精品解析：广东省揭阳市揭西县宝塔实验学校2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试题

2022-2023学年度第二学期八年级第一次质量监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若，则下列不等式中不成立的是( )． A. B. C. D. 2. 若等腰三角形的一个角为，则它的底角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 下列命题为假命题的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 等腰三角形的两边长是4和9，则其周长为17或22 C. 三条边长之比是的三角形是直角三角形 D. 有一个内角与其相邻的外角的比为的等腰三角形是等边三角形 4. 如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点D、E．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 如图，平分，于点P，，点Q在上，，则的面积为（ ） A. B. 6 C. 9 D. 18 6. 若的一半不小于，则不等关系表示正确的式子是（ ） A. B. C. D. 7. 疫苗冷库储藏温度要求为，疫苗冷库储藏温度要求为，若需要将，两种疫苗储藏在一起，则冷库储藏温度要求为（ ） A. B. C. D. 8. 等腰三角形的两条边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是（       ） A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17 9. 如图，将一个等腰按如图方式折叠，若、，下列四个结论：①平分；②长为；③是等腰三角形；④的周长等于的长．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④ 10. 如图，已知，点、、…在射线ON上，点、、，…在射线OM上；、、…均为等边三角形．若，则的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则 _____0（填““或“”）． 12. 在中，，，则______． 13. 如图，是等腰直角三角形的底边上的中线，以为边向右作等边三角形，则的度数为___________． 14. 在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则点D到的距离是___________． 15. 在等边中，，点P是上一点，过点P作于点P，交于点M，以点P为圆心，为半径画弧交于点N，连接，，则的长为______． 三、解答题一（每小题8分，共24分） 16. 已知a，b，c是△ABC的三边长，，，设的周长是x． （1）求c与x的取值范围； （2）若x是小于18的偶数，试判断的形状． 17. 如图，于点E，． （1）求证∶； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 18. 如图，已知，于D， （1）求证：； （2）若，，求AD的长 四、解答题二（每小题9分，共27分） 19. 为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ （1）请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； （2）计算出气站E到A处的距离． 20. 如图，在中，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：． （2）若，求的长． 21. 如图，在中，，点D为上一点，且满足．点F在延长线上，连接并延长，交于点E，连接． （1）求和的度数； （2）若点E是的中点，求证：是等腰三角形． 五、解答题三（每小题12分，共24分） 22. 已知是等边三角形，E、F分别是边上的点，与相交于点G，且． （1）如图（1），求证：，并直接写出的度数； （2）如图（2），若，垂足为D，且，，求的长度； （3）如图（3），以为边在左侧作等边，连接，求证：． 23. 如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着射线以每秒1个单位的速度运动，点运动的时间为秒． （1）的长为______． （2）如果动点从点出发，沿着以每秒1个单位的速度向终点运动，直接写出当为何值时，，直接写出当t为何值时，； （3）连接． ①求当为何值时，是直角三角形； ②直接写出当为何值时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年度第二学期八年级第一次质量监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若，则下列不等式中不成立的是( )． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质解答． 【详解】A、在不等式的两边同时加1，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意； B、在不等式的两边同时乘以2，然后再减1，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意； C、在不等式的两边同时乘以3，不等式仍成立，即，故本选项符合题意； D、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2. 若等腰三角形的一个角为，则它的底角的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，是解题的关键．分这个角是底角和顶角，两种情况讨论求解． 【详解】解：当这个角为底角时：，满足题意； 当这个角是顶角时：它的底角的度数是； 综上：等腰三角形的底角度数为或； 故选：D． 3. 下列命题为假命题的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 等腰三角形的两边长是4和9，则其周长为17或22 C. 三条边长之比是的三角形是直角三角形 D. 有一个内角与其相邻的外角的比为的等腰三角形是等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的概念、等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余，原命题是真命题，故选项不符合题意； B、等腰三角形的两边长是4和9，当腰是4时，，不能组成三角形；当腰是9时，，能组成三角形，所以周长为：，原命题是假命题，故选项符合题意； C、三条边长之比是的三角形，由，所以三角形是直角三角形，原命题是真命题，故选项不符合题意； D、有一个内角与其相邻的外角的比为的等腰三角形是等边三角形，原命题是真命题，故选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 4. 如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点D、E．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，从而得到，设，根据等腰三角形的性质可得，再由，列出方程，求出x，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即， ∵，， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 5. 如图，平分，于点P，，点Q在上，，则的面积为（ ） A. B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作于D，利用角平分线的性质求得，再根据三角形面积公式求解． 【详解】解：过点C作于D，如图， ∵，，平分， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形面积，作辅助线于D是解题的关键． 6. 若的一半不小于，则不等关系表示正确的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，列出不等式即可． 【详解】解：由题意，得：； 故选B． 【点睛】本题考查列不等式．熟练掌握表示不等关系的词的含义，是解题的关键． 7. 疫苗冷库储藏温度要求为，疫苗冷库储藏温度要求为，若需要将，两种疫苗储藏在一起，则冷库储藏温度要求为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了确定不等式组的解集，解题的关键是读懂题意，搞懂A疫苗冷库储藏温度和疫苗冷库储藏温度的要求．将A，两种疫苗储藏在一起，冷库储藏温度正好是A疫苗冷库储藏温度的最低度数和疫苗冷库储藏温度的最高度数． 【详解】解：∵A疫苗冷库储藏温度要求为，疫苗冷库储藏温度要求为， ∴A，两种疫苗储藏在一起，冷库储藏温度要求为． 故选：C． 8. 等腰三角形的两条边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是（       ） A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分两种情况讨论：当腰为3时和当腰为7时，根据三角形两边之和大于第三边，判断哪种情况成立，从而计算周长即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两边分别为3和7， ∴可能情况：①腰为3，底为7；②腰为7，底为3； 对于①：因为，不满足三角形三边关系，舍去； 对于②：因为，满足三角形三边关系； 故周长为， 故选：C． 9. 如图，将一个等腰按如图方式折叠，若、，下列四个结论：①平分；②长为；③是等腰三角形；④的周长等于的长．其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，等腰直角三角形的性质．熟练掌握以上知识点是解题的关键； 由△ABC为等腰直角三角形，得，，根据折叠可得，，可判定①错误；而，，可判定②正确；由，可判定③正确；又的周长，可判定④正确，即可得到答案． 【详解】解：为等腰直角三角形， ∴，， 折叠得到， ，，， 为等腰直角三角形， ，， 由折叠得到， ，， ， 不平分， 所以①错误； ，， ， 所以②正确； ， 是等腰三角形， 所以③正确； 的周长， 的周长等于的长， 所以④正确． 故答案为：②③④， 故选：B． 10. 如图，已知，点、、…在射线ON上，点、、，…在射线OM上；、、…均为等边三角形．若，则的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得出，证明，，则，推出，，同理，，…，记各等边三角形的边长依次为：则 …，从而可得出结果． 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵∠MON=30°， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理，，…， 记各等边三角形的边长依次为： ∴ …， 的边长为 故选：B 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质、含30°角直角三角形的性质找出规律是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则 _____0（填““或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式先确定a的取值范围，然后再由不等式的性质求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】题目主要考查求不等式的解集及不等式的性质，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键． 12. 在中，，，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】由题意可知，是等腰三角形，结合，进而判定是等边三角形，即可求出． 【详解】在中， ∵， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：12 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 13. 如图，是等腰直角三角形的底边上的中线，以为边向右作等边三角形，则的度数为___________． 【答案】##15度 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再由等边三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵是的底边上的中线， ∴，即， ∴， ∵以为边向右作等边三角形， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键． 14. 在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则点D到的距离是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意可知平分，然后根据角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：过点D作于点M，如图所示： 由题意可知平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴到的距离为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了尺规作图－角平分线，以及角平分线的性质，熟知角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解本题的关键． 15. 在等边中，，点P是上一点，过点P作于点P，交于点M，以点P为圆心，为半径画弧交于点N，连接，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，直角三角形的性质，解题的关键是证明．先证为等边三角形，再根据为等边三角形，，证，在中，，根据30°的角对的直角边是斜边的一半，即可得答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同法可证， ∴ 在中，， ∴ 解得：， ∴， 故答案为：6． 三、解答题一（每小题8分，共24分） 16. 已知a，b，c是△ABC的三边长，，，设的周长是x． （1）求c与x的取值范围； （2）若x是小于18的偶数，试判断的形状． 【答案】（1）， （2）是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案； （2）利用等腰三角形的判定方法得出即可． 【小问1详解】 解：（1）因为，， 所以． 故周长x的范围为． 【小问2详解】 （2）因为周长为小于18的偶数， 所以或． 当x为16时，； 当x为14时，． 当时，，为等腰三角形； 当时，，为等腰三角形． 综上，△ABC是等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出c的取值范围是解题关键． 17. 如图，于点E，． （1）求证∶； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用证明与全等即可得到； （2）由（1）得，进而由可得，从而得出． 【小问1详解】 ∵ ∴ 在与中 ∴（） ∴ 【小问2详解】 理由如下：由（1）可知， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用，选择恰当的判定条件证明三角形全等是解题的关键． 18. 如图，已知，于D， （1）求证：； （2）若，，求AD的长 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将等腰三角形与角平分线结合得到内错角相等，从而推出平行； （2）由条件得出为等边三角形，根据三线合一得线段长度，代入勾股定理即可求得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴∠ ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴为等边三角形 ∵ ∴ ∴在中， 【点睛】本题考查了等腰三角形与等边三角形的性质与判定，相关知识点有：勾股定理、平行线的判定等，等腰三角形与等边三角形的性质与判定熟练运用是解题关键． 四、解答题二（每小题9分，共27分） 19. 为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ （1）请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； （2）计算出气站E到A处的距离． 【答案】（1） 如图所示，点E即为所求． （2）气站E距离A处． 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）由，可知点E在线段的垂直平分线上，即可得答案； （2）设，，得，，再利用解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， 又∵ ∴ 解得 ∴气站E距离A处． 20. 如图，在中，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． （2）2 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明． （2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，即， 解得，即． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键． 21. 如图，在中，，点D为上一点，且满足．点F在延长线上，连接并延长，交于点E，连接． （1）求和的度数； （2）若点E是的中点，求证：是等腰三角形． 【答案】（1）， （2） 证明：∵E是的中点，， ∴，，即， ∴，即为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）设，由知，，由列方程求解可得； （2）依据E是的中点，即可得到，进而得出． 【小问1详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则，． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质． 五、解答题三（每小题12分，共24分） 22. 已知是等边三角形，E、F分别是边上的点，与相交于点G，且． （1）如图（1），求证：，并直接写出的度数； （2）如图（2），若，垂足为D，且，，求的长度； （3）如图（3），以为边在左侧作等边，连接，求证：． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴ ∴ （2）2 （3） 证明：延长至点H，使，连接，如图， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用证明即可，由此得到，利用外角求出的度数； （2）求出，根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，由此即可求出的长度； （3）延长至点H，使，连接，可证得是等边三角形，再证明，根据全等三角形的性质得到，从而证得． 【小问1详解】 ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】此题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 23. 如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着射线以每秒1个单位的速度运动，点运动的时间为秒． （1）的长为______． （2）如果动点从点出发，沿着以每秒1个单位的速度向终点运动，直接写出当为何值时，，直接写出当t为何值时，； （3）连接． ①求当为何值时，是直角三角形； ②直接写出当为何值时，是等腰三角形． 【答案】（1） （2） （3）当或4或或时，为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：，根据勾股定理可求的长； （2）利用全等三角形的对应边建立方程求解，即可得出结论； （3）①分两种情况，利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论；②分，，三种情况讨论，根据勾股定理和等腰三角形的性质可求t的值． 【小问1详解】 解：∵四边形是长方形， ∴，， 在中，； 【小问2详解】 解：如图1，在长方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当时，如图， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 当时，此时点P与点C重合， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是直角三角形； ②若为等腰三角形， 则或或， 当时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，如图4， ∵， ∴， ∴， 当时，如图5， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图6，当在的延长线上时，且， ∴， ∴； 综上所述：当或4或或时，为等腰三角形． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，全等三角形的性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $