精品解析：江西省上饶市沙溪中学2023-2024学年高二下学期6月测试数学试卷

江西省上饶市沙溪中学2023-2024学年高二下学期6月测试数学试卷 （考试范围：北师大版（2019）选择性必修第二册） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为等差数列的前项和，.若，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n项和公式即可证明数列的单调性，从而由可得和的符号，即可判断的最小值. 【详解】由得：，整理可得：， 等差数列为递增数列，又，，， 当且时，；当且时，； 有最小值，最小值为. 故选：D. 2. 已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为数列为递增数列，所以从第二项开始，各项均为正数，由此可求得取值范围. 【详解】因为为等差数列，且，所以， 又数列为递增数列，所以从第二项开始，各项均为正数. 由. 因为恒成立，所以数列为常数数列或递增数列，所以. 综上，. 故选：A 3. 在数列中，，，则数列的前2024项的积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过递推关系得出数列周期，利用周期可求答案. 【详解】因为，所以， ，，，， 所以数列的周期为，且， 设数列的前项的积为，. 故选：C 4. 用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（ ） A. 增加了一项 B. 增加了一项 C. 增加了，又减少了 D. 增加了，又减少了 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别写出和时，不等式的左边的表达式，结合表达式进行分析，即可求解. 【详解】由题意，当时，左边； 当时，左边， 所以由递推到时，不等式左边增加了，又减少了. 故选：D. 5. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 3是函数的一个极值点 C. 在处的切线的斜率大于0 D. 的单减区间为 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图象上点的坐标特征，依次判断导函数值的符号，得出原函数的单调性，从而得出极值点情况和切线斜率的正负，一一判断选项即得. 【详解】因，当时，，时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 对于A，由上分析知是函数的极大值点，故A错误； 对于B，由上分析知，3不是函数的极值点，故B错误； 对于C，由上分析知，，即在处的切线的斜率小于0，故C错误； 对于D，由上分析知，的单减区间为,故D正确. 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的基本运算法则即可求出. 【详解】, , . 故选：B 【点睛】本题考查导数的基本运算法则，属于基础题. 7. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，利用导数求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，则，其中， 令，解得，令，解得. 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以，， 因为在上恒成立，所以，，解得. 故选：B. 8. 某质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A. B. 3m/s C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，得出的值，即可求解. 【详解】由函数，可得，则， 所以当时，该质点的瞬时速度为． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的通项公式为，，在中依次选取若干项（至少3项），，，，，，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是（ ） A. 若取，，则 B. 满足题意的也必是一个等比数列 C. 在的前100项中，的可能项数最多是6 D. 如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列 【答案】AB 【解析】 【分析】根据等比数列的性质判断A、B、D，利用反例说明C. 【详解】因为数列的通项公式为， 对于A，取，，则，， 由于为等比数列，则，则有，即，故A正确； 对于B，数列的通项公式为，则， 若为等比数列，即，，，，，是等比数列， 则，，，，，，是等比数列， 故满足题意的也必是一个等比数列，故B正确； 对于C，在的前项中，可以取，，，，，，， 可以使成为一个等比数列，此时为项，故C错误； 对于D，取，，则，则， 不是数列的项， 所以把中满足等比的项一直取下去，不总是无穷数列，故D错误． 故选：AB． 10. （多选）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同 C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同 D. 在，两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知血管中的药物浓度随时间变化图象，结合瞬时变化率、平均变化率的概念判断各选项的正误. 【详解】A：在时刻，两图象相交，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，正确； B：两条曲线在时刻的切线的斜率不相等，所以甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率不相同，错误； C：根据平均变化率公式，可知在这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率都是，正确； D：在时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是，在时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是，显然不相等，正确． 故选：ACD． 11. 下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数的单调增区间为 C. 一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是 D. ，则 【答案】CD 【解析】 【分析】由基本初等函数导数运算可判断A，由函数定义域可判断B，由导数的物理意义可判断C，由复合函数求导法则可判断D. 【详解】对于A，，故A错误；对于B，函数定义域为正实数，故B错误； 对于C，，当时，，故C正确；对于D，若，则. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等差数列中，，，则的前和为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 所以， 故答案为：. 13. 已知函数在处取得极小值，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将函数求导，依题可得，求得或，代入函数式，进行检验，舍去，即得结论. 【详解】由求导，， 依题意，，即，解得或. 当，时，，， ， 当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增， 即时，函数取得极小值，符合题意，此时； 当，时，，， 因 ， 即函数在上为增函数，无极值，与题意不符，舍去. 故答案为：. 14. 已知函数，若在上存在零点，则实数a的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由在上存在零点，可转化为方程在上有解，求出在上的范围即可得. 【详解】由，在存在零点， 即在上有解， 令，，则恒成立， 故在上单调递增，故， 即， 令，，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，当时，， 即有，故，即实数a的最大值是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键在于将题意转化为方程在上有解后，构造出函数，及，，从而求出的最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据的关系由：求解即可； （2）根据通项分奇偶分别计算求和，结合裂项相消和等比数列求和公式即可. 【小问1详解】 当时，. 当时，， 当时，也符合. 综上，. 【小问2详解】 由 则 ， 故的前项和. 16. 已知等差数列的前9项和，且．若数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式列出条件，解出即可求得，根据条件可得当时，，作差可求得. （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为． 由，得，化简得． 又，即， 解得， 所以等差数列的通项公式为 因为，① 所以当时，，② ①②得， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式为 故． 【小问2详解】 由于， 则， 又， 两式相减，得 故 17. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”． （1）已知等比数列满足：．求证：数列为“数列”； （2）已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和． ①求数列的通项公式； ②设为正整数，若存在“-数列”（），对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值． 【答案】（1）证明如下： 设等比数列的公比为，所以 由，得，解得， 因此数列为“—数列”； （2）①； ②5． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程求出首项和公比即可证明； （2）①根据可得，即可判断数列为等差数列，即可求出通项公式；②根据题意，构造函数，利用导数可得即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由，得， 当时，由，得， 整理得， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列， 因此，数列的通项公式为； ②由①知，， 因为数列为“—数列”，设公比为，所以， 因为，所以，其中， 当时，有； 当时，有， 设，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以， 取，当时，，即， 令，则， 令，则， 故在上单调递减，则， 即在上恒成立，即在上单调递减， 则， 即， 因此所求的最大值不小于5， 若，分别取，得，且，从而，且， 所以不存在，因此所求的最大值小于6， 故的最大值为5． 【点睛】关键点点睛：关键在于理解题目意思，然后结合所学的知识，将问题转化成平时所练题型进行求解. 18. 已知. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若对任意的，且，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求导函数，再得出斜率写出切线方程即可； （2）把恒成立转化为函数单调性，再根据单调性转化为最值问题求解即得 【小问1详解】 由题意知 则曲线在处的切线方程为 【小问2详解】 不妨设，则 则设，可知在上严格递增 则恒成立 则 设 则当时，单调递增，当时，单调 递减，则 则实数的取值范围为. 19. 已知. （1）求的极值； （2）画出函数的大致图象；（注意：需要说明函数图象的变化趋势） （3）若函数至多有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，进而得到函数的单调区间和极值； （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，结合函数的变化趋势，得出函数的图象； 令，可得；令，可得， （2）令，根据题意，转化为的图像与直线至多有一个交点，结合图象，即可求解. 【小问1详解】 由函数，可得其定义域为，且， 令，可得 列表如下： 2 - - 0 + 极小值 由上表知，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取极小值，无极大值. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 令，可得；令，可得， 当时，；当时，； 当时，，由指数爆炸增长得，； 当时，； 结合（1）可画出函数的大致图象如图所示； 【小问3详解】 令，可得， 则函数至多有一个零点等价于函数的图象与直线至多有一个交点， 结合（1）（2）知，当时，即时，函数的图象与直线至多有一个交点，即函数至多有一个零点时，所以， 即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市沙溪中学2023-2024学年高二下学期6月测试数学试卷 （考试范围：北师大版（2019）选择性必修第二册） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为等差数列的前项和，.若，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 2. 已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增．若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在数列中，，，则数列的前2024项的积为（ ） A. B. C. D. 4. 用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（ ） A. 增加了一项 B. 增加了一项 C. 增加了，又减少了 D. 增加了，又减少了 5. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 3是函数的一个极值点 C. 在处的切线的斜率大于0 D. 的单减区间为 6. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 7. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A. B. 3m/s C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的通项公式为，，在中依次选取若干项（至少3项），，，，，，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是（ ） A. 若取，，则 B. 满足题意的也必是一个等比数列 C. 在的前100项中，的可能项数最多是6 D. 如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列 10. （多选）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同 C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同 D. 在，两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同 11. 下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数的单调增区间为 C. 一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是 D. ，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等差数列中，，，则的前和为______. 13. 已知函数在处取得极小值，则的值为______． 14. 已知函数，若在上存在零点，则实数a的最大值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 16. 已知等差数列的前9项和，且．若数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 17. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”． （1）已知等比数列满足：．求证：数列为“数列”； （2）已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和． ①求数列的通项公式； ②设为正整数，若存在“-数列”（），对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值． 18. 已知. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若对任意的，且，都有，求实数的取值范围. 19. 已知. （1）求的极值； （2）画出函数的大致图象；（注意：需要说明函数图象的变化趋势） （3）若函数至多有一个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $