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 三、解答题 9．(源自人教A版教材)求函数f (x)＝x3－4x＋4的极值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 59 [解]　因为f (x)＝x3－4x＋4，所以f ′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令f ′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2．当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表所示． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)  极大值  极小值  因此，当x＝－2时，f (x)有极大值，并且极大值为f (－2)＝；当x＝2时，f (x)有极小值，并且极小值为f (2)＝－． 60 10．已知f (x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f (1)＝ －1． (1)试求常数a，b，c的值； (2)试判断f (x)在x＝±1处取得极大值还是极小值，并说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 61 [解]　f ′(x)＝3ax2 ＋2bx＋c． (1)法一：∵f (x)在x＝±1处取得极值，∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系知 又f (1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，　③ 由①②③解得a＝，b＝0，c＝－． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0， 得3a＋2b＋c＝0，　① 3a－2b＋c＝0，　② 又f (1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，　③ 由①②③解得a＝，b＝0，c＝－． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 63 (2)由(1)知f (x)＝x3－x， ∴f ′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)． 当x＜－1或x＞1时f ′(x)＞0， 当－1＜x＜1时，f ′(x)＜0． ∴函数f (x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减． ∴当x＝－1时，函数取得极大值；当x＝1时，函数取得极小值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 64 11．如图是函数f (x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则等于 (　　) A． B． C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 65 C　[函数f (x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点(0，0)，(1，0)，(2，0)，得d＝0，b＋c＋1＝0，4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f ′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f (x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 66 12．(多选题)若函数f (x)＝a ln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A．bc＞0 B．ab＞0 C．b2＋8ac＞0 D．ac＜0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 67 BCD　[因为函数f (x)＝a ln x＋(a≠0)，所以函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝，因为函数f (x)既有极大值也有极小值，则函数f ′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等 的正实根x1，x2，则即所以故选BCD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 68 13．已知函数f (x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R，e是自然对数的底数)在x＝0处取得极小值，则m＝________，这时f (x)的极大值是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 0 4e-2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 69 0　4e-2　[由题意知f ′(x)＝[x2＋(2－m)x－2m]ex．由f ′(0)＝－2m＝0，解得m＝0． 则f (x)＝x2ex，f ′(x)＝(x2＋2x)ex，令f ′(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，故函数f (x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－2，0)， 所以函数f (x)在x＝－2处取得极大值，且有f (－2)＝4e-2．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 70 14．已知函数f (x)＝xe2x－1，则函数f (x)的极小值为________，零点有________个． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －－1 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 71 －－1　1　[∵f (x)＝xe2x－1，∴f ′(x)＝e2x＋2xe2x＝(1＋2x)e2x，令f ′(x)＝0，可得x＝－， 当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表所示： 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x － f ′(x) － 0 ＋ f (x)  极小值  72 所以函数f (x)的极小值为f ＝－－1， f (x)＝0⇒e2x＝，则函数f (x)的零点个数等于函数y＝e2x与函数y＝的图象的交点个数，如图所示． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 两个函数的图象有且只有一个交点，即函数y＝f (x)只有一个零点．] 73 15．已知函数f (x)＝(k∈R)． (1)k为何值时，函数f (x)无极值？ (2)试确定k的值，使f (x)的极小值为0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.3.2　极大值与极小值 74 [解]　(1)∵f (x)＝， ∴f ′(x)＝． 要使f (x)无极值，只需f ′(x)0或f ′(x)0恒成立即可． 设g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k， ∵ex＞0，∴f ′(x)与g(x)同号． ∵g(x)的二次项系数为－2，∴只能满足g(x)0恒成立， ∴Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)20，解得k＝4， ∴当k＝4时，f (x)无极值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 75 (2)由(1)知k≠4，令f ′(x)＝0，得x1＝2，x2＝． ①当＜2，即k＜4时，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表： 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x 2 (2，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ 0 － f (x)  极小值  极大值  76 由题意知f ＝0，可得2·－k·＋k＝0，∴k＝0，满足k＜4． ②当＞2，即k＞4时，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表： 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x 2 f ′(x) － 0 ＋ 0 － f (x)  极小值  极大值  77 由题意知f (2)＝0，可得2×22－2k＋k＝0， ∴k＝8，满足k＞4． 综上，当k＝0或k＝8时，f (x)有极小值0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 78 $