第22章 一元二次方程章节检测卷 2024—2025学年华东师大版数学九年级上册

一元二次方程章节测试卷 时间：100分钟 总分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1、下列方程中，是一元二次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 2．以x为根的一元二次方程可能是（　　） A．x2﹣3x+c＝0 B．x2+3x﹣c＝0 C．x2﹣3x﹣c＝0 D．x2+3x+c＝0 3、从前，有一个木工师傅甲拿着木条进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一个木工师傅乙叫他沿着门的两个对角斜着拿木条，木工师傅甲按照木工师傅乙的方法一试，不多不少刚好进去了，你知道木条有多长吗？若设木条的长为尺，则下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 4、关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 5、关于x的方程有两个相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．或3 B． C．3 D．或1 6、如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　） A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32 C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32 7、关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关 8、若，则的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．3或4 9、近年来，高利贷披上了“校园贷款”的外衣，将罪恶的魔爪伸向了纯洁的校园．不少学生因为借了校园贷，利滚利欠下了巨额贷款．假如小林贷款6万，“利滚利”的月平均利率为x，小林2个月总共需还18万元，根据题意，以下所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10． 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则．其中正确的　　 A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③ 二、填空题（每题3分，共15分） 11、若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为 12、在实数范围内，存在2个不同的的值，使代数式与代数式值相等，则的取值范围是 ． 13、根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m)约为．根据上述规律，物体经过 秒落回到地面． 14、关于的一元二次方程的两实数根分别为，且，则的值为 ． 15、已知不相等的两实数满足，则的值为 ． 三、解答题（共75分） 16、用指定方法解方程（每题3分，共12分）： （1）（2x﹣3）2﹣121＝0．（直接开平方法） （2）x2﹣4x﹣7＝0．（配方法） （3）x2﹣5x+1＝0．（公式法） （4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．（因式分解法） 17、（每题3分，共6分）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 18、（8分）已知平行四边形ABCD的两邻边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+2＝0的两个实数根． （1）若AB＝2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ （2）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长． 19、（8分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用，现在已备足可以砌长的墙的材料． （1）当长度是多少时，矩形花园的面积为； （2）能否围成矩形花园面积为，为什么？ 20、（9分）某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱50元，若按每箱60元出售，则可销售80箱．现准备提价销售，经市场调研发现：每箱每提价1元，销量就会减少2箱，为保护消费者利益，物价部门规定，销售利润率不能超过50%，设该水果售价为每箱x（x＞60）元． （1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为　 　箱； （2）现在预算要获得1200元利润，应按每箱多少元销售？ 21．（10分）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：a2+6a+8， 解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）． ②M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值． 解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1． ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2x+　 　＝（　 　）2． （2）用配方法因式分解（不按要求不给分）：x2﹣4x+3． （3）若Mx2+xy+2y2+2y﹣1，求M的最小值． 22、（10分）已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0． （1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根． （2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|时，求出a的值． 23．（共12分）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为6cm2？ （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为cm？ （3）若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值？并求出最小值． 一元二次方程章节测试卷答案与解析 一、选择题（每题3分，共30分） 1、下列方程中，是一元二次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：①是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程； ⑤，是一元二次方程；综上：是一元二次方程的有3个； 故选C． 2．以x为根的一元二次方程可能是（　　） A．x2﹣3x+c＝0 B．x2+3x﹣c＝0 C．x2﹣3x﹣c＝0 D．x2+3x+c＝0 【答案】C 【详解】解：A．x2﹣3x+c＝0的根为x，不符合题意； B．x2+3x﹣c＝0的根为x，不符合题意； C．x2﹣3x﹣c＝0的根为x，符合题意； D．x2+3x+c＝0的根为x，不符合题意； 故选：C． 3、从前，有一个木工师傅甲拿着木条进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一个木工师傅乙叫他沿着门的两个对角斜着拿木条，木工师傅甲按照木工师傅乙的方法一试，不多不少刚好进去了，你知道木条有多长吗？若设木条的长为尺，则下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺． ∴门框的长为尺，宽为尺， 由勾股定理可得：． 故选：A． 4、关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】A 【详解】解：是关于x的一元二次方程， ，解得， 关于x的一元二次方程有一个根是1， ， 化简得，解得， 综上所述：， 故选：A． 5、关于x的方程有两个相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．或3 B． C．3 D．或1 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， 解得或， ∵方程有两个相等的实数根， ∴ 解得或 ∴综上， 故选B． 6、如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　） A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32 C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32 【答案】D 【详解】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm， 依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32． 故选：D． 7、关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关 【答案】C 【详解】解：∵， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确． 故选：C． 8、若，则的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．3或4 【答案】B 【详解】解：令， 将转化为， ，即，解得或， ， ， 故选：B． 9、近年来，高利贷披上了“校园贷款”的外衣，将罪恶的魔爪伸向了纯洁的校园．不少学生因为借了校园贷，利滚利欠下了巨额贷款．假如小林贷款6万，“利滚利”的月平均利率为x，小林2个月总共需还18万元，根据题意，以下所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意得：． 故选：C． 11． 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则．其中正确的　　 A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③ 【答案】B 【详解】①若，则是方程的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：，故①正确； ②方程有两个不相等的实根， △， 则方程的判别式△， 方程必有两个不相等的实根， 故②正确； ③是方程的一个根， 则， ， 若，等式仍然成立， 但不一定成立， 故③不正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得：， ， ， 故④正确． 故正确的有①②④， 故选：． 二、填空题（每题3分，共15分） 11、若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为 【答案】A 【详解】解：， ， ， 将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1， ， 解得：， ， 则该方程中的一次项系数为5， 故选A． 12、在实数范围内，存在2个不同的的值，使代数式与代数式值相等，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，方程有两个不相等的根， 整理得， ， 解得：， 故答案为：． 13、根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m)约为．根据上述规律，物体经过 秒落回到地面． 【答案】2 【详解】解：S=9.8x-4.9x2， 落回地面时S=0， 所以9.8x4.9x2=0、 解得：x=0或x=2， 因为时间为零时未扔出，所以舍去. 答：物体经过2秒回落地面． 故答案为：2. 14、关于的一元二次方程的两实数根分别为，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， 故答案为：． 15、已知不相等的两实数满足，则的值为 ． 【答案】13 【详解】解：由题意可知，不相等的两实数满足， 所以可设是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ，， 原式 ． 故答案为：13 三、解答题（共75分） 16、用指定方法解方程（每题3分，共12分）： （1）（2x﹣3）2﹣121＝0．（直接开平方法） （2）x2﹣4x﹣7＝0．（配方法） （3）x2﹣5x+1＝0．（公式法） （4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．（因式分解法） 【解答】解：（1）∵（2x﹣3）2﹣121＝0， ∴（2x﹣3）2＝121， ∴2x﹣3＝±11， ∴2x﹣3＝11或2x﹣3＝﹣11， ∴x1＝7，x2＝﹣4； （2）∵x2﹣4x﹣7＝0， ∴x2﹣4x+4＝7+4， ∴（x﹣2）2＝11， ∴x﹣2＝±， ∴x﹣2或x﹣2， ∴x12，x2＝2； （3）∵x2﹣5x+1＝0， ∴a＝1，b＝﹣5，c＝1， ∴△＝b2﹣4ac＝21， ∴x， ∴x1，x2； （4）∵3（x﹣2）2＝x（x﹣2）， ∴3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0， ∴（x﹣2）（3x﹣6﹣x）＝0， ∴x﹣2＝0或2x﹣6＝0， ∴x1＝2，x2＝3． 17、（每题3分，共6分）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， 则且． 解得； （2）解：方程是一元二次方程， 则， 解得． 18、（8分）已知平行四边形ABCD的两邻边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+2＝0的两个实数根． （1）若AB＝2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ （2）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长． 【解答】解：（1）当x＝2时，4﹣2m+2＝0， 解得：m＝3， ∴x2﹣3x+2＝0， 解得：x1＝2，x2＝1， ∴平行四边形的周长为2×（1+2）＝6； （2）∵当AB＝AD时，平行四边形ABCD是菱形，即：△＝0， ∴m2﹣4×2＝0，解得：， 又∵AB+AD＝m＞0， ∴， ∴方程为x2﹣2x+2＝0， 解得，x1＝x2， ∴菱形的边长为． 19、（8分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用，现在已备足可以砌长的墙的材料． （1）当长度是多少时，矩形花园的面积为； （2）能否围成矩形花园面积为，为什么？ 【解析】（1）设，则，x 则， 解得：或30（舍去， 故； ． 答：当长度是时，矩形花园的面积为； （2）由题意得：则， 化简得：，△， 故不能围成矩形花园面积为． 20、（9分）某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱50元，若按每箱60元出售，则可销售80箱．现准备提价销售，经市场调研发现：每箱每提价1元，销量就会减少2箱，为保护消费者利益，物价部门规定，销售利润率不能超过50%，设该水果售价为每箱x（x＞60）元． （1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为　 　箱； （2）现在预算要获得1200元利润，应按每箱多少元销售？ 【解答】解：（1）平均每天的销售量为80﹣2（x﹣60）＝（200﹣2x）（箱）． 故答案为：（200﹣2x）． （2）依题意得：（x﹣50）（200﹣2x）＝1200， 整理得：x2﹣150x+5600＝0， 解得：x1＝70，x2＝80． 当x＝70时，利润率100%＝40%＜50%，符合题意； 当x＝80时，利润率100%＝60%＞50%，不合题意，舍去． 答：应按每箱70元销售． 21．（10分）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：a2+6a+8， 解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）． ②M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值． 解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1． ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2x+　 　＝（　 　）2． （2）用配方法因式分解（不按要求不给分）：x2﹣4x+3． （3）若Mx2+xy+2y2+2y﹣1，求M的最小值． 【解答】解：（1）x2﹣2•x•（）2＝（x）2， 故答案为：；x； （2）x2﹣4x+3 ＝x2﹣4x+4﹣1 ＝（x﹣2）2﹣12 ＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1） ＝（x﹣1）（x﹣3）； （3）Mx2+xy+y2+y2+2y+1﹣2 ＝（x+y）2+（y+1）2﹣2， ∵（x+y）2≥0，（y+1）2≥0， ∴当x＝2，y＝﹣1时，M有最小值﹣2． 22、（10分）已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0． （1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根． （2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|时，求出a的值． 【解答】（1）证明：①当a＝0时，方程为3x﹣3＝0，是一元一次方程，有实数根； ②当a≠0时，方程是一元二次方程， ∵关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0中，△＝（3﹣2a）2﹣4a（a﹣3）＝9＞0， ∴无论a为何实数，方程总有实数根． （2）解：如果方程的两个实数根x1，x2，则x1+x2，x1•x2， ∵|x1﹣x2|， ∴， 解得a＝±2． 故a的值是﹣2或2． 23．（共12分）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为6cm2？ （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为cm？ （3）若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值？并求出最小值． 【解答】解：（1）设x秒后，△PBQ的面积为6cm2， 根据题意得x（5﹣x）＝6， 解得：x1＝2，x2＝3． 故2或3秒后，△PBQ的面积为6cm2； （2）设x秒后，PQ的长度为cm 根据题意得（5﹣x）2+（2x）2＝40， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝3． 故3秒后，PQ的长度为cm； （3）依题意得S四边形APQC＝S△ABC﹣S△BPQ， 即SAB•BCBP•BQ5×7（5﹣x）•2x＝（x﹣2.5）2+11.25（0＜x＜3.5）， 当x﹣2.5＝0，即x＝2.5时，S最小＝11.25． 故经过2.5s长时间S取得最小值，最小值为11.25． 学科网（北京）股份有限公司 $$