精品解析：新疆阿克苏市实验中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

阿克苏市实验中学 2023—2024 学年第二学期高一年级期末考试 数学试卷 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 2. 如果点 在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体中棱柱的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是（ ） A. 至少一次中靶 B. 两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都没有中靶 5. 已知点，，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线平面 ， 直线平面，有下面四个命题：① ；②；③； ④.其中正确的两个命题是（ ） A. ①与② B. ①与③ C. ②与④ D. ③与④ 7. 如图，在正方体中，M，N分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ） A. B. C. D. 8. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分） 9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 10. 已知某班10名男生引体向上的测试成绩统计如下表所示， 成绩 10 9 8 7 人数 1 4 3 2 则下列说法正确的有（ ） A. 这10名男生引体向上测试成绩的平均数为7.4 B. 这10名男生引体向上的测试成绩没有众数 C. 这10名男生引体向上测试成绩的中位数8.5 D. 这10名男生引体向上测试成绩的20百分位数为7.5 11. 已知事件A，B发生的概率分别为，则（ ） A. 若A，B互斥，则A，B至多有一个发生的概率为 B. 若A，B互斥， 则A，B至少有一个发生的概率为 C. 若A，B相互独立， 则A，B至多有一个发生的概率为 D. 若A，B相互独立， 则A，B至少有一个发生的概率为 12. 已知三个内角的对边分别是，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为钝角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为锐角三角形 三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上） 13. 设是虚数单位， ，且，则＝___________. 14. 在中，若，，，则角的大小为__________ 15. 如图，矩形中，，E是的中点，则_________． 16. 一个圆台的上､下底面面积分别是和，一个平行底面的截面面积为，这个截面与上､下底面的距离之比是____. 四、解答题（本大题共 6 个大题，共 70 分，第 17 题 10 分，其余各题每题 12 分，解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知平面向量，满足，，其中. （1）若∥，求； （2）若，求与夹角的余弦值. 18. 在中，. （1）求角 ； （2）若，的面积为 ，求. 19. 一个盒子中装有 6 支圆珠笔，其中 3 支一等品，2 支二等品和 1 支三等品.若从中任取 2 支，那么下列事件 的概率各是多少? （1）“恰有 1 支一等品 ” ； （2）“没有三等品 ”. 20. 已知是非零向量，且，. （1）证明：； （2）若，求实数 . 21. 如图，直三棱柱 中，，为的中点. （1）求证：平面 ； （2）求 到平面 的距离. 22. 2023 年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地 120 家中小 微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图 ： （1）确定 的值，并估计这 120 家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数） ； （2）按专项贷款金额进行分层抽样，从这 120 家中小微企业中随机抽取 20 家，记专项贷款金额在 内应抽取的中小微企业数为. ①求的值 ； ②从这家中小微企业中随机抽取 3 家，求这 3 家中小微企业的专项贷款金额都在内的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 阿克苏市实验中学2023一2024学年第二学期高一年级期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共0分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.若复数z=3-2i,则复数2的虚部为() A.-2i B.2i C.-2 D.2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的概念判断即可 【详解】由复数的概念可知，复数z=3-2i的虚部为一2. 故选：C 2.如果点A在直线a上，而直线a又在平面内，那么可以记作() A.Acaca B.ACaea cA∈a∈a D A∈ac 【答案】D 【解析】 【分析】根据点线、线面的位置关系，应用数学符号表示它们的关系即可，注意点属于或不属于线、面， 线包含于或不包含于面： 【详解】由点A在直线a上，即A∈a: 由直线a在平面内，即aCa. 所以A∈aca. 故选：D 3.如图所示的几何体中棱柱的个数为() 第1页/共21页 6学科网 命组卷网 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱柱的三个特征：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形：③侧棱互相平行，判断即 可 【详解】解：棱柱有三个特征：①有两个面互相平行：②其余各面都是四边形；③侧棱互相平行， 本题所给几何体中②⑤不符合棱柱的三个特征，而①③④符合，所以几何体中棱柱的个数为3个. 故选：C 4.某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是() A.至少一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都没有中靶 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用对立事件的定义判断即可 【详解】由己知条件得 ,事件“至多一次中靶”包含事件两次都未中靶和两次只有一次中靶， ∴.事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”， 故选：B 5已知点4很-2刘，B(-5,-),且4-号46 ,则点P的坐标为() （别 B.（-8,) D.(8,-1) 【答案】A 第2页/共21页 学科网组卷网 【解析】 【分析】设点P的坐标为：），根据平面向量的坐标运算可得出关于x、y的方程组，解出这两个未知 数的值，即可得出点P的坐标 【】点1-2列、8(5)，且-孤 设点P的坐标为八.则-3y+2)(-8)-（4 所以，x-3=4,y+2= 2,求得x=-1,y≈、3 故选：A. 1平面“，直线mC平面，有下面四个命题： a11B→1⊥m。ax⊥B-→111m 6.已知直线 ② 11m-→a⊥B 1⊥m→a/1B ③ ④ 其中正确的两个命题是() A.①与② B.①与③ C.②与④ D.③与④ 【答案】B 【解析】 【分析】由线面、面面垂直的判定与性质判断即可。 【详解】对于0，因为直线平面“，平面a/平面B, 所以直线 平面B, 因为直线mC平面， 所以直线1上直线m,故①正确： 对于②.如图所示，正方体1BCD-4BCD中， 平面AABBL平面4B,GD,直线BG'平面MBB 第3页/共21页 6学科网命组卷网 直线4GC平面4，GD,但直线4G∩直线BG= ，故②错误： 对于③，因为l⊥a,111m, 所以m⊥a, mCB 又因为 ⊥B 所以 故③正确： 对于D,如图所示，正方 ABCD-ABCD中， AC⊥平面B,DD,AC⊥CG,CGC平面BBCC 但平 BB,DD与平 BB,CC相交，故④错误 故选：B. D B A D B C 7.如图，在正方体 BCD-ABCD中，M,N分别为检BC和按C的中点，别异面直线4C和N所 成的角为 ( D B D B 第4页/共21页 6学科网 命组卷网 30° B.45o c60 90° D 【答案】C 【解析】 【分析】先由平行关系找到∠AGB 异面直线AC和MN所成的角，再利用正方体的性质求出角度即可. A B 【详解】 D 因为M,N分别为棱BC和 CG的中点， MN//BC 所以 又在正方 ABCD-ABCD中， ACIIAC 所以∠AGB 或其补角为异面直线AC和MNW所成的角， 又在正方体 BCD-ABCD中，△4GB为正三角形， 所以∠4CB=60 ，即异面直线AC和MW所成的角为60°， 故选：C &.在正方形MBCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则MF=() +而 A.4 B.4 c.41 B+4D D.21 【答案】C 【解析】 第5页/共21页 命学科网命组卷网 【分析】根据图形结合向量的线性运算求解. 【详解】因为E为AB的中点，F为CE的中点， 所亦-+C）6+6+0-+0 故选：C. D E 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是( A.圆柱的侧面积为 2πR2 B.圆锥的侧面积为 πR2 C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2 【答案】CD 【解析】 第6页/共21页 6学科网命组卷网 【分析】根据题意，结合圆柱、圆锥和球的表面积和体积公式，逐项判定，即可求解· 【详解】对于A中，圆柱的侧面积 2元R×2R=4机R,所以A错误： 对于B中，圆锥的母线为V(2R)+R2=V5R,圆锥的侧面积为√5R×πR=√5πR2,所以B错误： 4πR 对于C中，球的表面积为 ,所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C正确： 1 2 对于D中，圆柱的体积Y=πR×2R=2R,圆锥的体积 2=2×πR2×2R=2πR3 3 3 4 球的体积 = πR3 3 33.4 2mR πR3=3:1:2 ，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为 ,故D正确 故选：CD. 10.已知某班10名男生引体向上的测试成绩统计如下表所示， 成绩 10 9 8 7 人数 1 4 3 2 则下列说法正确的有( A.这10名男生引体向上测试成绩的平均数为7.4 B.这10名男生引体向上的测试成绩没有众数 C.这10名男生引体向上测试成绩的中位数8.5 D.这10名男生引体向上测试成绩的20百分位数为7.5 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A,利用平均数的公式直接求解即可：对于B,利用众数的定义求解；对于C,利用中位数 的定义求解；对于D,利用百分位数的定义求解 1 (10+4×9+3×8+2×7)=9.7 【详解】解：对于A,10名男生引体向上测试成绩的平均数为10 ,所以A 错误， 对于B,这10名男生引体向上的测试成绩的众数为9，所以B错误， 第7页/共21页 6学科网6组卷网 对于C,这10名男生引体向上测试成绩的中位数为2 9+8=8.5,所以C正确， 7+8=1.5 对于D,这10名男生引体向上测试成绩的20百分位数为2 ,所以D正确， 故选：CD 11 11.己知事件A,B发生的概率分别为3’2，则() A.若A,B互斥，则A,B至多有一个发生的概率为6 5 B.若A,B互斥，则A,B至少有一个发生的概率为6 1 C.若A,B相互独立，则A,B至多有一个发生的概率为6 2 D.若A,B相互独立，则A,B至少有一个发生的概率为3 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式，结合事件的运算逐项分析计算作答. 【详解】依题意， rW-P-克 3 对于A,P(AB)=0 ,则A,B至多有一个发生的概率为 -P4B)=1,A错误 对于B,P(AB)=0,则A,B至少有一个发生的概率 PM+B)=P+P(B)=+= 326,B正确： 对于C.PB=P0P®)号×3-名.4，B至多有一个发生的概汤 为1-P(AB)=S 6,C错误： 第8页/共21页 6学科网命组卷网 对于D, P(AB)=P(A)P(B)=1x1-1 236,则A,B至少有一个发生的概率 PA+B)=P0+PB)-PAB)=3十263，D正确 1,112 故选：BD 12已知△MBC三个内角 A,B,C a,b,c 的对边分别是 则下列说法正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若AB:CA>0,则△ABC为钝角三角形 C.若△ABC为锐角三角形，则sinA>CosB D.若sinA:sinB:sinC=2:3:4,则△ABC为锐角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A:结合大角对大边及正弦定理即可求解：对于B:由向量夹角公式即可判断；对于C:由 锐角三角形内角的性质与诱导公式即可求解；对于D:由余弦定理变形式即可求解. 【详解】对于A:由大角对大边及正弦定理可知： A>B→a>b→sinA>sinB ,故A正确； 对于B:因为B.CA>0,所以AB:AC<0, 所以A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故B正确： A+B>→C>A>π-B>0 对于C:因为△ABC为锐角三角形，所 2 2 2 所以sinA>sin 故C正确： 第9页/共21页 命学科网 组卷网 对于D:因为sinA:sinB:sinC=2:3:4,由正弦定理得： a:h:c=2:3:4,设0=2k→h=3张，c=46 由余弦定理变形式得：c0sC=口+-c_42+9k2-162.1 2ab 2×2k×3k =-<0 4 所以C为钝角，故D错误。 故选：ABC 三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13.设i是虚数单位，xeR,且x+2i=-(1-i,则x+2 【答案】2 【解析】 【分析】由+2i=-1-=21得x=0,然后按复数模计算即可： 【详解】由题意，x+2i=-(1-2=2i 所以x=0 x+2iH2i=2 所以 故答案为：2。 14在△ABC中，若A=60,BC=45,AC=42,则角B的大小为 2 【答案】45°拼4. 【解析】 【分析】在△ABC中，利用正弦定理即可求解。 【详解】在△ABC中，A=60°，BC=4V3,AC=4V2 第10页/供21页 6学科网命组卷网 AC BC 42 43 由正弦定理可得sinB sinA即sin B sin60°， 所以sinB=4v2.sin60°4V2xV3 4W3 4V32 因为AC<BC,所以B<A, 因为0<B<180,所以B=45, 45° 故答案为： 15如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=V5,B是CD的中点，则E-DC= 【答案】2 【解析】 【分析】把征，DC都用AB,AD表示，再根据数量积的运算律即可得解 AE=AD+DE=AD+AB 【详解】 DC=AB, 则正-c-(0+号=0-+号-0+分4=2 故答案为：2. 16一个圆台的上、下底面面积分别是1cm和49c。一个平行底面的酸面面积为2。这个我首与上 下底面的距离之比是一 【答案】1：2 第11页/共21页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】求得上下底面和截面的半径比，由此求得截面与上、下底面的距离的比值： 2 【详解】圆的面积公式为”， 上下底面、截面都为圆形， 设上底面半径为”，下底面半径为卢，截面半径为。 则1%5=1：v9:V49=1:3:7 设截面与上底面的距离为么，与下底面的距离为 h 将圆台的轴截面补形为三角形， 则么+6=6h,片=2h 所以名=4h h=2h_1 所以h4h2 故答案为：1：2 W ro h 四、解答题（本大题共6个大题，共70分，第17题10分，其余各题每题12分，解答 应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 第12页/共21页 6学科网命组卷网 17.已知平面向量a,方满足a+b=(-3,6),a-b=(m,-2),其中meR (4)若an6,求a-: (2)若m=5,求a与b夹角的余弦值 V10 【答案】(1)√5；(2)10· 【解析】 【分析】(1)先求出a,b,再根据向量平行的坐标运算解出m,进而根据平面向量模的运算求出答案； (2)先求出ab,|ab,进而根据平面向量夹角公式即可解得。 【016白+6=36.。石-a2.-（22.石-(0主4 解得m=1 所以a-6=(山，-2)，1a-6VP+(-2y=5 (2)当m=5时，a=(1,2),b=(-4,4),则-b=1×(-4)+2×4=4, 1a=V12+(-2}2=5,1b=V(-4)}2+42=42 cos0--ai 4 10 设。与方的夹角为g则 1a65x4210. 10 所以a与b夹角的余弦值为10 18.在△ABC中，ac0sB+bc0sA=2 ccos C 第13页/供21页 6学科网 组卷网 (1)求角C: (2)若b=6,△ABC的面积为6，求C. 【答案】(1)3. 2 (2)3V93-185 【解析】 【分析】(l)由正弦定理化简acos B+bcos A=2 ccos C,得到cosC,即可求得C的大小； 1 43 (2)根据SaMc=2 absinC=6得ab=85,由b=6得a= 3，然后由余弦定理即可求解。 【小问1详解】 因为a cos B+bcosA=2 ccos C. 所以由正弦定理得sin Acos B+sin B cos A=2 sin CcosC, 则sinC=2 sin Ccos C, ,C∈(0，)。 因为 ,则sinC≠0 osC=1 所以 Cπ 故3 【小问2详解】 Csπ 由(1)得3， 第14页/供21页 6学科网命组卷网 因 S△MBc=万absin C=6 2 所以ab=8vV3 4v3 又因为b=6,所以a= 3 百余定理附0士b2 abcosC-+36-289x6x1248B24-24N3 3 23 3 所以=V93-183 19.一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品若从中任取2支，那么 下列事件的概率各是多少？ (1)A=“恰有1支一等品”； (2)B=“没有三等品” 3 【答案】(1)5 2 (2)3 【解析】 n(2)=15 【分析】(1)列举出6支圆珠笔任取2支试验包含的所有样本点，得 然后写出事件A包含的 样本点，得(4=9 最后利用古典概型的概率公式即可求解； (2)写出事件B包含的样本点，得 n(B)=10 然后利用古典概型的概率公式即可求解； 【小问1详解】 用4,4,4表示3支一等品，用A,6表示2支二等品，用°表示三等品， 所以从6支圆珠笔中任取2支的样本空间为： 第15页/供21页 6学科网6组卷网 2={(a,a2),(a,4),(a,b),(a,b2),(a,C,(a2,a),(a2,b),(a2,b2),(a2,C,(a,b) (a,b),a,c,,(,c,6,e》,共15个样本点， 即2)=15 事件A=a,b,(a,b(a,c(a,Ab(a,bb(a,c,(a,b,(a,b,(a,c9》 (A)=9 共9个样本点，即 P(A)=n(493 所 n(②)155. 【小问2详解】 ={(a,a2),(a,43),(a,b),(a,b2),(a2,a3),(a2,b),(a2,b2),(a3,b)(a3,b2),(b,b2)} 事件 n(B)=10 共10个样本点，即 所以P)=nA-102 n(2)153 20已知a,6是非零向量，且同=v56,(a,6)=石 c4)证明：a-=6 (2)若(a+6)1(a-b),求实数元. 【答案】(1)证明如下： 由意，1a-6a-2ab41-36-2x516f×516f=6印61 9 (2)1=5 【解析】 第16页/供21页 命学科网组卷网 【分】（山由la-1平方并结合同a6= 即可证明： (2)由a+1a-得(a+-(a-而=0 根据数量积的运算律计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为a+b1(G-而 所以(a+b(a-而=0 即la+0-)a-6-6=0 则36r0-2x516r×5-a5-0, =9 解得5 21.如图，直三楼柱1BC-4BG中，MB=BC=CM=2,4M=2N为AB的中点 (1)求证： AC 1 NBC 平面 NBC (2)求A到平面 的距离 【答案】(1)证明如下： 第17页/供21页 命学科网命组卷网 BC交BC于点O,连接NO, 连接 在直三棱柱 ABC-AB,C中，四边 BCCB为平行四边形， 则点0 BC的中点， 又因为N为AB的中点， NOIIAC 所以 又NOc平面B,C,AG￠平面NB,C, 故4G∥平面NB,C 25 (2)5· 【解析】 OIIAC 【分析】(1)连 BG交B,C于点0，连接N0,利用中位线定理证明 ,由线面平行的判定 定理证明即可； (2)设点A到平面 NBC 的距离为，利用等体积法 4NMC=VA-c,结合锥体的体积公式求解即可： 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点A到平面NBC的距离为4， 在直三楼柱MBC-AB,G中，BL平面ABC, 则B弧为三楼锥 B-ANC 的高， 4e写Se照 第18页/供21页 命学科网命组卷网 AB=BC=CA=2,A4=2 又因为 所以NB=VNB2+BB=V+4=V5 CN=3,CB=BC2+BB2 =22 所以CN2+NR=CCN⊥NB km号xa赐52-9 3， sed=·C-W8d=y5 即'48c= 32 6 由VB-C=VA8c解得A5 5· 2W5 所以点A到平面NBC的距离为5· C 22.2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地120家 中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图： 频 组距 0.006-- 0.003 0.002 0.001- 050100150200250300专项贷款金额/万元 (1)确定a的值，并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数）： 第19页/共21页 命学科网列组卷网 (2)按专项贷款金额进行分层抽样，从这120家中小微企业中随机抽取20家，记专项贷款金额在 [200,300] 内应抽取的中小微企业数为m. ①求m的值； ②从这m家中小微企业中随机抽取3家，求这3家中小微企业的专项贷款金额都在 200,250) 内的概率。 【答案】(1)a=0.004,中位数158 2 (2)①5，②5 【解析】 [150,200) 【分析】(1)根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为'即可计算“，设中位数为‘，则'在 (t-150)×0.006=0.5-0.45 内，由 即可计算； [200,250) (2)①计算120家专项贷款金额在 内的中小微企业的企业数，根据抽样比计算m；②根据频率 [200,250),,[250,300) 比，计算专项贷款金额在 内和在 内的企业数，然后根据古典概型计算概率即可： 【小问1详解】 根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为1得 (0.002+0.003+a+0.006+a+0.001)×50=1 解得a=0.004 [0,150) 0.45 设中位数为，则专项贷款金额在 ’内的评率为 在0200 0.75 内的评率为 ,t,[150,200) 所以在 内， 第20页/供21页 6学科网6组卷网 (t-150)×0.006=0.5-0.45 解得1≈158 所以估计120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为158万元 【小问2详解】 201 ①由题意，抽样比为1206， [200,250) 20×50×(0.004+0.001)=30 专项贷款金额在 内的中小微企业共有 家， 30×-=5 所以应该抽取6家，即m=5. [200,250)，,[250,300) ②专项贷款金额在 内和在 内的频率之比为4：1 故在抽取的5家中小微企业中， 4 专项贷款金额在20,250)内的有5×亏4家，分别记为4，B,CD, 5× 1 5×-=1 专项贷款金额在250,300)内的有5家，记为E, 从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为 ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE 共10种， [200,250) 其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在 内的情况有 ABC,ABD,ACD,BCD 共4种， 42 P=- 所以所求概率为105. 第21页/供21页