精品解析：新疆阿克苏市实验中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

阿克苏市实验中学2023—2024学年第一学期高二年级期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150 命题人： 审核人： 一、单选题 （本大题共8小题，每小题5分，共40分） ： 1. 已知点，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知1，a，9成等差数列，则实数a的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 若直线与直线垂直，则( ) A. 1 B. 2 C. D. 5. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2 6. 已知等差数列的公差为2，为其前项和，若，则=（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 8. 已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）： 9. 已知圆般方程为，则下列说法正确的是（    ） A. 圆的圆心为（4，3） B. 圆被轴截得的弦长为8 C. 圆的半径为5 D. 圆被轴截得的弦长为6 10. 记为等差数列的前n项和若，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 过点作圆的切线，所得切线方程为（ ） A. B. C. D. 12. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线为异面直线 C. 直线与直线所成的角为 D. 平面 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）： 13. 设向量，，，则实数________. 14. 直线被圆截得的弦长为___________. 15. 双曲线的右焦点到直线的距离为________． 16. 记为等差数列的前项和，若，，则_____． 四、解答题（本大题共6小题，共70分）： 17. 已知数列满足. （1）由递推关系写出数列的前五项； （2）求数列的通项公式. 18. 设是等差数列的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）写出数列的前项和. 19. 已知圆的圆心在轴上，且经过点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 20. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1. （1）求证：AB1⊥平面A1BC1； （2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值. 21. 已知数列的前n项和，. （1）写出数列的通项公式. （2）证明：数列是等差数列. 22. 已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），椭圆C与轴相交于两点，且，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点. （1）求椭圆C的标准方程; （2）求弦AB的中点坐标及|AB|. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阿克苏市实验中学2023—2024学年第一学期高二年级期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150 命题人： 审核人： 一、单选题 （本大题共8小题，每小题5分，共40分） ： 1. 已知点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】的坐标用终点坐标减去起点坐标即可. 【详解】由点可知，. 故选：D 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出的值，由此可知准线方程. 【详解】因为抛物线，所以， 因为准线方程为，所以准线方程为， 故选：D. 3. 已知1，a，9成等差数列，则实数a的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用等差数列的性质得到答案. 【详解】1，a，9成等差数列，故，故. 故选：. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于简单题. 4. 若直线与直线垂直，则( ) A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析直线方程可知，这两条直线垂直，斜率之积为－1. 【详解】由题意可知，即． 故选：B. 5. 在等差数列中，，，则（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】已知两式相加，利用等差数列的性质求解． 【详解】因为，所以. 故选：C． 6. 已知等差数列的公差为2，为其前项和，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件判断，再利用通项公式代入计算，解出即可. 【详解】由知，，即，解得. 故选：D. 7. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：. 8. 已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断． 【详解】若，，也可以有，A错； 若，，也可以有，B错； 若，，则或，C错； 若，，则，这是线面垂直的判定定理之一，D正确 故选：D． 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）： 9. 已知圆般方程为，则下列说法正确的是（    ） A. 圆的圆心为（4，3） B. 圆被轴截得的弦长为8 C. 圆的半径为5 D. 圆被轴截得的弦长为6 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合圆心与半径、弦长等知识确定正确答案. 【详解】，即， 所以圆心为，半径为，A选项错误，C选项正确. 由，令得， 解得或，所以圆被轴截得的弦长为，B选项正确. 由，令得， 解得或，所以圆被轴截得的弦长为，D选项正确. 故选：BCD 10. 记为等差数列的前n项和若，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先利用等差数列通项公式及前n项和公式得，求解首项和公差d，然后分别写出数列的通项公式和前n项和公式． 【详解】设等差数列的公差为d， 因为，， 即，所以故A正确，B错误． 则数列的通项公式为，故C正确． 前n项和为故D正确． 故选：ACD． 11. 过点作圆的切线，所得切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果． 【详解】 由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为：或． 故选：AB． 12. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线为异面直线 C. 直线与直线所成的角为 D. 平面 【答案】AD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定即可判断A；根据即可判断BC，建立合适的空间直角坐标系，证明，最后结合线面垂直的判定即可. 【详解】对A，连接，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对BC，由A知，则两直线共面，则直线与直线不是异面直线，且直线与直线所成的角不是故BC错误； 对D，以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 则， 则， 则， 则，又因为平面，所以平面. 故选：AD. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）： 13. 设向量，，，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用向量数量积坐标计算公式直接求解. 【详解】因为， 所以， 解得. 故答案为：. 【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 14. 直线被圆截得的弦长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求得弦长. 【详解】因为圆C的圆心为，半径r为， 圆心到直线l的距离， 故直线l被圆C截得的弦长为. 故答案为： 15. 双曲线的右焦点到直线的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，， 所以双曲线的右焦点为， 所以右焦点到直线的距离为. 故答案为：. 16. 记为等差数列的前项和，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求出，再根据其通项即可得出. 【详解】解：等差数列中，，， 所以，且， 即， 所以， 解得， 所以， 故答案为：9. 四、解答题（本大题共6小题，共70分）： 17. 已知数列满足. （1）由递推关系写出数列的前五项； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推式和首项依次求解即可， （2）给，再利用等差数列定义即可求出通项公式. 【小问1详解】 ，， ，，，. 【小问2详解】 由得：，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列， . 18. 设是等差数列的前项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）写出数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列及其前项和基本量的计算可得，由此即可得解. （2）由等差数列前项和公式的二次函数特性即可得解. 【小问1详解】 不妨设等差数列的首项、公差分别为， 由题意，， 解得， 所以， 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知，所以. 19. 已知圆的圆心在轴上，且经过点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，设的中点为，求出的坐标，求出直线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案； （2）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案. 【详解】解：（1）设的中点为，则， 由圆的性质得， 所以，得， 所以线段的垂直平分线方程是， 设圆的标准方程为，其中，半径为， 由圆的性质，圆心在直线上，化简得， 所以圆心，， 所以圆的标准方程为； （2）由（1）设为中点，则，得， 圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程，即， 由题意得，解得； 故直线的方程为， 即； 综上直线的方程为或. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题. 20. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1. （1）求证：AB1⊥平面A1BC1； （2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值. 【答案】（1）由题意知四边形AA1B1B是正方形， ∴AB1⊥BA1. 由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1. 又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1， ∴A1C1⊥平面AA1B1B. 又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1. 又∵BA1∩A1C1＝A1， ∴AB1⊥平面A1BC1. （2） 【解析】 【分析】（1）若要证明线面垂直，只要证明该直线垂直于平面内的两条相交直线，结合图像，利用线面关系即可得解； （2）要求线面角的正弦值，先确定线面角，然后解三角形即可. 【详解】（1）略 （2）连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝B1C1＝. 在Rt△A1DA中，AD＝. ∴sin∠A1DA＝，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查了立体几何的线面垂直的证明，考查了几何法求线面角的大小，有一定的计算量属于中档题，本题的关键有： （1）通过线面垂直关系得到线线垂直，从而得到线面垂直； （2）几何法求线面角的关键是先确定线面角，进而解三角形计算. 21. 已知数列的前n项和，. （1）写出数列的通项公式. （2）证明：数列是等差数列. 【答案】（1） （2） ， 当时，为常数， 则数列是等差数列． 【解析】 【分析】（1）当时，类，当时，求得并验证通项公式，从而确定数列通项公式. （2）根据（1）求得的通项公式，利用等差数列的定义证明即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，，满足， 即数列的通项公式． 【小问2详解】 略 22. 已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），椭圆C与轴相交于两点，且，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点. （1）求椭圆C的标准方程; （2）求弦AB的中点坐标及|AB|. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由题意以及即可求出椭圆的标准方程. （2）将直线与椭圆方程联立，由中点坐标公式以及弦长公式即可求解. 【小问1详解】 由题意，椭圆C的焦点为和 ，长轴长为， 所以椭圆的焦点在轴上，. 所以. 所以椭圆C的标准方程. 【小问2详解】 设，，AB线段的中点为， 由得， 所以， 所以，， 所以弦AB的中点坐标为， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $