精品解析：江苏省徐州市东湖实验学校2022-2023学年九年级中考数学——一检模拟卷3

江苏省徐州市2022-2023学年度东湖实验学校九年级数学 一检模拟卷3 一、单选题 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 如图是一个正方体的展开图，其六个面上各有一字，即“全面落实双减”，若将它折成正方体，则与“实”相对的字是（ ） A. 全 B. 面 C. 落 D. 减 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在办公软件中有很多种字体，下面四个选项中的黑体汉字，可以看做是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如下是某地区2022年12月12～21日每天最高气温的统计表： 日期 12月12日 12月13日 12月14日 12月15日 12月16日 最高气温 日期 12月17日 12月18日 12月19日 12月20日 12月21日 最高气温 在这天中，最高气温为出现的频率是( ) A. B. C. D. 6. 现有以下命题： ①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等； ②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等； ③通常温度降到以下，纯净的水会结冰是随机事件； ④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 其中真命题的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆上，点Q是的中点，且长的最大值为1.5，则k的值为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题 9. 的值等于______． 10. 如图，的方向是北偏西15°，若，则的方向是______． 11. 正五边形每个内角的度数为 _____． 12. 分解因式：_________________ ． 13. 若，则代数式的值为______． 14. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 15. 一个圆锥形零件，底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为_______． 16. 如图，正方体的棱长为3 cm，已知点B与点C间的距离为1 cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为_________． 17. 如图，在轴上有点，，过点作轴（使点在第二象限），且，连接当一次函数的图象与有公共点时，的取值范围为______ 18. 如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为_____________． 三、解答题 19. 解方程（组）： （1） （2） 20. 计算： （1）； （2）． 21. 小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学进行了6次测试，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）分别求小聪、小明的平均成绩； （2）求小聪成绩的方差； （3）现求得小明成绩的方差为，根据折线统计图及上述计算结果，请说明哪位同学更适合参加学校竞赛？ 22. 近年来，国家林草局全面开展古树名木资源普查，第二次全国古树名木资源普查结果显示，目前我国普查范围内共有古树名木万株，其中5000年以上的古树有5株，这5株古树均在陕西省，分别是渭南市的仓颉手植柏，延安市的黄帝手植柏、保生柏、老君柏，商洛市的页山大古柏．为提高学生保护古树名木的意识和热情，某校举行以“保护古树名木，共享绿水青山”为主题的摄影活动．小南从自己的摄影作品中选取了五张照片，这五张照片背面完全相同，正面分别是五棵古树，将照片背面朝上洗匀． （1）从五张照片中随机抽取一张，抽到“黄帝手植柏”的概率是______； （2）活动规定每人可上交两张照片，小南对这五张照片都很满意，他同时从这五张照片中随机抽取两张参加该活动，请用树状图或列表法求小南抽到的两张照片上的古树均在延安市的概率． 23. 盲盒顾名思义就是盒子中放置不同的物品，消费者凭运气抽中商品，正是这种随机化的体验，让消费者产生消费欲望，成为当下最热门的营销方法之一．某葡萄酒酒庄为回馈新老客户，也推出了盲盒式营销．商家计划在每件盲盒中放入A，B两种类型的酒．销售人员先包装了甲、乙两种盲盒．甲盲盒中装了A种酒4瓶，B种酒4瓶；乙盲盒中装了A种酒2瓶，B种酒5瓶；经过测算，甲盲盒的成本价为每件280元，乙盲盒的成本价为每件200元．请计算A种酒和B种酒的成本价为每瓶多少元？ 24. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长． 25. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，， （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高． 26. 在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，. （1）观察猜想 如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________． （2）类比探究 如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． 27. 如图1，抛物线与x轴相交于原点O和点A，直线与抛物线在第一象限的交点为B点，抛物线的顶点为C点． （1）求点B和点C的坐标； （2）抛物线上是否存在点D，使得？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点G．设和的面积分别为和，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省徐州市2022-2023学年度东湖实验学校九年级数学 一检模拟卷3 一、单选题 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别比较即可． 【详解】A．，不合题意； B． ，不合题意； C．，符合题意； D．，不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了有理数大小比较，利用了正数大于0，0大于负数，注意两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小． 2. 如图是一个正方体的展开图，其六个面上各有一字，即“全面落实双减”，若将它折成正方体，则与“实”相对的字是（ ） A. 全 B. 面 C. 落 D. 减 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “面”与“实”是对面， 故选：B． 【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查指数运算的基本规则，解题关键在于准确运用指数运算法则，避免混淆指数加减与乘除关系． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法，逐一验证各选项是否符合规则即可． 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 故选：C． 4. 在办公软件中有很多种字体，下面四个选项中的黑体汉字，可以看做是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，只有选项B符合． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是理解并掌握轴对称图形的定义． 5. 如下是某地区2022年12月12～21日每天最高气温的统计表： 日期 12月12日 12月13日 12月14日 12月15日 12月16日 最高气温 日期 12月17日 12月18日 12月19日 12月20日 12月21日 最高气温 在这天中，最高气温为出现的频率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，用最高气温为的天数除以总数10，即可求解． 【详解】解：依题意，最高气温为出现的频率是， 故选：D． 【点睛】本题考查了求频率，掌握频率等于频数除以总数是解题的关键． 6. 现有以下命题： ①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等； ②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等； ③通常温度降到以下，纯净的水会结冰是随机事件； ④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 其中真命题的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定，平移的性质，随机事件的概念，角和垂线的有关性质，平行公理进行判断即可得到结论． 【详解】解：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，故该命题是真命题； ②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等或在同一直线上，故原命题是假命题； ③通常温度降到以下，纯净的水会结冰是必然事件，故原命题是假命题； ④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故原命题是假命题； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该命题是真命题； ⑥在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题是假命题， 综上可得：真命题有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质、平移的性质、随机事件、角和垂线的有关性质、平行公理等知识． 7. 如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】过C作轴于M，轴于N，推出证，推出，求出，代入求出即可． 【详解】解：过C作轴于M，轴于N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 故选:A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM=BN和推出． 8. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆上，点Q是的中点，且长的最大值为1.5，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定长的最大时点P的位置，当所在的直线过圆心C，且圆心C在线段上时，最长，设，则，，根据勾股定理计算t的值，可得k的值． 【详解】解：连接， 由对称性得：， ∵Q是的中点， ∴， ∵长的最大值为， ∴长的最大值为， 如图，当所在的直线过圆心C，且圆心C在线段上时，最长，过B作轴于D， ∵， ∴， ∵B在直线上， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得（舍）或， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用中位线的性质和圆的性质确定出点P的位置． 第II卷（非选择题） 二、填空题 9. 的值等于______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：的值等于6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟记定义是解题的关键． 10. 如图，的方向是北偏西15°，若，则的方向是______． 【答案】北偏东 【解析】 【分析】根据方位角的描述求出，进而求出即可得到答案． 【详解】解：∵的方向是北偏西15°， ∴， ∵， ∴， ∴的方向是北偏东， 故答案为：北偏东． 【点睛】本题主要考查了与方位角有关的计算，正确求出是解题的关键． 11. 正五边形每个内角的度数为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为，正五边形每个外角相等，先求出正五边形每个外角的度数，再利用邻补角的性质计算得到每个内角的度数． 【详解】正五边形的每个外角都相等，任意多边形的外角和为， 正五边形每个外角的度数为． 多边形的内角与相邻外角互为邻补角， 正五边形每个内角的度数为． 12. 分解因式：_________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征． 根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 13. 若，则代数式的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】将代入代数式求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是注意整体代入思想的应用． 14. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式与分式有意义的条件判断即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题关键． 15. 一个圆锥形零件，底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．根据圆锥的侧面积底面周长母线长计算即可． 【详解】解：底面半径为，母线长为， 侧面积 ， 故答案为：． 16. 如图，正方体的棱长为3 cm，已知点B与点C间的距离为1 cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】要求正方体中两点之间的最短距离，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：按照正面和右面展开，如下： ∴，， ∴； 按照正面和下面展开，如下： ∴，， ∴， 按照上面和右面展开，如下： ∴，， ∴， ∵， ∴需要爬行的最短距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平面展开—最短路线问题，涉及到勾股定理，将正方体侧面展开，利用两点之间线段最短是解题的关键． 17. 如图，在轴上有点，，过点作轴（使点在第二象限），且，连接当一次函数的图象与有公共点时，的取值范围为______ 【答案】． 【解析】 【分析】先求得A的坐标，然后把A、B的坐标分别代入一次函数，求得相应的b的值，即可求得符合题意的b的取值范围． 【详解】解∶由题意可知， 把代入得，，解得； 把代入得，，解得； 当一次函数的图像与有公共点时，的取值范围为， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了一次函数图象和系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 18. 如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点M作，垂足为P，连接，由旋转的性质得到，，，根据正方形的性质求出，证明，得到，，利用勾股定理求出，根据即可求出的最小值． 【详解】解：过点M作，垂足为P，连接， 由旋转可得：，，， 在正方形中，，E为中点， ∴， ∵， ∴，又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵C，M位置固定， ∴，即， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，两点之间线段最短，知识点较多，解题的关键是构造全等三角形，求出的长，得到． 三、解答题 19. 解方程（组）： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组； （2）通过移项、因式分解将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解． 【小问1详解】 解：， 可得， 解得代入， 解得， 则方程组的解为． 【小问2详解】 解：， ， ， 则或， 解得，． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别解出两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集； （2）先去分母将分式方程转化为一元一次整式方程，求解整式方程后检验，得到原分式方程的解． 【小问1详解】 解：， 解不等式，可得， 解不等式， ， ， 解得， 不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘得，， ， ， 解得， 当时，， 原分式方程的解为． 21. 小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学进行了6次测试，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）分别求小聪、小明的平均成绩； （2）求小聪成绩的方差； （3）现求得小明成绩的方差为，根据折线统计图及上述计算结果，请说明哪位同学更适合参加学校竞赛？ 【答案】（1）小聪、小明的平均成绩均为8分 （2） （3）小聪 【解析】 【分析】（1）分别将小聪和小明6次测验成绩相加，再除以6，即可求解； （2）根据方差的定义：方差等于各个数据与平均数的差的平方的平均数，即可求解； （3）分别比较两人成绩的平均数和方差，根据方差越小越稳定，即可作出决策． 【小问1详解】 解：． ． 所以，小聪、小明的平均成绩均为8分． 【小问2详解】 ． 所以，小聪成绩的方差为． 【小问3详解】 从平均数看，两人的平均水平一样；从方差看，小聪的成绩比较稳定．所以，小聪更适合参加学校竞赛． 【点睛】本题主要考查了求平均数和方差，以及根据方差作决策，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义，以及方差越小越稳定． 22. 近年来，国家林草局全面开展古树名木资源普查，第二次全国古树名木资源普查结果显示，目前我国普查范围内共有古树名木万株，其中5000年以上的古树有5株，这5株古树均在陕西省，分别是渭南市的仓颉手植柏，延安市的黄帝手植柏、保生柏、老君柏，商洛市的页山大古柏．为提高学生保护古树名木的意识和热情，某校举行以“保护古树名木，共享绿水青山”为主题的摄影活动．小南从自己的摄影作品中选取了五张照片，这五张照片背面完全相同，正面分别是五棵古树，将照片背面朝上洗匀． （1）从五张照片中随机抽取一张，抽到“黄帝手植柏”的概率是______； （2）活动规定每人可上交两张照片，小南对这五张照片都很满意，他同时从这五张照片中随机抽取两张参加该活动，请用树状图或列表法求小南抽到的两张照片上的古树均在延安市的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：从五张照片中随机抽取一张，抽到“黄帝手植柏”的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 将黄帝手植柏、保生柏、老君柏、仓颉手植柏、页山大古柏分别记为、、、、，列表如下： 由表可得共有种等可能的结果，其中满足题意的结果有种， ∴小南抽到的两张照片上的古树均在延安市的概率． 【点睛】本题考查了公式法求概率，列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键． 23. 盲盒顾名思义就是盒子中放置不同的物品，消费者凭运气抽中商品，正是这种随机化的体验，让消费者产生消费欲望，成为当下最热门的营销方法之一．某葡萄酒酒庄为回馈新老客户，也推出了盲盒式营销．商家计划在每件盲盒中放入A，B两种类型的酒．销售人员先包装了甲、乙两种盲盒．甲盲盒中装了A种酒4瓶，B种酒4瓶；乙盲盒中装了A种酒2瓶，B种酒5瓶；经过测算，甲盲盒的成本价为每件280元，乙盲盒的成本价为每件200元．请计算A种酒和B种酒的成本价为每瓶多少元？ 【答案】A种酒的成本价为每瓶50元，B种酒的成本价为每瓶20元． 【解析】 【分析】设A种酒的成本价为每瓶x元，B种酒的成本价为每瓶y元，由题意：甲盲盒中装了A种酒4瓶，B种酒4瓶；乙盲盒中装了A种酒2瓶，B种酒5瓶；经过测算，甲盲盒的成本价为每件280元，乙盲盒的成本价为每件200元．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设A种酒的成本价为每瓶x元，B种酒的成本价为每瓶y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种酒的成本价为每瓶50元，B种酒的成本价为每瓶20元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径． （1）由，得到，再由，得到，进而得到，再根据同位角相等两直线平行可得与平行，又由垂直于，得到与也垂直，可得为圆的切线； （2）连接，由为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得，即与垂直，又，根据三线合一得到为中点，由求出的长，再由的长，利用勾股定理求出的长，三角形的面积有两种求法，乘以除以2，或乘以除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出的长． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ∵为圆的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 为的直径， ， 又，且， ， 在中，，，根据勾股定理得：， 又∵， ∴， ． 25. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，， （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高． 【答案】（1）屋顶到横梁的距离为 （2）房屋的高为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． （1）根据题意得出，，解即可得出答案； （2）过点作于点，设，得出，，得出，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， 该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形， ，， ， 答：屋顶到横梁的距离为． 【小问2详解】 解：过点作于点， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ，， 解得：， ， 答：房屋的高为． 26. 在中，，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，. （1）观察猜想 如图①，当时，的值是_______，直线与直线相交所成的较小角的度数是________． （2）类比探究 如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由． 【答案】（1）1，； （2），，理由见解析 【解析】 【分析】(1)首先根据等边三角形的判定与性质及旋转的性质，即可证得，如图①中，设直线与直线交于点I，再利用全等三角形的性质及角的关系，即可求得结果； (2)首先根据等腰直角三角形的性质，可证得 ，可证得，即可证得，如图②中，设直线交于G，交于点H，再利用相似三角形的性质及角的关系，即可求得结果． 【小问1详解】 解：，，，， 与都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ，， ； 设与的延长线交于点I，如图①， ， ∴直线与直线相交所成的较小角的度数为； 【小问2详解】 解：，直线与直线相交所成的较小角的度数为， 理由如下： ，， ，， 同理可得：，， ， . ， 即， ， ，， 设交于点G，交于点H，如图②， ， ， ∴直线与直线相交所成的较小角的度数为． 【点睛】本题考查的是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题． 27. 如图1，抛物线与x轴相交于原点O和点A，直线与抛物线在第一象限的交点为B点，抛物线的顶点为C点． （1）求点B和点C的坐标； （2）抛物线上是否存在点D，使得？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点G．设和的面积分别为和，求的最大值． 【答案】（1），； （2）存在，当点的坐标为或时，使得； （3）的最大值为． 【解析】 【分析】（1）令，求出的值即可得出点的坐标，将函数化作顶点式可得出点的坐标； （2）分点在直线下方、上方两种情况，分别求解即可； （3）如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，则，，设，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论． 【小问1详解】 解：令， 解得或， ∴， ∵， ∴顶点； 【小问2详解】 设直线的解析式为：，则将，代入可得： ，解得：，即：直线的解析式为：， 当点在直线的下方时，过点作轴，交轴于点，延长，交于， ∵ ∴，即，， ∵ ∴ ∴， ∴ 当时，，得：，∴ 则， ∴， 易知直线的解析式为：， 联立：，解得：或 即； 当点在直线的上方时， ∵， ∴ ∵直线的解析式为：， ∴直线的解析式为： 联立：，解得：或 即； 综上，当点的坐标为或时，使得； 【小问3详解】 ∵点与点关于对称轴对称， ∴， 如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，， ∴，， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和全等三角形的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $