精品解析：广东省深圳市龙岗区康乐学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

2022-2023学年广东省深圳市龙岗区康乐学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称与轴对称的定义逐项判断即可． 【详解】A是圆和矩形的结合，属于中心对称图形； B是中心对称图形； C属于中心对称图形； D是轴对称图形，不属于中心对称图形； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中心对称的判断，准确理解定义进行判断是解题的关键． 2. 若x＜y，则下列各式中不成立的是（　　） A. x＋1＜y＋1 B. x－2＜y－2 C. 3x＜3y D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判定即可． 【详解】A、由x＜y，可得：x＋1＜y＋1，成立，不合题意； B、由x＜y，可得：x－2＜y－2，成立，不合题意； C、由x＜y，可得：3x＜3y，成立，不合题意； D、由x＜y，可得：，不成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（　　） A. m2－2n2＝（m＋2n）（m－2n） B. （m＋1）（m－1）＝m2－1 C. m2－3m－4＝m（m－3）－4 D. m2－4m－5＝（m－5）（m＋1） 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式，利用排除法求解． 【详解】解：A．m2-2n2≠（m+2n）（m-2n），故本选项不合题意； B．是多项式乘法，故本选项不合题意； C．结果不是积的形式，因而不是因式分解，故本选项不合题意； D．属于因式分解，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义的应用，能理解因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式． 4. 如果点P(x-4，x+3)在平面直角坐标系的第二象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项． 【详解】解：∵点P(x-4，x+3)在平面直角坐标系的第二象限内， ∴， 解得：-3＜x＜4， 在数轴上表示为：， 故选C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集和点的坐标等知识点，能求出不等式组的解集是解此题的关键． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E．若CE＝2，则AB的长是（　　） A. 4 B. 4 C. 8 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出∠A＝30°，再由线段垂直平分线的性质得到∠A＝∠EBA＝30°，则∠EBC＝∠ABC－∠EBA＝30°，即可得到DE＝CE＝2，再利用含30度角的直接三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠A＝30°， ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴EA＝EB，ED⊥AB， ∴∠A＝∠EBA＝30°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠EBA＝30°， 又∵BC⊥AC，ED⊥AB， ∴DE＝CE＝2． 在直角三角形ADE中，DE＝2，∠A＝30°， ∴AE＝2DE＝4， ∴AD＝＝， ∴AB＝2AD＝． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 6. 如图，在中，，将 绕点 顺时针旋转 角至，使得点恰好落在 边上，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 由旋转可得，，再证明是等边三角形，即可求出 的度数． 【详解】解：， ． 将 绕点 顺时针旋转 角至， ，， 是等腰三角形，且， 是等边三角形， ． 故选：D． 7. 若不等式组的整数解共有三个，则 的取值范围是（　　）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定不等式组的解集，利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【详解】解不等式2x-1＞3，得：x＞2， ∵不等式组整数解共有三个， ∴不等式组的整数解为3、4、5， 则， 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 8. 已知不等式的解集是，则一次函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的上方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项A符合题意， 故选：A． 9. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,以点B 为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB、BC于点M、N分别以点M、N为圆心,以大于MN的长度为半径画弧两弧相交于点P过点P作线段BD,交AC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,则下列结论①CD=ED；②∠ABD=∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（ ） A. ①②③ B. ① ② ④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得①正确，由HL可得Rt△BDC≌Rt△BDE,故BC=BE，③正确， 【详解】解：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确， ∵∠C=90°, ∴DC⊥BC， 又DE⊥AB，BD是∠ABC的角平分线， ∴CD=ED，故①正确， 在Rt△BCD和 Rt△BED中， , ∴△BCD≌△BED， ∴BC=BE，故③正确. 故选A. 【点睛】本题考查了角平分线的画法及角平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题关键. 10. 如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数的为（　　） A. 150° B. 135° C. 120° D. 165° 【答案】A 【解析】 【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，根据等边三角形的性质得到PE=PB=4，∠BPE=60°，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴BA＝BC， 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA， 连EP，如图， ∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°， 在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4， ∴AE2＝PE2+PA2， ∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°， ∴∠APB＝90°+60°＝150°． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，求得∠APE=90°是解题的关键． 11. 如图， 是正 内一点，，，，将线段以点 为旋转中心逆时针旋转 得到线段，下列结论：①点 与的距离为；②③．其中正确的结论是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理逐一计算判断即可． 【详解】解：连结，如图， 线段以点 为旋转中心逆时针旋转 得到线段， ，， 为等边三角形， ， 所以正确； 为等边三角形， ，， ，即， 在和中 ， ≌， ， 在中， ，，， ， ， 为等边三角形， ， ， 所以正确； ≌， ， ， 所以正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握性质，并根据题意选择适当的知识求解是解题的关键． 12. 已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是( ) A. B. 4 C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】依据旋转的性质，即可得到∠BCQ=120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值． 【详解】如图，由旋转可得∠ACQ=∠B=60°， 又∵∠ACB=60°， ∴∠BCQ=120°， ∵点D是AC边的中点， ∴CD=4， 当DQ⊥CQ时，DQ的长最小， 此时，∠CDQ=30°， ∴CQ=CD=2， ∴DQ= ， ∴DQ的最小值是， 故选：C． 【点睛】此题考查旋转的性质及等边三角形的性质，解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 分解因式：x2-2x+1=__________． 【答案】（x-1）2 【解析】 【详解】由完全平方公式可得： 故答案为． 【点睛】错因分析 容易题.失分原因是：①因式分解的方法掌握不熟练；②因式分解不彻底. 14. 若可以用完全平方式来分解因式，则的值为________． 【答案】 或 【解析】 【详解】由题意得， . ， ， ， 或 . 故答案为：-2或8 15. 如图，一次函数与一次函数图象交于点（ ，n），则关于x的不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据一次函数与一元一次不等式的联系求解即可． 【详解】解：不等式表示的是一次函数图象位于一次函数图象的下方 则由图象可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的联系，掌握理解一次函数与一元一次不等式的联系是解题关键． 16. 如图, 中，边 上两点，且 垂直平分, 平分,若,则 的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的性质求出∠BCD=30°，则∠B=60°，证明△BEC是等边三角形，可得BE=2，再通过证明△AEC是等腰三角形，可得EA=2，根据勾股定理求解. 【详解】解：∵CD垂直平分BE， ∴CB=CE, ∴∠BCD=∠ECD, ∵ 平分, ∴∠ECD=∠ACE, ∵ ， ∴∠ECD=∠ACE=∠BCD=30°, ∴∠B=∠BEC=∠BCE=60°, ∴BE=BC=CE=2, ∵∠BEC=60°, ∠ECA=30°, ∴∠EAC=∠ECA=30° ∴EA=EC=2, ∴AB=4, 由勾股定理得， . 故答案为：. 【点睛】本题考查垂直平分线和角平分线的性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质，掌握这些定理可进行边角之间灵活转换. 17. 如图，已知等腰 ，，，于点 ，点 是延长线上一点，点 是线段 上一点，，下面结论：；；；；其中正确的有______．（填上所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出；，由三角形的内角和定理，角的和差求出，再证明是等边三角形，得出，；据结论推出，在线段 上截取，连接，由角的和差，等边三角形的判定与性质证明≌，再由线段的和差和等量代换求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图 所示： ，， ， 垂直平分线段 ， ， ， 又， ， ， 又在等腰 中， ， ， ， ，故正确； 又， ， ，， ， 又，，， ， 又， ， 又， 是等边三角形， ，，故正确； ， 即，故正确； 在线段 上截取点 ，使得，连接，如图所示： ，， ， 是等边三角形， ， 又是等边三角形， ， 又，， ， 在和中， ≌， ， 又，， ，故正确； 故答案为． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键． 18. 对x，y定义一种新的运算F，规定：时，若关于正数x的不等式组恰好有2个整数解，则m的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况求解即可． 【详解】解：①若， 由，得， 由，得：，与不符，舍去； ②若， 由得， 解得， ∵不等式组恰好有2个整数解， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有项，可采用完全平方公式继续分解． （2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，再采用平方差公式继续分解； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 四、解答题：本题共6小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 解不等式（组），并将解集表示在数轴上． （1）≥； （2）． 【答案】（1）x≤8；图见解析； （2）1＜x≤3.5；图见解析 【解析】 【分析】（1）先去分母，然后去括号、移项合并同类项，最后将未知数的系数化为1； （2）分别求出不等式组中两个不等式的解集，然后根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找的原则，写出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：≥ 去分母，得：3（2＋x）≥2（2x－1）， 去括号，得：6＋3x≥4x－2， 移项，得：3x－4x≥－2－6， 合并同类项，得：－x≥－8， 系数化为1，得：x≤8， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 【小问2详解】 解：解不等式2（x－1）－（1＋2x）≤1，得：x≤3.5， 解不等式＜2x－1，得：x＞1， 则不等式组的解集为1＜x≤3.5， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【点睛】本题主要考查了解不等式和不等式组，解不等式时，不等式两边同除以一个负数时，不等号方向要发生改变． 21. 如图， 三个顶点的坐标分别为，，. （1）请画出将 向左平移4个单位长度后得到的图形； （2）请画出 关于原点O成中心对称的图形； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 如图，为所作； （2）如图，为所作； （3）如图，点P为所作， 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点的位置，然后顺次连接即可； （3）作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则，根据两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式为，然后利用x轴上点的坐标特征确定P点坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则， ， ， ∴此时的值最小， 设直线的解析式为 ， 把分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当 时，， 解得， ∴P点坐标为． 【点睛】本题考查了利用平移变换作图、作关于原点O成中心对称的图形、轴对称最短路线问题，一次函数的解析式及一次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是掌握平移和中心对称的性质． 22. 新冠肺炎使得湖北的物资紧缺，为支援疫区，某村捐赠蔬菜30吨，水果13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往港口，已知一辆甲种货车可装蔬菜和水果共5吨，且一辆甲种货车可装的蔬菜重量(单位：吨)是其可装的水果重量的4倍，一辆乙种货车可装蔬菜水果各2吨； （1）一辆甲种货车可装载蔬菜、水果各多少吨？ （2）该村安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来； （3）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1500元，则该村应选择哪种方案?使运费最少？最少运费是多少元？ 【答案】（1）4；1 （2）三种方案：甲5辆，乙5辆；甲6辆，乙4辆；甲7辆，乙3辆 （3）方案1；17500元 【解析】 【分析】（1）设一辆甲种货车可装载蔬菜x吨，水果y吨，根据“一辆甲种货车可装蔬菜和水果共5吨，且一辆甲种货车可装的蔬菜重量是其可装的水果重量的4倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设安排m辆甲种货车，则安排（10-m）辆乙种货车，根据这10辆车可一次将30吨蔬菜和13吨水果运完，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各运货方案； （3）根据总运费=单辆车的运费×所用该种车型的辆数，即可分别求出三种运货方案所需总运费，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设一辆甲种货车可装载蔬菜x吨，水果y吨， 依题意，得： ， 解得：． 答：一辆甲种货车可装载蔬菜4吨，水果1吨． （2）设安排m辆甲种货车，则安排（10-m）辆乙种货车， 依题意，得： 解得：5≤m≤7． ∵m为整数， ∴m=5，6，7， ∴共有三种方案， 方案1：安排5辆甲种货车，5辆乙种货车； 方案2：安排6辆甲种货车，4辆乙种货车； 方案3：安排7辆甲种货车，3辆乙种货车． （3）方案1所需费用2000×5+1500×5=17500（元）； 方案2所需费用2000×6+1500×4=18000（元）； 方案3所需费用2000×7+1500×3=18500（元）． ∵17500＜18000＜18500， ∴该果农应选方案1，使运费最少，最少运费是17500元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总运费=单辆车的运费×所用该种车型的辆数，分别求出三种运货方案所需总运费． 23. 如图在△ABC 中，AB、AC 边的垂直平分线相交于点 O，分别交 BC 边于点 M、N，连接 AM，AN． （1）若△AMN 的周长为 6，求 BC 的长； （2）若∠MON=30°，求∠MAN 的度数； （3）若∠MON=45°，BM=3，BC=12，求 MN 的长度． 【答案】（1）6；（2）120°（3）5． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得BM=AM，CN=AN，再根据三角形的周长即可求出BC； （2）设射线OM交AB于E，射线ON交AC于F，根据四边形的内角和，即可求出∠EAF，再根据三角形的内角和，即可求出∠B＋∠C，然后根据等边对等角即可求出∠MAB＋∠NAC，从而求出∠MAN； （3）设射线OM交AB于E，射线ON交AC于F，根据四边形的内角和，即可求出∠EAF，再根据三角形的内角和，即可求出∠B＋∠C，然后根据等边对等角即可求出∠MAB＋∠NAC，从而求出∠MAN，设MN=x，根据勾股定理列出方程求出x即可． 【详解】（1）∵AB、AC 边的垂直平分线相交于点 O，分别交 BC 边于点 M、N， ∴BM=AM，CN=AN ∵△AMN 的周长为 6， ∴AM＋AN＋MN=6 ∴BC=BM＋MN＋CN= AM＋MN＋AN =6； （2）设射线OM交AB于E，射线ON交AC于F， 在四边形AEOF中，∠EAF=360°－∠AEO－∠AFO－∠MON=150° ∴∠B＋∠C=180°－∠BAC=30° ∵BM=AM，CN=AN ∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C ∴∠MAB＋∠NAC=30° ∴∠MAN=∠EAF－（∠MAB＋∠NAC）=120°； （3）设射线OM交AB于E，射线ON交AC于F， 在四边形AEOF中，∠EAF=360°－∠AEO－∠AFO－∠MON=135° ∴∠B＋∠C=180°－∠BAC=45° ∵BM=AM=3，CN=AN ∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C ∴∠MAB＋∠NAC=45° ∴∠MAN=∠EAF－（∠MAB＋∠NAC）=90° 设MN=x，则AN =CN=BC－BM－MN=9－x 在Rt△AMN中，MN2=AM2＋AN2 即x2=32＋（9－x）2 解得：x=5 即MN=5 【点睛】此题考查的是垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握垂直平分线的性质、等边对等角和用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，），B（3，0），点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，连接OP． （1）求直线AB的解析式，并直接写出∠ABO的度数； （2）若△OBP是以OB为腰的等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标； （3）求OP＋PM的最小值． 【答案】（1）y＝－x＋，∠ABO＝30° （2）所有满足条件的点P的坐标为（3＋，－）或（3－，）或（－，） （3）OP＋PM的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据A、B两点的坐标求出OA、OB，利用勾股定理求得AB，可求得，设AB直线为 ，代入A、B两点坐标，即可求解； （2）分OB=OP，OB=PB两种情况，利用等要三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质即可求解； （3）作点M关于AB的对称点，设点的轨迹为 ，由对称可得，则，可得直线 与x轴的夹角为 ，可得当时，OP＋PM的最小，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴， ∴， 设AB直线为 ，将A、B两点代入可得： ，解得，即； 【小问2详解】 解：当OB=OP时，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为M， ∵OB=3，， ∴OB=OP=3，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 当OB=PB时，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为M， 则OB=PB=3，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 同理可得点的坐标为； 综上，，，； 【小问3详解】 解：作点M关于AB的对称点，如图 设点的轨迹为 ， 由对称可得，， 则，即直线 与x轴的夹角为 ，， ∴当时，OP＋PM的最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 25. （1）模型建立：如图 ，等腰中， ，，直线经过点 ，过点 作于点 ，过点 作于点 ．求证：； （2）模型应用： 如图，已知直线与 轴交于 点，与 轴交于 点，将线段 绕点 逆时针旋转，得到线段 ，过点 ， 作直线，求直线 的函数解析式； 如图，在直线 上有一动点 ，在 轴上有一动点，以 、 、 、四点为顶点的四边形是平行四边形，请求出点的坐标； 如图，矩形，点 为坐标原点，点 的坐标为， ， 分别在坐标轴上，点 是线段 上动点，已知点 在第一象限，且是直线上的一点，若是不以点 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 的坐标． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②或；③或或 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等得，再利用可证明结论； （2）①连接 ，过 作轴于点 ，同得，则，，可知点 的坐标，设直线 的解析式为 ，将点 、 的坐标代入解析式得到关于 、 的方程组，求解即可； ②设，，分 为对角线或 为对角线或为对角线，分别利用中点坐标公式可得答案； ③根据等腰直角三角形的性质，分点 或点 为顶角顶点分别画图，利用模型建立三角形全等，从而解决问题． 【详解】（1）证明：∵ ，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：①如图，连接 ，过 作轴于点 ， ∵将线段 绕点 逆时针旋转，得到线段 ， ∴，， ∵直线与 轴交于 点，与 轴交于 点， 当，得；当 ，得， ∴，， ∴，， 由（1）知：， ∴，， ∴， ∴， 设直线 解析式为 ，过点，， ∴， 解得：， ∴直线 解析式为； ②设，， ∵，， 当 为对角线时，得：， 解得， ∴， 当 为对角线时，， 解得， ∴， 当为对角线时，， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或； ③如图，当时， ， 过点 作于 ，过点 作于 ， ∵四边形是矩形，点 的坐标为， ∴点 与点 重合，，， ∴， 设 点坐标为， ∴， 解得： ， ∴； 如图，当时，， 过点 作于 ，过点 作于 ， 设点 的坐标为， 由（1）知：， ∴，， ∴ 点坐标为， ∴， 解得：， ∴； 如图，当时， 时， 过点 作于 ，过点 作于 ， 设点 的坐标为， 由（1）知：， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 综上可知满足条件的点 的坐标分别为或或 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造模型是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年广东省深圳市龙岗区康乐学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若x＜y，则下列各式中不成立的是（　　） A. x＋1＜y＋1 B. x－2＜y－2 C. 3x＜3y D. 3. 下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（　　） A. m2－2n2＝（m＋2n）（m－2n） B. （m＋1）（m－1）＝m2－1 C. m2－3m－4＝m（m－3）－4 D. m2－4m－5＝（m－5）（m＋1） 4. 如果点P(x-4，x+3)在平面直角坐标系的第二象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为( ) A. B. C. D. 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E．若CE＝2，则AB的长是（　　） A. 4 B. 4 C. 8 D. 8 6. 如图，在中，，将 绕点 顺时针旋转 角至，使得点恰好落在 边上，则 等于（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式组的整数解共有三个，则的取值范围是（　　）. A. B. C. D. 8. 已知不等式的解集是，则一次函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,以点B 为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB、BC于点M、N分别以点M、N为圆心,以大于MN的长度为半径画弧两弧相交于点P过点P作线段BD,交AC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,则下列结论①CD=ED；②∠ABD=∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（ ） A. ①②③ B. ① ② ④ C. ①③④ D. ②③④ 10. 如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数的为（　　） A. 150° B. 135° C. 120° D. 165° 11. 如图， 是正 内一点，，，，将线段以点 为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点 与的距离为；②③．其中正确的结论是( ) A. B. C. D. 12. 已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是( ) A. B. 4 C. D. 不能确定 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 分解因式：x2-2x+1=__________． 14. 若可以用完全平方式来分解因式，则 的值为________． 15. 如图，一次函数与一次函数图象交于点（ ，n），则关于x的不等式的解集为________. 16. 如图, 中，边 上两点，且 垂直平分, 平分,若,则的长为__________． 17. 如图，已知等腰 ，，，于点 ，点 是延长线上一点，点 是线段上一点，，下面结论：；；；；其中正确的有______．（填上所有正确结论的序号） 18. 对x，y定义一种新的运算F，规定：时，若关于正数x的不等式组恰好有2个整数解，则m的取值范围是 _____． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 19. 因式分解： （1）； （2）． 四、解答题：本题共6小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 解不等式（组），并将解集表示在数轴上． （1）≥； （2）． 21. 如图， 三个顶点的坐标分别为，，. （1）请画出将 向左平移4个单位长度后得到的图形； （2）请画出 关于原点O成中心对称的图形； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． 22. 新冠肺炎使得湖北的物资紧缺，为支援疫区，某村捐赠蔬菜30吨，水果13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往港口，已知一辆甲种货车可装蔬菜和水果共5吨，且一辆甲种货车可装的蔬菜重量(单位：吨)是其可装的水果重量的4倍，一辆乙种货车可装蔬菜水果各2吨； （1）一辆甲种货车可装载蔬菜、水果各多少吨？ （2）该村安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来； （3）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1500元，则该村应选择哪种方案?使运费最少？最少运费是多少元？ 23. 如图在△ABC 中，AB、AC 边的垂直平分线相交于点 O，分别交 BC 边于点 M、N，连接 AM，AN． （1）若△AMN 的周长为 6，求 BC 的长； （2）若∠MON=30°，求∠MAN 的度数； （3）若∠MON=45°，BM=3，BC=12，求 MN 的长度． 24. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，），B（3，0），点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，连接OP． （1）求直线AB的解析式，并直接写出∠ABO的度数； （2）若△OBP是以OB为腰的等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标； （3）求OP＋PM的最小值． 25. （1）模型建立：如图 ，等腰中， ，，直线经过点 ，过点作于点 ，过点 作于点 ．求证：； （2）模型应用： 如图，已知直线与 轴交于点，与 轴交于 点，将线段 绕点 逆时针旋转，得到线段 ，过点， 作直线，求直线的函数解析式； 如图，在直线上有一动点 ，在 轴上有一动点，以 、 、 、四点为顶点的四边形是平行四边形，请求出点的坐标； 如图 ，矩形，点 为坐标原点，点 的坐标为，， 分别在坐标轴上，点 是线段 上动点，已知点 在第一象限，且是直线上的一点，若是不以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $