精品解析：上海市莘庄中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

莘庄中学2023学年第二学期高一年级数学期末 2024.06 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的最小正周期为____________. 2. 直线的倾斜角为_____________________ 3. 已知复数满足（是虚数单位），则________ 4. 已知，，，若向量与垂直（为坐标原点），则实数的值为________ 5. 若是方程的一个根，则______. 6. 若直线与直线平行，则实数______． 7. 若，则的值为______． 8. 平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基．若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为．设，，则______． 9. 求与直线的夹角为，且经过点的直线的直线方程可以是________. 10. 已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是______. 11. 已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为__________. 12. 已知复数，，为虚数单位，若，复数，对应的向量分别为，，存在使得等式成立，则实数的取值范围为_________． 二．选择题（本大题共4题，13、14题4分，15、16题5分，共18分） 13. 已知函数的图象关轴对称，则实数的取值可能是 A. B. C. D. 14. 点关于直线的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 15. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（ ） A. B. C. D. 16. 已知向量，满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）． ①若，则的最小值为； ②若，则存在唯一的y，使得； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三．解答题（本大题共5题，共78分） 17. 已知复数，且为纯虚数. （1）求实数的值； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 18. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，面积为2，求． 19. 如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为2km、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上. （1）求码头点的坐标； （2）海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标. 20. 已知函数（，，）的图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. （1）求函数的单调减区间； （2）求函数的最小值； （3）若函数在内恰有6个零点，求的值. 21. 在梯形中，，分别为直线上的动点. （1）当为线段上的中点，试用和来表示； （2）若，求； （3）若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莘庄中学2023学年第二学期高一年级数学期末 2024.06 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的最小正周期为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用的最小正周期为，即可得出结论． 【详解】解：函数的最小正周期为：. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，利用了的最小正周期为，属于容易题． 2. 直线的倾斜角为_____________________ 【答案】 【解析】 【详解】根据题意,由于直线为y=x-1,即可知斜率为1，借助于特殊角的正切值为1可知，其倾斜角为，故答案为 3. 已知复数满足（是虚数单位），则________ 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法运算可得，从而可求解. 【详解】由题意可得，所以. 故答案为：. 4. 已知，，，若向量与垂直（为坐标原点），则实数的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】 先求得的坐标，再根据向量与垂直，由求解. 【详解】因为，，， 所以向量， 因为向量与垂直， 所以，即， 解得， 故答案为： 5. 若是方程的一个根，则______. 【答案】13 【解析】 【分析】由实系数的一元二次方程根成对原理，得到方程的另一个根，结合复数的乘法运算，即可求解. 【详解】由题意，复数是方程的一个根， 可得复数是方程的另一个根， 则. 故答案为：. 6. 若直线与直线平行，则实数______． 【答案】2 【解析】 【分析】 由求得，然后检验是否平行即可得． 【详解】由题意，解得， 时，两直线方程分别为：和，平行． 故答案为：2 7. 若，则的值为______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据已知条件利用诱导公式和公式化简得到，两边平方结合正弦的二倍角公式即可. 【详解】由， 所以， 即， 所以， 即， 故答案为：. 8. 平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基．若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为．设，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由，，再结合平面向量的数量积公式得解； 【详解】由已知，有，， . 故答案为：1. 9. 求与直线的夹角为，且经过点的直线的直线方程可以是________. 【答案】或 【解析】 【分析】讨论当直线的斜率不存在，检验满足题意；当直线的斜率存在，设为，由两直线的夹角公式，解方程可得，再由直线的点斜式方程可得所求方程. 【详解】直线的斜率为，可得倾斜角为， 当直线的斜率不存在，即倾斜角为时，满足题意， 直线的方程为； 当直线的斜率存在，设为，由题意可得， 解得：，可得直线的方程为， 即为. 故答案为：或. 【点睛】易错点睛：本题易忽略斜率不存在的情况，可以先画出直线，以便于判断的情况. 10. 已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的平方式以及函数性质，求得动点轨迹，结合题意，作图，利用图形的组成，可得答案. 【详解】由，则，即，， 由，则如图： 点在劣弧上，即线段扫过的部分为图中的阴影部分，设其面积为， 易知，，在四边形中对角线， 则四边形的面积， 在中，，解得， 扇形的面积， 故. 故答案为：. 11. 已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，先求出，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，根据求出点的轨迹，进而可得出答案. 【详解】如图，设， 因为， 所以，故， 如图，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设， 由，得， 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 表示两点间的距离， 所以的最大值为. 故答案为：. 12. 已知复数，，为虚数单位，若，复数，对应的向量分别为，，存在使得等式成立，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题得出，，化简，得出，要使成立，即使成立，求出的范围，即可求出的范围. 【详解】由题知，，， ， ，， 由， 得， 化简得， 因为， 所以，， 因为存在使得等式成立， 所以存在使得成立， 所以， 解得. 故答案为： 二．选择题（本大题共4题，13、14题4分，15、16题5分，共18分） 13. 已知函数的图象关轴对称，则实数的取值可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用正弦型函数的对称轴的特征，得到等量关系式，观察选项求得结果. 【详解】因为函数的图象关轴对称， 所以有， 结合选项，可知C项满足条件， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦型函数图象的对称轴的问题，属于基础题目. 14. 点关于直线的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设对称点的坐标，然后由垂直和中点在对称轴上列方程组求解． 【详解】设对称点为，则，解得．即对称点为． 故选：B． 15. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可，即边长即函数的周期，再由周期公式求得的值. 【详解】 如图所示，在函数与交点中， 令,不妨取，即， 因为三个相邻的交点构成一个等边三角形， 当时，函数值为，故等边三角形的高为， 由此得到边长为，边长即为函数的周期， 故.所以 故选：A． 16. 已知向量，满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）． ①若，则的最小值为； ②若，则存在唯一的y，使得； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，对两边平方转化为求的最值可判断①；对两边同乘以可判断②；对两边平方然后利用基本不等式可判断③；由③知可判断④. 【详解】，， 对于①，若，则 ，当且仅当时，取得等号， 的最小值为的最小值为①正确； 对于②，若，由得， 存在唯一的，使得，②正确； 对于③，若，则 ， 当且仅当时取得等号， 又，当且仅当，时取得等号，③正确； 对于④，若，则， 由③知，④正确. 故答案为：D. 三．解答题（本大题共5题，共78分） 17. 已知复数，且为纯虚数. （1）求实数的值； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得的共轭复数，代入中，化简求得对应的实部与虚部，再由纯虚数的定义即可求得实数的值； （2）将代入中化简，求得复数的标准形式，及对应的点，再由第二象限点的特点，即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， ， 又为纯虚数， ， 解得. 【小问2详解】 ， 因为复数所对应的点在第二象限， 所以， 解得， 所以的取值范围是. 18. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，面积为2，求． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出； （2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出. 【小问1详解】 ，∴，∵， ∴，∴，∴； 【小问2详解】 由（1）可知， ∵，∴， ∴， ∴． 19. 如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为2km、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上. （1）求码头点的坐标； （2）海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，写出直线ON方程，再求解Q点坐标. （2）由直线AQ的方程求解B点坐标，进而求解AB的直线方程.由（1）知C为垂足，可联立直线AB与PC 方程，即可求解C点坐标. 【小问1详解】 由已知得，，直线ON方程： 设，由，得，. 【小问2详解】 直线AQ的方程为即 由，解得，即 则直线AB 方程， 点P到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C， 因为，且，， ，则直线PC方程为 联立，解得 轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标为. 20. 已知函数（，，）的图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. （1）求函数的单调减区间； （2）求函数的最小值； （3）若函数在内恰有6个零点，求的值. 【答案】（1），；； （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据所给图象求出函数的解析式，再列出关于x的不等式即可得解； （2）由（1）结合给定图象变换求出的解析式，再求出并作变形即可得解； （3）求出并令，将转化为关于t的一元二次方程，按根所在区间讨论得解. 【小问1详解】 观察图象得，最小正周期为T， ，则， 而，则，， 又，于是得， 所以， 由，，得，， 所以单调递减区间为，． 【小问2详解】 由题意得， ， 当，即时，取最小值， 所以的最小值为； 【小问3详解】 依题意，， 令，可得， 令，得， 由于，即方程必有两个不同的实数根，， 且，， 由知、异号，不妨设，， ①若，则，，无解， 而在内有四个零点，不符题意； ②若，则，在内有2个零点， 而在内有4个零点， 即在内有6个零点，符合题意， 此时，得； ③若，，在有4个零点， 则在内应恰有2个零点，必有， 此时，，解得， 综上所述有或． 21. 在梯形中，，分别为直线上的动点. （1）当为线段上的中点，试用和来表示； （2）若，求； （3）若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）1. 【解析】 【分析】(1)结合条件证明，再用和来表示即可； (2)利用表示，根据模的性质和数量积的性质求； (3)由条件确定的关系，结合基本不等式求的最大值. 【小问1详解】 因为为线段上的中点，所以，，又方向相同， 所以，所以； 【小问2详解】 因为，所以，因为，，所以，所以， 又，所以 又， 所以； 【小问3详解】 设线段的中点为，连接，交与点，由已知为的重心， 由重心性质可得， 又， ， ， 所以， 设，， 所以，， 由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $