精品解析：天津市和平区嘉诚中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

2022-2023学年天津市和平区嘉诚中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 取下列各数时，使得有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）． A. 6米; B. 9米; C. 12米; D. 15米. 4. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C ， D ， 5. 如图所示的网格是正方形网格，，，为网格线交点，则( ) A. B. C. D. 6. 若，，是三边，则化简的结果是（　　） A B. C. D. 7. 如图，一只蚂蚁沿着边长为的正方体表面从点出发，经过个面爬到点，如果它运动的路径是最短的，则的长为( ) A. B. C. D. 8. 若是整数，则正整数的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，在中，为斜边上的中线，过点D作，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，在矩形中，、交于点，于点，,则的度数为( ) A. B. C. D. 11. 如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，点为正方形的中心，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接．则以下四个结论中：①；②；③；④．正确结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 13. 计算；______． 14. 如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是________. 15. 如图，四边形的对角线，E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形是___________（平行四边形，矩形，菱形，正方形中选择一个） 16. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为______． 17. 已知是等腰三角形，，若的面积是10，则的长是_________． 三、解答题：本题共8小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图在每个边长为的正方形网格中，、是格点，是正方形． （1） ______； （2）用无刻度的直尺作出的垂直平分线，并简要说明作法（不要求证明）． 19. （1） （2） 20. 已知：如图，在中，，，，求的长． 21. 如图，在中，于点F，于点E，M为的中点． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 22. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE． （1）若∠ADB=40°，求∠E的度数． （2）若AB=3，CE=5，求AE的长． 23. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，是折痕． （1）如图，若，，求折痕的长； （2）如图，若，且，求矩形的周长． 24. 如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）当______°时，四边形是正方形； （3）在（2）的条件下，若，则四边形的面积为 ． 25. 阅读下面材料： 小诚遇到这样一个问题：如图，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数； 小诚是这样思考的：如图，构造等边，利用全等转化问题，得到从而将问题解决． （1）请你回答：图中的度数等于______直接写答案 参考小诚同学思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图，在正方形内有一点，且，，． ①求的度数； ②正方形的边长______直接写答案 （3）如图，在正六边形内有一点，且，，，则度数等于______，正六边形的边长为______直接写答案 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年天津市和平区嘉诚中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 取下列各数时，使得有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据题意得出是解此题的关键，注意：代数式中，分式中分母．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出，求出，再逐个判断即可． 【详解】解：要使代数式有意义，必须， 解得：， ，，，， 只有选项D符合题意，选项A、选项B、选项C都不符合题意， 故选：D． 2. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【详解】解：A、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； C、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； D、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）． A. 6米; B. 9米; C. 12米; D. 15米. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度． 【详解】解：如图，根据题意BC=3米， ∵∠BAC=30°，∠ACB=90°， ∴AB=2BC=2×3=6米， ∴BC+AB=3+6=9（米）． 故选B 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键． 4. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、，，由“一组对边平行，另一边相等的四边形”无法判断四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、，，由“两组邻边相等的四边形”无法判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、，，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D、若，，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 5. 如图所示的网格是正方形网格，，，为网格线交点，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质、三角形外角和内角的关系、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形可知，再根据等腰三角形的性质，可以得到的度数，从而可以求得的度数． 【详解】解：由图可得， ，，， ， ， 故选：A． 6. 若，，是的三边，则化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系判断出，再利用二次根式的性质化简，然后计算即可． 【详解】解：∵，，是的三边， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，三角形的三边关系，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 7. 如图，一只蚂蚁沿着边长为的正方体表面从点出发，经过个面爬到点，如果它运动的路径是最短的，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理．将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长． 【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短， ， 故选：C． 8. 若是整数，则正整数的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先将写成平方数乘以非平方数的形式，再根据二次根式的基本性质即可确定出的最小整数值； 【详解】解：； 由是整数，得最小， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的基本性质，利用二次根式的基本性质是解题关键． 9. 如图，在中，为斜边上的中线，过点D作，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵在中，为斜边上的中线，， ∴， ∵，， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，正确求出是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，、交于点，于点，,则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的两个锐角互余等知识点，证明是解题的关键． 由矩形的性质得，，因为，所以，而，所以即可解答． 【详解】解：四边形是矩形，、交于点， ，，，且， ， ， ， 于点， ， ， 故选：C． 11. 如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，解题关键是掌握菱形的性质． 12. 如图，点为正方形的中心，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接．则以下四个结论中：①；②；③；④．正确结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的定义、三角形的中位线定理，牢记正方形的性质、全等三角形的判定定理及性质、角平分线的定义、三角形的中位线定理是解题的关键． ①先证得，求得，再证得，进而证得，进而证得为的中点，即可判断该说法是否正确． ②根据，，，即可判断该说法是否正确． ③根据，即可判断该说法是否正确． ④由题意可求得，结合三角形的外角的性质，判断该说法是否正确． 【详解】①在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为正方形的中心， ∴， ∴， 说法①正确． ②∵为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 说法②错误． ③∵， ∴， ∵为正方形的中心， ∴， ∴， 说法③正确． ④∵为正方形的中心， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 说法④正确． 综上所述，说法正确的为①③④， 故选． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 13. 计算；______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 14. 如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是________. 【答案】96 【解析】 【分析】首先根据勾股定理可求出BO的长，进而求出BD的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵AC=12， ∴AO=6， ∵AB=10， ∴BO==8， ∴BD=16， ∴菱形的面积S=AC•BD=×16×12=96． 故答案为：96． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 15. 如图，四边形的对角线，E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形是___________（平行四边形，矩形，菱形，正方形中选择一个） 【答案】菱形 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得，进一步可得同理可得又根据即可得进一步即可得证． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是各边的中点， ∴， ∴ 同理可证 又∵， ∴ ∴四边形EFGH是菱形． 故答案为：菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定和三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理． 16. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识．由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：连接，，且，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，的值最小，即的值最小， 此时，的面积， ， 的最小值为； 故答案为：． 17. 已知是等腰三角形，，若的面积是10，则的长是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】作于点D，由三角形的面积求出，由勾股定理求出，再分两种情况即是锐角三角形或钝角三角形进行讨论即可． 【详解】解：①如图，当高在的内部， ∵，的面积是10， ， ， ， ， ； ②如图，当高在的外部， ∵，面积是10， ， ， ， ， ， 故答案为：或 【点睛】本题考查了等腰三角形的面积和勾股定理、三角形的面积公式，画出图形，分两种情况进行讨论是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共49分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图在每个边长为的正方形网格中，、是格点，是正方形． （1） ______； （2）用无刻度的直尺作出的垂直平分线，并简要说明作法（不要求证明）． 【答案】（1） （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查作图－复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理计算即可； （2）取格点，，使，连接，结合菱形的判定与性质可知，即为所求． 【小问1详解】 解：由勾股定理得，． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 作法：取格点，，使，连接即可． 19. （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各数，再合并同类二次根式进行加减运算即可求解； （2）可根据二次根式的乘法和除法运算法则求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算、二次根式的性质、绝对值，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． 20. 已知：如图，在中，，，，求的长． 【答案】的长为． 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理．过点作的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， ， ∴， 在中，，， ∴，， 则． 在中， ． 所以的长为． 21. 如图，在中，于点F，于点E，M为的中点． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）14 （2）60 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质． （1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后由三角形的周长的定义解答； （2）由等腰三角形的两底角相等求出，再由平角的定义求出，然后由等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵，，M为的中点，， ∴， ∵， ∴的周长； 【小问2详解】 解：∵，，M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE． （1）若∠ADB=40°，求∠E的度数． （2）若AB=3，CE=5，求AE的长． 【答案】（1）20° （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC，根据矩形的性质可得△ABC≌△BAD，从而得到∠ACB=∠ADB=40°，再由BD=CE，可得AC=CE，从而得到∠E=∠CAE，即可求解； （2）根据勾股定理可得BC=4，从而得到BE=9，再由勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°， ∵AB=BA， ∴△ABC≌△BAD， ∴∠ACB=∠ADB=40°， ∵BD=CE， ∴AC=CE， ∴∠E=∠CAE， ∵∠ACB=∠E+∠CAE， ∴∠E=20°； 【小问2详解】 解：由（1）得：AC=CE=5，∠ABC=90°， ∵AB=3， ∴， ∴BE=BC+CE=9， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，是折痕． （1）如图，若，，求折痕的长； （2）如图，若，且，求矩形的周长． 【答案】（1）； （2）矩形的周长为． 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键． （1）由勾股定理求出，的长，设，则，得出，解方程即可得解； （2）设，则，得出，设，则，在中，得出，则，得出，解出的值，求出和的长，则答案可求出． 小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ，，， 由折叠可知，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∴矩形的周长为． 24. 如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）当______°时，四边形是正方形； （3）在（2）的条件下，若，则四边形的面积为 ． 【答案】（1）见解析 （2）45 （3）12 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可以得到 ，再证明，继而证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得到四边形是菱形． （2）欲证明四边形BECF是正方形，因为第一问已经证明四边形BECF是菱形，所以只需 要证明其中一个角是直角，根据题目条件分析，可证明当∠A= 45°时， ∠EBF= 2∠CBA= 90°，即四边形BECF是正方形． （3）在（2）的条件下，四边形EBCF是正方形，得出四边形ABFC为直角梯形，求出FC，AB，BF的长，再根据梯形的面积公式即可得四边形的面积． 【小问1详解】 证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：当∠A = 45°时，四边形BECF是正方 形，证明如下： ∵∠A= 45°，∠ACB = 90° ∴∠CBA = 45° ∴∠EBF= 2∠CBA = 90° ∴菱形BECF是正方形． 所以，当∠A=45°时，四边形BECF是正方形． 【小问3详解】 解：在（2）的条件下，四边形EBCF是正方形，∠A=∠ECA=45°， ∴∠FBA=∠BFC=90°， 四边形ABFC为直角梯形， 又∵AC=4 ∴AE=EC= ∵CE=CF=2 ，AB=BE+AE=2 ∴ = 故四边形面积为12． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，正方形的性质及判定以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握四条边都相等的四边形是菱形． 25. 阅读下面材料： 小诚遇到这样一个问题：如图，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数； 小诚是这样思考的：如图，构造等边，利用全等转化问题，得到从而将问题解决． （1）请你回答：图中的度数等于______直接写答案 参考小诚同学思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图，在正方形内有一点，且，，． ①求的度数； ②正方形的边长______直接写答案 （3）如图，在正六边形内有一点，且，，，则的度数等于______，正六边形的边长为______直接写答案 【答案】（1）；（2）①；②；（3），． 【解析】 【分析】把绕点逆时针旋转得到，由旋转性质可得，，，证出是等边三角形，由等边三角形的性质求出，，再由勾股定理逆定理求出，求出，即为的度数； 把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质可得，，，证出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理逆定理求出，然后求出，即为的度数； 如图，过点作于，先证明，，三点共线，根据是等腰直角三角形，得，并由勾股定理可得正方形的边长为； 如图，六边形是正六边形，把绕点逆时针旋转得到，连接，过点作于，先根据勾股定理可得的长，从而得的长，由勾股定理的逆定理可得，可得的度数；如图，过点作于，由勾股定理可得的长． 【详解】解：是等边三角形， ，， 如图，把绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质，，，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ； 故； 故答案为：； 四边形是正方形， ，， 如图，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， 故； 如图，过点作于， ，， ， ，，三点共线， 是等腰直角三角形， ， ， ， 由勾股定理得：，即正方形的边长为， 故答案为：； 如图，六边形是正六边形， ，， 把绕点逆时针旋转得到，连接，过点作于， 由旋转的性质，，，， 是等腰三角形，， ，， ， ，， ， ， ， 故； 如图，过点作于， ， ， ，， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，正六边形的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，利用旋转的性质构造辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$