第12章 全等三角形单元测试 2024—2025学年人教版数学八年级上册

第12章 全等三角形单元测试 一．选择题（共10小题） 1．（2024•益阳三模）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180° 2．（2024春•海口期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD上一点，若△ABD≌△CED，BC＝14，AB＝10，则△CED的周长为（　　） A．22 B．23 C．24 D．26 3．（2023•凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　） A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE 4．（2024春•东明县期末）花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带（　　） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 5．（2024春•沈阳期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，AD、CE交于点H，已知AE＝CE＝10，BE＝6，则CH的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2024•青海）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（2024春•织金县期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 8．（2023秋•莱州市期末）如图，在直角三角形ABC中，AD为斜边上的高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　） A．BF＝CF B．∠C＝∠BAD C．∠BAE＝∠CAE D．S△ABE＝S△ACF 9．（2024春•鼓楼区校级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．下列结论：①∠AEF＝∠AFE；②∠EBC＝∠C；③AG⊥EF；④FG∥AC．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①② 10．（2024春•开江县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB，其中正确的结论有（　　） A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①④ 二．填空题（共5小题） 11．（2024•成都）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为 　 　． 12．（2024•临夏州）如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），点C的坐标为（3，4），点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 　 　． 13．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 　 　． 14．（2024秋•邗江区月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为27和16，则△EDF的面积为 　 　． 15．（2023秋•庆云县期末）如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝3cm，BC＝9cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动 　 　秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等． 三．解答题（共8小题） 16．（2024•长沙）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数． 17．（2024•内江）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数． 18．（2024•南充）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E． （1）求证：△BDE≌△CDA． （2）若AD⊥BC，求证：BA＝BE． 19．（2023•聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C． （1）求证：∠EAD＝∠EDA； （2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积． 20．（2024•宣汉县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，延长BC至点F，过点F作EF∥CD交AC于点E，AB＝EF，且CB＝CE，过点C作CH∥AB． （1）求证：∠ACH＝∠BCD； （2）求证：CD＝CH． 21．（2021春•溧阳市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F． （1）求证：BF平分∠DBC； （2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数． 22．（2024•郓城县模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 23．（2023秋•鹤城区校级期末）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE 　 　CF；EF 　 　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）； ②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 　 　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 第12章 全等三角形单元测试 一．选择题（共10小题） 1．（2024•益阳三模）如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180° 【解答】解：∵△AOB≌△ADC， ∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，∴∠BAC＝∠OAD＝α， 在△ABC中，， ∵BC∥OA， ∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，∴， 整理得，α＝2β． 故选：B． 2．（2024春•海口期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD上一点，若△ABD≌△CED，BC＝14，AB＝10，则△CED的周长为（　　） A．22 B．23 C．24 D．26 【解答】解：∵△ABD≌△CED，∴AB＝EC，BD＝ED， ∵AB＝10，∴EC＝10， ∵BD＝ED， ∴ED+DC＝BC， ∵BC＝14， ∴ED+DC＝14，∴△CED的周长为：ED+DC+EC＝14+10＝24． 故选：C． 3．（2023•凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　） A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE 【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE， ∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意； 当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意； 当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意； 当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意； 故选：D． 4．（2024春•东明县期末）花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），若要配块与原来大小一样的三角形玻璃，应该带（　　） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 【解答】解：带②去可以利用“角边角”能配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故选：B． 5．（2024春•沈阳期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，AD、CE交于点H，已知AE＝CE＝10，BE＝6，则CH的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEH＝∠HDC＝90°， ∵∠EHA＝∠DHC，∴∠EAH＝∠ECB， 在△AEH与△CEB中，，∴△AEH≌△CEB（ASA），∴BE＝EH＝6， ∵CE＝10，∴CH＝CE﹣EH＝10﹣6＝4， 故选：C． 6．（2024•青海）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：过P作PE⊥AO于E， ∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB， ∴PE＝PD＝2， ∴点P到OA的距离是2． 故选：C． 7．（2024春•织金县期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【解答】解：作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， ∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC， ∴4×74×AC＝24， ∴AC＝5， 故选：D． 8．（2023秋•莱州市期末）如图，在直角三角形ABC中，AD为斜边上的高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　） A．BF＝CF B．∠C＝∠BAD C．∠BAE＝∠CAE D．S△ABE＝S△ACF 【解答】解：∵AF为斜边BC的中线，∴BF＝CF＝AF，所以A选项不符合题意； ∵AD为斜边上的高，∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD+∠B＝90°，∠C+∠B＝90°，∴∠C＝∠BAD，所以B选项不符合题意； ∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，所以C选项不符合题意； ∵BF＝CF，∴S△ABF＝S△ACF，所以D选项符合题意． 故选：D． 9．（2024春•鼓楼区校级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．下列结论：①∠AEF＝∠AFE；②∠EBC＝∠C；③AG⊥EF；④FG∥AC．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①② 【解答】解：①∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD， 又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），∴∠AEF＝∠AFE，故①正确； ②∵∠ABE＝∠CBE，∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故②错误； ③∵∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故③正确． ④连接EG，AG、EF交于点O，∵AF＝AE，AG平分∠EAF，∴AO垂直平分EF， ∵BO⊥AG，BF平分∠ABC，∴BO垂直平分AC，∴AC与EF互相垂直平分， ∴四边形AEGF是菱形，∴AC∥FG． 故④正确．故选：C． 10．（2024春•开江县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB，其中正确的结论有（　　） A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①④ 【解答】解：设FG与AE的延长线交于点M， ∵AD⊥BC，FG⊥AE，∠AED＝∠FEM，∴∠ADE＝∠FME＝90°，∴∠DAE＝∠F，故①正确； ∴∠DEA＝∠AGH＝90°﹣∠DAE， ∵AD⊥BC，∴∠DAE＝90°﹣∠AED， ∵∠AED＝∠EAC+∠ACE，∴∠DAE＝90°﹣∠EAC﹣∠ACE， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∴， ∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACE， ∴ ，故②正确； ∵∠AED＝∠EAC+∠ACE，AE平分∠BAC， ∴∠AED＝∠BAE+∠ACE， ∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB，故④正确； ∵AE平分∠BAC， ∴点E到AB，AC的距离相等，都设为h， ∴，故③正确． 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．（2024•成都）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为 　 　． 【解答】解：∵△ABC≌△CDE，∴∠ACB＝∠CED＝45°， ∵∠D＝35°，∴∠DCE＝180°﹣∠CED﹣∠D＝180°﹣45°﹣35°＝100°， 12．（2024•临夏州）如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），点C的坐标为（3，4），点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 　 　． 【解答】解：∵点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD 与△ABC 全等， ∴△BAD≌△ABC，∴AD＝BC，BD＝AC，如图所示： 13．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 　 　． 【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠FAC＝∠ABE， 在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS）， ∴AF＝BE，AE＝CF， ∵BE＝4，CF＝1， ∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1， ∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3， 14．（2024秋•邗江区月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为27和16，则△EDF的面积为 　 　． 【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DF＝DH， 在Rt△ADF和Rt△ADH中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），∴S△ADF＝S△ADH， 在Rt△EDF和Rt△GDH中，，∴Rt△EDF≌Rt△GDH（HL）， ∴S△EDF＝S△GDH，∴S△EDF+S△AED＝S△ADG﹣S△GDH，即S△EDF+16＝27﹣S△EDF，∴S△EDF＝5.5． 15．（2023秋•庆云县期末）如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝3cm，BC＝9cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动 　 　秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等． 【解答】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等， ∵AC＝3cm，∴BP＝3cm，∴CP＝9﹣3＝6cm，∴点P的运动时间为6÷1＝6（秒）； ②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB与△NBP全等， 这时BC＝PB＝9cm，CP＝0，因此时间为0秒； ③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等， ∵AC＝3cm，∴BP＝3cm，∴CP＝3+9＝12cm，∴点P的运动时间为12÷1＝12（秒）； ④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB与△NBP全等， ∵BC＝9cm，∴BP＝9cm，∴CP＝9+9＝18， 点P的运动时间为18÷1＝18（秒）， 故答案为：0或6或12或18． 三．解答题（共8小题） 16．（2024•长沙）如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数． 【解答】（1）证明：在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． （2）解：由（1）得△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠AEC＝∠ACE， ∵∠AEC+∠ACE＝2∠ACE＝180°﹣∠DAE＝120°， ∴∠ACE＝60°， ∴∠ACE的度数是60°． 17．（2024•内江）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数． 【解答】（1）证明：∵AD＝BE，∴AD+BD＝BE+BD， 即AB＝DE， 在△ABC和△DEF中， ，△ABC≌△DEF（SSS）； （2）解：∵∠A＝55°，∠E＝45°，由（1）可知：△ABC≌△DEF， ∴∠A＝∠FDE＝55°， ∴∠F＝180°﹣（∠FDE+∠E）＝180°﹣（55°+45°）＝80°． 18．（2024•南充）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E． （1）求证：△BDE≌△CDA． （2）若AD⊥BC，求证：BA＝BE． 【解答】（1）证明：∵点D为BC的中点，∴BD＝CD， ∵BE∥AC，∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD， 在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（AAS）； （2）证明：∵点D为BC的中点，AD⊥BC，∴直线AD为线段BC的垂直平分线， ∴BA＝CA，由（1）可知：△BDE≌△CDA， ∴BE＝CA，∴BA＝BE． 19．（2023•聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C． （1）求证：∠EAD＝∠EDA； （2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积． 【解答】（1）证明：∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AED+∠CED， ∴∠BAE＝∠CED， 在△ABE和△ECD中， ， ∴△ABE≌△ECD（AAS），∴AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA； （2）解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，∴△AED为等边三角形，∴AE＝AD＝ED＝4， 过A点作AF⊥ED于F，∴EFED＝2，∴AF， ∴S△AEDED•AF． 20．（2024•宣汉县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，延长BC至点F，过点F作EF∥CD交AC于点E，AB＝EF，且CB＝CE，过点C作CH∥AB． （1）求证：∠ACH＝∠BCD； （2）求证：CD＝CH． 【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵CH∥AB， ∴∠ACH＝∠A， ∴∠ACH＝∠BCD； （2）∵∠ACB＝90°， ∴∠FCE＝180°﹣90°＝90°， 在Rt△ACB和Rt△FCE中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△FCE（HL）， ∴∠B＝∠CEH， 在△BCD和△ECH中， ， ∴△BCD≌△ECH（ASA）， ∴CD＝CH． 21．（2021春•溧阳市期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F． （1）求证：BF平分∠DBC； （2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数． 【解答】（1）证明：∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠C＝90°， ∴∠ABD＝∠C， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∵∠BGE＝∠ABD+∠BAE，∠BEG＝∠C+∠EAC， ∴∠BGE＝∠BEG， ∴BG＝BE， ∵BF⊥EG， ∴BF平分∠DBC． （2）解：∵∠ABF＝3∠C，∠ABD＝∠C，BF平分∠DBC， ∴∠FBD＝∠FBC＝2∠C， ∴5∠C＝90°， ∴∠C＝18°． 22．（2024•郓城县模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）； （2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°， 由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°， ∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°， ∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°； （3）延长BF到G，使得FG＝FB， ∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°， 在△AFB和△AFG中，， ∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G， ∵△BAC≌△DAE， ∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA， ∵∠GCA＝∠DCA＝45°， 在△CGA和△CDA中，， ∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD， ∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF， ∴CD＝2BF+DE． 23．（2023秋•鹤城区校级期末）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE 　 　CF；EF 　 　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）； ②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 　 　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 【解答】解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°， ∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∴∠CBE＝∠ACF， 在△BCE和△CAF中，， ∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|． ②所填的条件是：∠α+∠BCA＝180°． 证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α． ∵∠BCA＝180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA． 又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，∴∠CBE＝∠ACF， 又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA， ∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE＝CF，CE＝AF， 又∵EF＝CF﹣CE，∴EF＝|BE﹣AF|． （2）猜想：EF＝BE+AF． 证明过程： ∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°， ∴∠BCE＝∠CAF， 又∵BC＝CA，∴△BCE≌△CAF（AAS）． ∴BE＝CF，EC＝FA，∴EF＝EC+CF＝BE+AF． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$