精品解析：广东省惠州市惠阳区博文学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

2022-2023学年广东省惠州市惠阳区博文学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. 2x2+y＝1 B. 9y＝3y﹣1 C. ﹣2x2＝8 D. 2x2＝1 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，以下正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标中，点(3，-2)关于原点的对称点坐标是( ) A. (3，2) B. (3，-2) C. (-3，2) D. (-3，-2) 5. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. 55° B. 70° C. 125° D. 145° 6. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为　　 A. B. C. D. 7. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（　　） A. x1≠x2 B. x1+x2＞0 C. x1•x2＞0 D. x1＜0，x2＜0 9. 新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为( )． A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 10. 已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B．点P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①；②x＝3是的一个根；③周长的最小值是；④抛物线上有两点和，若，且，则，其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共15分） 11. 若关于x的方程的一个根为3，则另一个根为_______． 12. 抛物线的顶点坐标是___________． 13. 若m是方程的一个根，则代数式的值等于_________． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为_______． 15. 如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于x的不等式的解集是______． 三、解答题（共75分，其中16-18题每小题8分，19-21题每小题8分，22-23题每小题8分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图． （1）在图1中，作关于点对称的； （2）在图2中，作绕点顺时针旋转后得到的． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两个不相等的实数根分别为、，且满足，求k的值． 19. 如图，已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 20. 随着天气的逐渐变冷，沃尔玛商场准备对某品牌的服装降价促销，若两次降价的百分率均相同，原价1 000元的服装经过两次降价后现销售价为810元． （1）问每次降价的百分率是多少？ （2）第一次降价金额比第二次降价金额多多少元？ 21. 如图，某公路隧道横截面为抛物线形，其最大高度为6米，底部宽度为12米，现以点O为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）若要搭建一个由矩形的三条边组成的“支撑架”，使C、D两点在抛物线上，A、B两点在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 22. 已知抛物线经过点、．与x轴的另一个交点为C，点A在线段PQ上，过点A作轴于点B． （1）求抛物线的解析式． （2）求的面积的最大值． （3）以AB为边在其左侧作等腰直角三角形ABD，问点D能否落在抛物线上，若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由． 23. 如图①，在ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF． （1）求证：BDA≌BFE； （2）当CD+DF+FE取得最小值时，求证：ADBF． （3）如图②，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年广东省惠州市惠阳区博文学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. 2x2+y＝1 B. 9y＝3y﹣1 C. ﹣2x2＝8 D. 2x2＝1 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．含有二个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数最高是2的整式方程，叫一元二次方程． 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 3. 用配方法解一元二次方程，以下正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式的特征在方程的两边同时加上11即可. 【详解】解：，即，所以. 故选：B. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，灵活利用完全平方公式是应用配方法解题的关键. 4. 在平面直角坐标中，点(3，-2)关于原点的对称点坐标是( ) A. (3，2) B. (3，-2) C. (-3，2) D. (-3，-2) 【答案】C 【解析】 【详解】关于原点对称的点的坐标特征． 【分析】关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点（3，－2）关于原点对称的点的坐标是（－3，2）．故选C． 5. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. 55° B. 70° C. 125° D. 145° 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵∠B=35°，∠C=90°， ∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°． ∵点C、A、B1在同一条直线上， ∴∠BA B1=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°． ∴旋转角等于125°． 故选：C． 6. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将向左平移1个单位所得直线解析式为：； 再向下平移3个单位为：． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 7. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 8. 已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（　　） A. x1≠x2 B. x1+x2＞0 C. x1•x2＞0 D. x1＜0，x2＜0 【答案】A 【解析】 【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；D、由x1•x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误．综上即可得出结论． 【详解】A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0， ∴x1≠x2，结论A符合题意； B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根， ∴x1+x2=a， ∵a的值不确定， ∴B结论不一定正确，不符合题意； C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根， ∴x1•x2=﹣2，结论C错误，不符合题意； D、∵x1•x2=﹣2， ∴x1＜0，x2＞0，结论D错误，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 9. 新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为( )． A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意得： ∴或（舍去） ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，并运用到实际问题中，即可完成求解． 10. 已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B．点P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①；②x＝3是的一个根；③周长的最小值是；④抛物线上有两点和，若，且，则，其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①根据对称轴方程求得a、b的数量关系； ②根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3； ③利用两点间线段最短来求△PAB周长的最小值； ④根据二次函数图象，当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，根据离对称越远的点的纵坐标就越小得出结论． 【详解】解：①根据图象知，对称轴是直线，则b=-2a，即2a+b=0． 故①正确； ②根据图象知，点A的坐标是（-1，0），对称轴是直线x=1， 则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）， 所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故②正确； ③如图所示，点A关于x=1对称的点是，即抛物线与x轴的另一个交点． 连接与直线x=1的交点即为点P， 则△PAB周长的最小值是的长度． ∵B（0，3），， ∴．而 即△PAB周长的最小值是． 故③正确． ④观察二次函数图象可知： 当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2， 则1-x1＜x2-1， ∴y1＞y2． 故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质以及两点之间线段最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性． 二、填空题（共15分） 11. 若关于x的方程的一个根为3，则另一个根为_______． 【答案】-4 【解析】 【分析】把x=3代入方程求出k=-1，得到关于x的方程为，解方程即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根为， ∴9-3k-12=0， 解得k=-1， ∴关于x的方程为， 解得， ∴另一个根为-4． 故答案为：-4 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和一元二次方程的解法，理解方程的根的定义求出k是解题关键． 12. 抛物线的顶点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 13. 若m是方程的一个根，则代数式的值等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，求得，再整体代入求解代数式的值即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ 即 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，整体代入是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为_______． 【答案】（1，-1） 【解析】 【分析】连接AA′、CC′，作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心． 【详解】解：直线MN的解析式为：x=1， ∵，C'， 所以CC'的中点坐标为，即， 设直线CC′的解析式为：y=kx+b， 由题意：， ∴， ∴直线CC′:， ∵直线EF⊥CC′，且经过CC′中点， 设直线EF的解析式为：， ∴， ∴ ∴直线EF:， 由得， ∴P点坐标为：． 15. 如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线在直线上方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：由图可知，当时，抛物线在直线上方， 因此不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据二次函数与一次函数图象的交点求不等式的解集，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 三、解答题（共75分，其中16-18题每小题8分，19-21题每小题8分，22-23题每小题8分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：， 则或， 解得； 【小问2详解】 解：， 则或， 解得． 17. 如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图． （1）在图1中，作关于点对称的； （2）在图2中，作绕点顺时针旋转后得到的． 【答案】 （1）如图所示，△A1B1C1即为所求． （2）如图所示，△AB2C2即为所求． 【解析】 【分析】（1）结合网格分别作出点A、B、C关于点O的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出点B、C绕点A顺时针旋转90°后得到的对应点，再首尾顺次连接即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查作图—旋转变换和画中心对称图形，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此作出变换后的对应点． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两个不相等的实数根分别为、，且满足，求k的值． 【答案】（1）见解析；（2）或 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，进而可证出：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）证明： ∵ ∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系得：， ∵ ∴即 ∴ 解得：或 【点睛】题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于k的方程． 19. 如图，已知抛物线经过、两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，顶点坐标的求法，坐标系中三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求得解析式． （1）将、两点代入，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）设点，根据三角形面积公式以及，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标． 【小问1详解】 将、两点代入， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 、， ， 设点，则， ， 当时，， 解得，， 此时或； 当时，， 此时方程无解； 综上所述，P点坐标为或． 20. 随着天气的逐渐变冷，沃尔玛商场准备对某品牌的服装降价促销，若两次降价的百分率均相同，原价1 000元的服装经过两次降价后现销售价为810元． （1）问每次降价的百分率是多少？ （2）第一次降价金额比第二次降价金额多多少元？ 【答案】（1）每次降价的百分率是10%；（2）第一次降价金额比第二次降价金额多10元 【解析】 【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据“原价1 000元的服装经过两次降价后现销售价为810元”，列出一元二次方程，即可求解； （2）分别求出第一次降价的金额与第二次降价的金额，相减，即可得到答案． 【详解】（1）设每次降价的百分率为x， 根据题意，得：1000(1－x)2＝810， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(舍去)． 答：每次降价的百分率是10%； （2）1 000×10%－[1 000×(1－10%)－810]＝10（元）． 答：第一次降价金额比第二次降价金额多10元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出一元二次方程，是解题的关键． 21. 如图，某公路隧道横截面为抛物线形，其最大高度为6米，底部宽度为12米，现以点O为原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）若要搭建一个由矩形的三条边组成的“支撑架”，使C、D两点在抛物线上，A、B两点在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 【答案】（1） ；（2）15米 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：抛物线的对称轴为 ，点 ，点 ，可设抛物线的解析式为 ，再将点代入，即可求解； （2）设点 ，则 ， ，，可得到，再利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：抛物线的对称轴为 ，点 ，点 ， ∴设抛物线的解析式为 ， 将点代入，得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为 ，即 ； （2）设点 ，则 ， ，， ∴这个“支撑架”总长为 ， ∵ ， ∴当 时， 有最大值，最大值为15， 即这个“支撑架”总长的最大值是15米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并会利用数形结合思想解答． 22. 已知抛物线经过点、．与x轴的另一个交点为C，点A在线段PQ上，过点A作轴于点B． （1）求抛物线的解析式． （2）求的面积的最大值． （3）以AB为边在其左侧作等腰直角三角形ABD，问点D能否落在抛物线上，若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大面积为 （3）点D的坐标为或（﹣3，0） 【解析】 【分析】（1）把P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c，列方程组求出a、c的值即可； （2）先求出直线PQ的解析式，设点A的横坐标为m，将AB、BC都用含m的代数式表示，再求出S△ABC关于m的函数关系式，根据二次函数的性质求出△ABC面积的最大值； （3）分三种情况讨论，一是∠BAD＝90°，AD＝AB，可以设点D在抛物线上，；二是∠ABD＝90°，AB＝DB，设A（m，﹣2m+6）（1≤m≤3），三是∠ADB＝90°，AD＝BD，作DE⊥AB于点E，设A（m，﹣2m+6）（1≤m≤3），分别求出n或m的值并进行检验，得出点D的坐标． 【小问1详解】 解：把P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c， 得，解得， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：如图1，设直线PQ的解析式为y＝kx+b， 把P（3，0）、Q（1，4）代入y＝kx+b， 得，解得， ∴直线PQ的解析式为y＝﹣2x+6， 设A（m，﹣2m+6）（1≤m≤3），则AB＝﹣2m+6， ∵抛物线与x轴的另一个交点为C， ∴C（﹣3，0）， ∴BC＝m+3， ∴S△ABC＝BC•AB＝（m+3）（﹣2m+6）＝﹣m2+9， ∵当1≤m≤3，S△ABC随m的增大而减小， ∴当m＝1时，S△ABC最大＝﹣12+9＝8， ∴△ABC面积的最大值为8． 【小问3详解】 解：能．理由如下： 如图2，∠BAD＝90°，AD＝AB， 设点D在抛物线上，D（n，）， 对于直线PQ：y＝﹣2x+6，当y＝时，则﹣2x+6＝， ∴， ∴ ∴， 解得（不符合题意，舍去）， ∴； 如图3，∠ABD＝90°，AB＝DB， 设A（m，﹣2m+6）（1≤m≤3）， 则B（m，0），D（3m﹣6，0）， 当点D在抛物线上时，则， 解得m1＝1，m2＝3（不符合题意，舍去）， D（﹣3，0）； 如图4，∠ADB＝90°，AD＝BD，作DE⊥AB于点E， 则DE＝AE＝BE＝AB， 设A（m，﹣2m+6）（1≤m≤3）， 则E（m，﹣m+3），D（2m﹣3，﹣m+3）， 若点D在抛物线上，则， 解得（不符合题意，舍去），m2＝3（不符合题意，舍去）， 综上所述，点D的坐标为或（﹣3，0）． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、等腰直角三角形的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题． 23. 如图①，在ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF． （1）求证：BDA≌BFE； （2）当CD+DF+FE取得最小值时，求证：ADBF． （3）如图②，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴与为等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴； （2） 证明：∵两点之间，线段最短， ∴C、D、F、E共线时最小， 如图所示： ∵，， ∴为等边三角形， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∠MPN的值为定值，30°． 【解析】 【分析】（1）由旋转性质知，，，，根据角之间的数量关系可得：，得出与为等边三角形，利用全等三角形的判定定理即可证明； （2）由两点之间，线段最短知C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，根据等边三角形的判定可得为等边三角形，得出，，利用（1）中结论可得，求出，得出，利用平行线的判定即可证明； （3）连接MN，由中位线定理可得且，根据等边三角形的判定可得为等边三角形，设，，得出，，结合图形，利用各角之间的数量关系可得，根据全等三角形的性质及中位线的性质可得，利用等边对等角即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的大小是为定值，理由如下： 如图，连接MN， ∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点， ∴且 ∵且， ∴为等边三角形， 设，， 则，， ∴， ， ∴， ∵，且PN、MN为与的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴的值为定值，． 【点睛】本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $