2025年九年级中考数学复习 第10讲 一次函数的图象与性质（讲义）

第10讲 一次函数的图象与性质 目 录 学科网（北京）股份有限公司 考点一 一次函数的相关概念 题型01 根据一次函数的定义求参数值 题型02 求一次函数的自变量或函数值 考点二 一次函数的图象与性质 题型01 判断一次函数图象 题型02 根据一次函数图象解析式判断象限 题型03 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围 题型04 一次函数与坐标轴交点问题 题型05 判断一次函数增减性 题型06 根据一次函数增减性判断参数取值范围 题型07 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况 题型08 一次函数的平移问题 题型09 求一次函数解析式 题型10 一次函数应用题 题型11 一次函数的新定义问题 考点三 一次函数与方程（组）、不等式 题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点 题型03 利用图象法解一元一次方程 题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型05 图象法解二元一次方程组 题型06 求两直线与坐标轴围成的图形面积 题型07 由直线与坐标轴交点求不等式的解集 题型08 根据两条直线交点求不等式的解集 学科网（北京）股份有限公司 考点一 一次函数的相关概念 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）. 1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数. 3. 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量x出现在分母，根号内，则需考虑以下情况： 1）整个分母不能等于0； 2）根号里的整个式子要大于或等于0. 4. 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式. 题型01 根据一次函数的定义求参数值 【例1】（2023·湖南长沙·校考一模）函数的图像经过点，则k的值为（　　） A．1 B． C． D． 【变式1-1】（2023下·全国·九年级专题练习）若直线经过点和，且，则n的值可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】（2023·安徽合肥·校考三模）已知点在一次函数上，且，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·四川德阳·中考真题）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （    ） A． B． C． D． 题型02 求一次函数的自变量或函数值 【例2】（2024·吉林长春·中考真题）已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【变式2-1】（2024·甘肃·中考真题）已知一次函数，当自变量时，函数y的值可以是 （写出一个合理的值即可）． 【变式2-1】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）若方程的解，是一个一次函数的函数值为2时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是（    ） A． B． C． D． 考点二 一次函数的图象与性质 一、一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 二、一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 五、用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 六、正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴. 2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关. 3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析. 4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=. 题型01 判断一次函数图象 【例1】（2023·湖北武汉·模拟预测）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的函数是一次函数．这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·浙江丽水·统考一模）将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表面刚好离开水面，停止计时．用表示圆柱体运动时间，表示水面的高度，则与之间函数关系的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【变式1-2】（2023·福建漳州·统考模拟预测）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，则关于与的关系，正确的是（    ）    A． B． C． D．    【变式1-3】（2023·浙江温州·统考一模）在平面直角坐标系中，有四个点，，，，其中不在同一个一次函数图象上的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 ． 【变式1-4】（2023·安徽滁州·校联考一模）已知一次函数的图象经过点，其中，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A．B．C． D． 题型02 根据一次函数图象解析式判断象限 【例2】（2023·新疆·统考中考真题）一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）已知正比例函数中，随的增大而增大，则一次函数的图象所经过的象限是（    ） A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四 【变式2-2】（2023·甘肃武威·统考中考真题）若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（    ） A． B． C． D．2 【变式2-3】（2023·浙江衢州·统考二模）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象过点，则该函数图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-4】（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）一元二次方程有两个实数根a，b，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-5】（2023·四川广安·统考一模）若反比例函数的图像经过点，则一次函数的图像不经过（    ）象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型03 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围 【例3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）若正比例函数的图象经过点，且经过第二、四象限，则k的值是（　　） A． B． C．3 D．或3 【变式3-1】（2023·江苏苏州·统考中考真题）已知一次函数的图象经过点和，则________________． 【变式3-2】（2023·浙江杭州·统考一模）已知与成正比例，且当时，．若关于的函数图象经过二、三、四象限，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． ． 【变式3-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 对于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限. 题型04 一次函数与坐标轴交点问题 【例4】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）一次函数和（k、b为常数）的图象关于y轴对称，则k，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·陕西西安·校考二模）在平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移3个单位长度，则平移后的图象与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023·陕西渭南·统考二模）若直线与直线关于x轴对称，则与的交点坐标是(    ) A． B． C． D． 【变式4-3】（2023·福建莆田·校考模拟预测）已知直线l：与直线关于x轴对称，则直线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，直线交两坐标轴于两点，点为直线上一点，则线段的最小值是 ．    【变式4-5】（2023·河北唐山·模拟预测）已知，一次函数的图象经过点和点， (1)求这个一次函数的表达式，并求出图象与轴、轴的交点坐标， (2)如果正比例函数与所求的一次函数平行，请直接写出的值、 (3)在同一平面直角坐标系中画出（1），（2）中的一次函数图象和正比例函数图象． 题型05 判断一次函数增减性 【例5】（2023·全国·九年级假期作业）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，下列说法错误的是（　　）    A．点A的坐标是 B．的面积是3 C．当时，函数值 D．y随x的增大而减小 【变式5-1】（2023·浙江·一模）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式5-2】（2023·陕西咸阳·二模）已知正比例函数的图象经第二、四象限，若点，都在一次函数图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2022下·吉林松原·九年级校考阶段练习）一次函数的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 【变式5-4】（2023上·浙江金华·九年级统考期末）在下列一次函数中，其图象过点且y随x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 题型06 根据一次函数增减性判断参数取值范围 【例6】（2022·陕西西安·统考二模）若正比例函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2023·陕西西安·西安市第二十六中学校考模拟预测）一次函数的图象经过点，若自变量的取值范围是，则的最小值是（    ） A． B． C．7 D．11 【变式6-2】（2023下·全国·九年级期末）已知是一次函数图象上的不同的两个点，若，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（2023·河南·九年级统考学业考试）已知点在直线上，且，则的取值范围是 ． 【变式6-4】（2023·河南·九年级统考学业考试）已知点在直线上，且，则的取值范围是 ． 对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 题型07 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况 【例7】（2023·江苏连云港·统考二模）一次函数的图像经过点，当时，x的取值范围是 ． 【变式7-1】（2021·江苏苏州·统考中考真题）若，且，则的取值范围为 ． 【变式7-2】（2022·江苏苏州·苏州市第十六中学校考一模）若2x-y＝1．且0<y<1．则x的取值范围为 ． 题型08 一次函数的平移问题 【例8】（2023·陕西西安·校考一模）将直线向左平移3个单位，向上平移2个单位后得到的直线是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）将正比例函数向上平移1个单位长度，则平移后的函数图象与一次函数的图象的交点不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式8-2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）把直线沿着轴平移后得到直线，直线经过点，且，则直线的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2023·陕西咸阳·校考二模）在平面直角坐标系中，将直线向右平移2个单位长度后所得的直线经过坐标原点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式8-4】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，将直线向右平移2个单位，平移后的直线经过第四象限，则b的值不可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-5】（2022·上海徐汇·统考二模）将函数的图像向下平移2个单位后，经过点，那么y的值随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 题型09 求一次函数解析式 【例9】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示，则下列说法不正确的是（    ）    A．第10天销售20千克 B．第7天和第16天的日销售量相同 C．一天最多销售30千克 D．第16天比第1天多销售22千克 【变式9-1】2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）已知点，在一次函数的图象上，且点与点关于轴对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）直线交轴于，交轴于，直线绕原点旋转180度后的直线解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2023·湖北宜昌·统考中考真题）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/ 10 30 50 70 90    (1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是_________函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）； (2)根据以上判断，求y关于t的函数解析式； (3)当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 【变式9-4】．（2023·浙江·统考中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：    (1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多； (2)求方案二y关于x的函数表达式； (3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案． 【变式9-5】（2023·黑龙江·统考中考真题）已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：    (1)图中的值是__________； (2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式； (3)直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距． 【变式9-6】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用、两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．型车每辆租金元，型车每辆租金元．若辆型和辆型车坐满后共载客人；辆型和辆型车坐满后共载客人．    (1)每辆型车、型车坐满后各载客多少人？ (2)若该校计划租用型和型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全校人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ (3)在这次活动中，学校除租用、两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为千米，甲车从学校出发小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距千米． 题型10 一次函数应用题 【例10】（2024·四川广元·中考真题）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【变式10-1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等． (1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； (2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 【变式10-2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ (3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 【变式10-3】（2024·黑龙江绥化·中考真题）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车．若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元；若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元．已知这两种电动车的单价不变． (1)求、两种电动车的单价分别是多少元？ (2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ (3)该公司将购买的、两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用元与骑行时间之间的对应关系如图．其中种电动车支付费用对应的函数为；种电动车支付费用是之内，起步价元，对应的函数为．请根据函数图象信息解决下列问题．      ①小刘每天早上需要骑行种电动车或种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为3（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为，那么小刘选择______种电动车更省钱（填写或）． ②直接写出两种电动车支付费用相差元时，的值______． 【变式10-4】（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【变式10-5】（2024·四川眉山·中考真题）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元． (1)求，两款文创产品每件的进价各是多少元？ (2)已知，文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【变式10-6】39．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 22 乙 25 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元． (1)求的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 题型11 一次函数的新定义问题 【例11】（2022·贵州遵义·统考一模）定义新运算：．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象经过第二、四象限 B．函数的图象经过点 C．y随x的增大而增大 D．函数的图象是双曲线 【变式11-1】（2022·江苏宿迁·统考二模）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的等和点．已知：点，如、都是点的等和点．若点在直线上，点的等和点也是点的等和点，则点的坐标（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2023·上海嘉定·统考二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是 ． 【变式11-3】（2023·江苏苏州·统考一模）对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数．其中，的最小值称为这个函数的边界值．若函数（，且）中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是 ． 考点三 一次函数与方程（组）、不等式 一、一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 二、一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 二、一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 1） 二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法 题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 【例1】（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）一次函数的图象与轴交于点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·浙江台州·统考一模）如图，直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（    ）． A．1 B． C．2 D． 题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点 【例2】（2021·安徽合肥·统考二模）若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·浙江嘉兴·统考一模）在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别是，，则木杆在x轴上的投影的长是（    ） A．4 B． C． D．5 题型03 利用图象法解一元一次方程 【例3】（2023·湖北鄂州·统考中考真题）1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：    (1)___________，___________； (2)请分别求出，与x的函数关系式； (3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？ 【变式3-1】如图，直线y＝kx+b(k≠0)经过点P(﹣3，2)，则关于x的方程kx+b＝2的解是（    ） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定 题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解 【例4】（2022·湖北武汉·统考模拟预测）1号探测气球从海拔处出发，以的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，两个气球都上升了．如图是两个气球所在位置的海拔y（单位：）与上升时间x（单位：）的函数图象，则两图象交点P的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【变式4-1】（2022·福建泉州·校考模拟预测）一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线．已知如图过第一象限上A点的直线是方程的图象，若点A的坐标恰为关于x，y的二元一次方程组的解，则a的值可能是（    ）    A． B．0 C．1 D．2 键． 【变式4-2】（2023·陕西榆林·校考三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，则关于的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2023·湖北鄂州·统考中考真题）1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：    (1)___________，___________； (2)请分别求出，与x的函数关系式； (3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？ 题型05 图象法解二元一次方程组 【例5】（2021·广东广州·统考二模）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 【变式5-1】（2020·陕西西安·高新一中校考模拟预测）若直线l1经过点（﹣1，0），l2经过点（2，2），且l1与l2关于直线x＝1对称，则l1和l2的交点坐标为（　　） A．（1，4） B．（1，2） C．（1，0） D．（1，3） 【变式5-2】（2020蓬江区二模）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　）                       A． B． C． D． 题型06 求两直线与坐标轴围成的图形面积 【例6】（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ． 【变式6-1】（2023·辽宁沈阳·校联考一模）直线和在直角坐标系中的位置如图所示，则直线和与y轴围成的图形的面积为（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式6-2】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知一次函数与的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积是(   ) A．12 B．13 C．16 D．18 【变式6-3】（2023·内蒙古包头·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点A，与轴相交于点，四边形是平行四边形，直线经过点，且与轴相交于点与相交于点，记四边形，的面积分别为，则等于（    ）    A． B． C． D． 题型07 由直线与坐标轴交点求不等式的解集 【例7】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，一次函数的图象过点，则不等式的解是（　　）    A． B． C． D． 【变式7-1】（2023·陕西商洛·校考三模）如图，一次函数的图象与轴交于点，当时，自变量的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【变式7-2】（2023·山东淄博·统考一模）已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 题型08 根据两条直线交点求不等式的解集 【例8】（2023·广东深圳·校考一模）如图所示，一次函数（k，b是常数）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（　　）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【变式8-1】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$第10讲 一次函数的图象与性质 目 录 学科网（北京）股份有限公司 考点一 一次函数的相关概念 题型01 根据一次函数的定义求参数值 题型02 求一次函数的自变量或函数值 考点二 一次函数的图象与性质 题型01 判断一次函数图象 题型02 根据一次函数图象解析式判断象限 题型03 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围 题型04 一次函数与坐标轴交点问题 题型05 判断一次函数增减性 题型06 根据一次函数增减性判断参数取值范围 题型07 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况 题型08 一次函数的平移问题 题型09 求一次函数解析式 题型10 一次函数应用题 题型11 一次函数的新定义问题 考点三 一次函数与方程（组）、不等式 题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点 题型03 利用图象法解一元一次方程 题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型05 图象法解二元一次方程组 题型06 求两直线与坐标轴围成的图形面积 题型07 由直线与坐标轴交点求不等式的解集 题型08 根据两条直线交点求不等式的解集 学科网（北京）股份有限公司 考点一 一次函数的相关概念 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）. 1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数. 3. 一次函数本身对自变量没有取值范围的要求，但是如果一次函数中的自变量x出现在分母，根号内，则需考虑以下情况： 1）整个分母不能等于0； 2）根号里的整个式子要大于或等于0. 4. 判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式. 题型01 根据一次函数的定义求参数值 【例1】（2023·湖南长沙·校考一模）函数的图像经过点，则k的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将图像上的点代入解析式求解即可． 【详解】一次函数的图像经过点， ， 解得． 故选B． 【点睛】本题考查函数图像的性质，图像上的点的横纵坐标符合解析式方程．将点的坐标代入解析式方程求解参数是解题的关键． 【变式1-1】（2023下·全国·九年级专题练习）若直线经过点和，且，则n的值可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意得出，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 解得：， ， ， ， 可以是5，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，利用函数图象上的点满足函数关系式，用n表示出k，得到关于n的不等式是解题的关键． 【变式1-2】（2023·安徽合肥·校考三模）已知点在一次函数上，且，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入一次函数，根据可求出的取值范围，再根据不等式的性质即可求解. 【详解】解：将点代入一次函数， ， ， ， ， . ， . 不等式两边同时除以得. 故选：A. 【点睛】本题考查了一次函数与不等式性质的综合，解题的关键在于熟练掌握不等式的性质. 【变式1-3】（2024·四川德阳·中考真题）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质：当，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质得到，然后在此范围内进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限， ∴， ∴选项A符合题意． 故选：A． 【变式1-4】（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∴，， 设正比例函数的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故选A． 题型02 求一次函数的自变量或函数值 【例2】（2024·吉林长春·中考真题）已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，由y随x的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出，若代入，求出b值即可． 【详解】解：∵直线（k、b是常数）经过点， ∴． ∵y随x的增大而减小， ∴， 当时，， 解得：， ∴b的值可以是2． 故答案为：2（答案不唯一） 【变式2-1】（2024·甘肃·中考真题）已知一次函数，当自变量时，函数y的值可以是 （写出一个合理的值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据，选择，此时，解答即可．本题考查了函数值的计算，正确选择自变量进行计算是解题的关键． 【详解】根据，选择，此时， 故答案为：． 【变式2-1】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）若方程的解，是一个一次函数的函数值为2时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，再分别求出各选项在时的函数值，即可得到答案． 【详解】解：由得， 当时， ，故A符合题； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的表达式及解一元一次方程，根据题意得出是解题的关键． 考点二 一次函数的图象与性质 一、一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 二、一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 五、用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 六、正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 1. 正比例函数y= kx中，|k|越大，直线y= kx越靠近y轴；反之，|y|越小，直线y= kx越靠近x轴. 2. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关. 3. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析. 4. 一次函数y= kx+b（k≠0）与x轴交于(, 0)，与y轴交于(0，b)，且这两个交点与坐标轴原点构成的三角形面积为s=. 题型01 判断一次函数图象 【例1】（2023·湖北武汉·模拟预测）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的函数是一次函数．这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图像中每段的上升速度分析解答即可． 【详解】解：由一次函数图像可知，一次函数图像为直线，即容器内的水面为匀速上升状态， A项，杯子的杯身粗细一样，匀速注水时，水面即时匀速上升，即水面高度随时间的函数图像是直线，故是一次函数，故此项符合题意； B项，杯子的杯身下细上粗，匀速注水时，水面上升速度先快后慢，即水面高度随时间的函数图像不是直线，故不是一次函数，即此项不符合题意； C项，杯子的杯身下细上粗，匀速注水时，水面上升速度先快后慢，即水面高度随时间的函数图像不是直线，故不是一次函数，即此项不符合题意； D项，杯子的杯身下细中间粗上细，匀速注水时，水面上升速度先快后慢再变快，即水面高度随时间的函数图像不是直线，故不是一次函数，即此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了利用函数图像判断容器，正确理解函数图像的上升速度与容器的粗细之间的关系是解题的关键． 【变式1-1】（2023·浙江丽水·统考一模）将一圆柱体从水中匀速提起，从如图所示开始计时，直至其下表面刚好离开水面，停止计时．用表示圆柱体运动时间，表示水面的高度，则与之间函数关系的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】设刚开始时水高为，大水桶底面积为，圆柱体底面积为，速度为，当圆柱体上表面未离开水面时，体积不变，水高不变，，当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得，，整理得，，根据函数解析式确定函数图象即可． 【详解】解：设刚开始时水高为，大水桶底面积为，圆柱体底面积为，速度为， 当圆柱体上表面未离开水面时，体积不变，水高不变，， 当上表面开始离开水面，直至其下表面刚好离开水面时，由题意得，，整理得，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴可知与之间函数关系的图象大致为先保持不变，然后随的增大而减小， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象．解题的关键在于正确的表示数量关系． 【变式1-2】（2023·福建漳州·统考模拟预测）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，则关于与的关系，正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解． 【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为m的两个点A和B， 则，， ∵， ∴， 当取横坐标为正数时，同理可得， 综上所述， 故选：D    【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系． 【变式1-3】（2023·浙江温州·统考一模）在平面直角坐标系中，有四个点，，，，其中不在同一个一次函数图象上的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中描出各点，再根据一次函数图象是直线，即可进行解答． 【详解】解：如图，在平面直角坐标系中描出各点， 由图可知：点C和点A、B、D不在同一个一次函数图象上． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象是直线． 【变式1-4】（2023·安徽滁州·校联考一模）已知一次函数的图象经过点，其中，，则关于的一次函数和的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数的图象经过点，，进而推出一次函数的图象经过定点，则一次函数一定经过第二象限，同理得到一次函数的图象经过定点，则一次函数必定经过第三象限，再由，得到一次函数与一次函数与y轴的交点坐标不相同，由此即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴在一次函数中，，即，对于任意实数，恒有当时，， ∴一次函数的图象经过定点； ∴一次函数一定经过第二象限， 当时，即，在一次函数中，，即，对于任意实数，恒有当时，， ∴一次函数的图象经过定点， ∴一次函数必定经过第三象限， 又∵， ∴一次函数与一次函数与y轴的交点坐标不相同， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，正确判断出两个一次函数分别要经过第二象限，第三象限是解题的关键． 题型02 根据一次函数图象解析式判断象限 【例2】（2023·新疆·统考中考真题）一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据即可求解． 【详解】解：∵一次函数中， ∴一次函数的图象不经过第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【变式2-1】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）已知正比例函数中，随的增大而增大，则一次函数的图象所经过的象限是（    ） A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四 【答案】B 【分析】根据题意以及正比例函数的性质，得出，进而即可求解． 【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴， ∴一次函数的图象所经过的象限是一、二、四， 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质与一次函数的性质，得出是解题的关键． 【变式2-2】（2023·甘肃武威·统考中考真题）若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】通过经过的象限判断比例系数k的取值范围，进而得出答案． 【详解】∵直线（是常数，）经过第一、第三象限， ∴， ∴的值可为2， 故选：D． 【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键． 【变式2-3】（2023·浙江衢州·统考二模）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象过点，则该函数图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先求出一次函数的解析式，然后判断一次函数图像不经过得象限解题． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴ ∴一次函数的图象过不经过第四象限， 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的图像，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 【变式2-4】（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）一元二次方程有两个实数根a，b，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据根与系数的关系即可求出与的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：由根与系数的关系可知：，， ∴ ∴一次函数解析式为：， 故一次函数的图象一定不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质． 【变式2-5】（2023·四川广安·统考一模）若反比例函数的图像经过点，则一次函数的图像不经过（    ）象限． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先确定反比例函数解析式，从而可得一次函数解析式，进而求解． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， ∴该直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，解题关键是掌握函数与方程的关系，掌握一次函数图像与系数的关系． 题型03 已知函数经过的象限求参数的值或取值范围 【例3】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）若正比例函数的图象经过点，且经过第二、四象限，则k的值是（　　） A． B． C．3 D．或3 【答案】B 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，结合正比例函数图象经过第二、四象限，即可确定k的值． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 又∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于k的方程是解题的关键． 【变式3-1】（2023·江苏苏州·统考中考真题）已知一次函数的图象经过点和，则________________． 【答案】 【分析】把点和代入，可得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，即， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键． 【变式3-2】（2023·浙江杭州·统考一模）已知与成正比例，且当时，．若关于的函数图象经过二、三、四象限，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例的性质列出解析式，根据一次函数经过的象限求得的范围，即可求解． 【详解】解：∵与成正比例， ∴， 即， 当时，， 即， ∴ ∵若关于的函数图象经过二、三、四象限， ∴ 解得： ∵ ∴ 即 解得： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【变式3-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用一次函数图象上点的坐标特征得到，再利用一次函数与系数的关系得到，，则的范围为，接着用表示，然后根据一次函数的性质求的范围． 【详解】解：把代入得，， 因为直线经过第一、二、三象限， 所以，，即， 所以的范围为， 因为， 所以的范围为． 故选：B． 对于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限. 题型04 一次函数与坐标轴交点问题 【例4】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）一次函数和（k、b为常数）的图象关于y轴对称，则k，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出与y轴的交点坐标，将其代入即可求出b的值，再求出与x轴的交点，根据轴对称的性质，得出与x轴交点，将其代入即可求出k的值． 【详解】解：把代入得：， ∴一次函数与y轴相交于， ∵一次函数和（k、b为常数）的图象关于y轴对称， ∴与y轴相交于， 把代入得， ∴一次函数和的图象关于y轴对称， 把代入得：， 解得：， ∴与x轴相交于， ∴一次函数与x轴相交于， 把代入， 解得：， 综上：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数与坐标轴交点坐标的求法，以及关于y轴对称点的坐标特征． 【变式4-1】（2023·陕西西安·校考二模）在平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移3个单位长度，则平移后的图象与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】解：将函数的图象向右平移3个单位长度，得到， 当时， 解得： ∴平移后的图象与轴的交点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握平移规律是解题的关键． 【变式4-2】（2023·陕西渭南·统考二模）若直线与直线关于x轴对称，则与的交点坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得直线与y轴的交点为，根据对称的性质得出点关于x轴对称的对称点，再根据待定系数法确定直线的关系式，求出直线与x轴的交点即可． 【详解】解：由直线可知，直线与y轴的交点为， ∴点关于x轴的对称点在直线上， ∴， 故直线的解析式为：， 令，则， 即与的交点坐标为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换以及坐标与图形的性质，正确得出与的交点坐标为与与x轴的交点是解题关键． 【变式4-3】（2023·福建莆田·校考模拟预测）已知直线l：与直线关于x轴对称，则直线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在直线l上找两点、，这两点关于x轴的对称点为、，再利用待定系数法求直线的解析式即可． 【详解】∵直线l的解析式为， ∴当时，；当时，， ∴点、在直线l上， ∵直线l与直线关于x轴对称， ∴点、关于x轴对称的点为、， 设直线的解析式为，得，解得：， ∴直线的解析式为， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的性质以及待定系数法，找到两个对称点的坐标是解题的关键． 【变式4-4】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，直线交两坐标轴于两点，点为直线上一点，则线段的最小值是 ．    【答案】/2.4/ 【分析】根据点到直线的最小距离，再根据一次函数与坐标轴的交点坐标得到，，最后利用勾股定理得到即可解答． 【详解】解：当时，的值最小， ∴为最小值， ∵直线交两坐标轴于两点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为；    【点睛】本题考查了点到直线的最小距离，一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，直角三角形的面积，学会求一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 【变式4-5】（2023·河北唐山·模拟预测）已知，一次函数的图象经过点和点， (1)求这个一次函数的表达式，并求出图象与轴、轴的交点坐标， (2)如果正比例函数与所求的一次函数平行，请直接写出的值、 (3)在同一平面直角坐标系中画出（1），（2）中的一次函数图象和正比例函数图象． 【答案】(1)，轴、轴的交点坐标分别为：，，图象见详解 (2) (3)见详解 【分析】（1）利用待定系数法即可求出一次函数的表达式，问题随之得解； （2）将（1）中所得直线函数，再通过平移即可得到，可知两个直线的自变量系数相同，问题随之得解； （3）按要求作图即可． 【详解】（1）设一次函数解析式为：， ∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得：， 即一次函数的解析式为：， 当时，， 当时，，解得：， 即图象与轴、轴的交点坐标分别为：，， 作图如下：    （2）将一次函数向上平移3个单位可得正比例函数， ∵平行的两条直线通过平移可以重合， 又∵正比例函数与一次函数平行， ∴一次函数通过平移得到正比例函数， ∴正比例函数的解析式为：， ∴； （3）作图如下：    【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解一次函数解析式，一次函数的平移等知识，掌握平行的两条直线通过平移可以重合，待定系数法，是解答本题的关键． 题型05 判断一次函数增减性 【例5】（2023·全国·九年级假期作业）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，下列说法错误的是（　　）    A．点A的坐标是 B．的面积是3 C．当时，函数值 D．y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】A．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A的坐标； B．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积； C．利用不等式的性质，可得出当当时，； D．利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大． 【详解】解：A．当时，， 解得：， ∴点A的坐标为，选项A不符合题意； B．当时，， ∴点B的坐标为， ∴的面积为，选项B不符合题意； C．当时，， ∴当时，，选项C不符合题意； D．∵， ∴y随x的增大而增大，选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质以及三角形的面积，注意分析各选项的正误是解题的关键． 【变式5-1】（2023·浙江·一模）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据一次函数图象的性质，函数值随自变量的变化而变化的规律判断选项的正误． 【详解】解：， ， 一次函数的图象如图，      若，则或，A选项错误，不合题意； 若，则或，B选项错误，不合题意； 若，则或，C选项错误，不合题意； 若，则，D选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的特点，解题的关键是掌握一次函数图象的性质． 【变式5-2】（2023·陕西咸阳·二模）已知正比例函数的图象经第二、四象限，若点，都在一次函数图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的图象经第二、四象限，判断出，可知的图象中，y随x值的增大而减小，由此可解． 【详解】解： 的图象经第二、四象限， ， 的图象中，y随x值的增大而减小， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是根据经过的象限判断出k值的正负． 【变式5-3】（2022下·吉林松原·九年级校考阶段练习）一次函数的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将四个选项中点的坐标代入函数解析式，求出k的值，根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：A、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而减小，选项A符合题意； B、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而增大，选项B不符合题意； C、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而增大，选项C不符合题意； D、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性，一次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【变式5-4】（2023上·浙江金华·九年级统考期末）在下列一次函数中，其图象过点且y随x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一次函数，时，y随x的增大而减小，找出各选项中k值小于0的选项，再把点代入，符合的函数解析式即为答案． 【详解】解：y随x的增大而减小， 该一次函数的一次项系数小于0，由此排除A，B， 对于，当时，， 的图象不过点，由此排除D， 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是能够根据k值判断一次函数图象的增减性． 题型06 根据一次函数增减性判断参数取值范围 【例6】（2022·陕西西安·统考二模）若正比例函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：当时，， 随x的增大而减小， 则，解得． 故选：D ． 【点睛】本题考查正比例函数的增减性，解题关键是根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号． 【变式6-1】（2023·陕西西安·西安市第二十六中学校考模拟预测）一次函数的图象经过点，若自变量的取值范围是，则的最小值是（    ） A． B． C．7 D．11 【答案】B 【分析】先根据一次函数的图象经过点求出一次函数的解析式，从而得到随的增大而减小，由于自变量的取值范围是，因此当时，最小为，即可得到答案． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， ， 一次函数的解析式为：， 随的增大而减小， 自变量的取值范围是， 当时，最小为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，使用待定系数法求出一次函数的解析式，从而得到一次函数的增减性，是解题的关键． 【变式6-2】（2023下·全国·九年级期末）已知是一次函数图象上的不同的两个点，若，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将点A，点B坐标代入解析式可求，即可求解． 【解答】解：∵是一次函数图象上的不同的两个点， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，求出是关键，是一道基础题． 【变式6-3】（2023·河南·九年级统考学业考试）已知点在直线上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线中，得到随的增大而减小，由即可得到的取值范围． 【详解】解：对于直线来说， ∵， ∴随的增大而减小． ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了利用一次函数的性质比较自变量的大小，对于一次函数来说，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 【变式6-4】（2023·河南·九年级统考学业考试）已知点在直线上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线中，得到随的增大而减小，由即可得到的取值范围． 【详解】解：对于直线来说， ∵， ∴随的增大而减小． ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了利用一次函数的性质比较自变量的大小，对于一次函数来说，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 对于一次函数y=kx+b(k≠0)来说，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 题型07 根据一次函数增减性判断自变量的变化情况 【例7】（2023·江苏连云港·统考二模）一次函数的图像经过点，当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将点的坐标代入解析式即可求得a的值，然后根据一次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：，解得：， ∵， ∴y随x增大而增大， ∴当时，x的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是首先正确的确定次函数的解析式，难度不大． 【变式7-1】（2021·江苏苏州·统考中考真题）若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据可得y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案． 【详解】解：根据可得y＝﹣2x+1， ∴k＝﹣2＜0 ∵， ∴当y＝0时，x取得最大值，且最大值为， 当y＝1时，x取得最小值，且最小值为0， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【变式7-2】（2022·江苏苏州·苏州市第十六中学校考一模）若2x-y＝1．且0<y<1．则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据可得y＝2x-1，k＝2>0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案． 【详解】解：根据可得y＝2x﹣1， ∴k＝2>0 ∵， ∴当y＝0时，x取得最小值，且最大值为， 当y＝1时，x取得最大值，且最小值为1， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 题型08 一次函数的平移问题 【例8】（2023·陕西西安·校考一模）将直线向左平移3个单位，向上平移2个单位后得到的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律来解答． 【详解】解：将直线向左平移3个单位，得，即， 再向上平移2个单位，得，即． 故选A． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减、上加下减”的原则是解答此题的关键． 【变式8-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）将正比例函数向上平移1个单位长度，则平移后的函数图象与一次函数的图象的交点不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】首先求得平移后的一次函数的解析式为，根据函数不经过第四象限，即可得出结论． 【详解】解：将正比例函数向上平移1个单位长度得到， 一次函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 平移后的函数图象与一次函数的图象的交点不可能在第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键． 【变式8-2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）把直线沿着轴平移后得到直线，直线经过点，且，则直线的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移规律“上加下减”得到直线的解析式，然后根据已知条件列出关于、的方程组，通过解方程组求得系数的值． 【详解】解：设沿着轴平移后得到直线，则直线的解析式可设为， 把点代入，得，． 联立， 解得． 直线的解析式为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数、为常数，的图象为直线，当直线平移时不变，当向上平移个单位，则平移后直线的解析式为． 【变式8-3】（2023·陕西咸阳·校考二模）在平面直角坐标系中，将直线向右平移2个单位长度后所得的直线经过坐标原点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意得，平移后的直线的解析式为，将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意得，平移后的直线的解析式为， 将代入得，，解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式8-4】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，将直线向右平移2个单位，平移后的直线经过第四象限，则b的值不可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先根据平移规律得出直线向右平移2个单位的直线解析式，根据一次函数的图象可得b的取值范围，即可解答． 【详解】解：将直线向右平移2个单位，得到直线， ∵且平移后的直线经过第四象限， ∴， 解得：， ∴b的值不可能为6， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移和一次函数的图象，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． 【变式8-5】（2022·上海徐汇·统考二模）将函数的图像向下平移2个单位后，经过点，那么y的值随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】根据函数图像的平移可知，将函数的图像向下平移2个单位后表达式为，把点代入一次函数得到关于的一元一次方程，解之，通过的正负情况即可得到答案． 【详解】解：根据函数图像的平移可知，将函数的图像向下平移2个单位后表达式为， 图象经过点， ，解得，即函数为， ， y的值随x的增大而增大， 故答案为：增大． 【点睛】本题考查了函数图像的平移和正比例函数的增减性，涉及到解一元一次方程，正确掌握代入法和正比例函数的增减性是解题的关键． 题型09 求一次函数解析式 【例9】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示，则下列说法不正确的是（    ）    A．第10天销售20千克 B．第7天和第16天的日销售量相同 C．一天最多销售30千克 D．第16天比第1天多销售22千克 【答案】B 【分析】根据图象分别求出当时，当时的函数解析式，逐项进行计算即可求解． 【详解】设， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，，即第10天销售20千克，故A正确，不符合题意； 当时，，即第7天销售14千克， 当时，，即第1天销售2千克， 当时，设， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，，即第16天销售24千克 ∴第7天和第16天的日销售量不相同，故B错误，符合题意； 由图得，一天最多销售30千克，故C正确，不符合题意； ∵千克， ∴第16天比第1天多销售22千克，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，从函数图象获取信息，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式9-1】2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）已知点，在一次函数的图象上，且点与点关于轴对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由对称求出点坐标，代入求出函数解析式，再根据一次函数的图象即可求出的值． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴， ∵点在一次函数的图象上， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为：， 又∵点在一次函数的图象上， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了一次函数的知识，关于轴对称点的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，点的对称性，从而完成求解． 【变式9-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）直线交轴于，交轴于，直线绕原点旋转180度后的直线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，的坐标，再求得，绕原点旋转180度后的坐标，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：直线交轴于，交轴于， 当时，，当时，， ，， ，绕原点旋转180度后的坐标为，， 设旋转后的直线解析式为，则， 解得：， 旋转后的直线解析式为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换，明确关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【变式9-3】（2023·湖北宜昌·统考中考真题）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/ 10 30 50 70 90    (1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是_________函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）； (2)根据以上判断，求y关于t的函数解析式； (3)当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 【答案】(1)一次；(2)；(3)当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为 【分析】（1）根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可． （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入函数关系式，求出函数值即可． 【详解】（1）由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加，油的温度就升高， 故可知可能是一次函数关系， 故答案为：一次； （2）设这个一次函数的解析式为， 当时，；当时，， ，解得， ∴y关于t的函数解析式为； （3）当时， 答：当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为． 【点睛】本题考查函数的表示方法以及求函数值；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． 【变式9-4】．（2023·浙江·统考中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：    (1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多； (2)求方案二y关于x的函数表达式； (3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案． 【答案】(1)30件；(2)；(3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一 【分析】（1）由图象的交点坐标即可得到解答； （2）由图象可得点，设方案二的函数表达式为，利用待定系数法即可得到方案二y关于x的函数表达式； （3）利用图象的位置关系，结合交点的横坐标即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象可知交点坐标为，即员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多； （2）由图象可得点，设方案二的函数表达式为， 把代入上式，得 解得 ∴方案二的函数表达式为． （3）若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二； 若每月生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种； 若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一． 【点睛】此题考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用等知识，从函数图象获取正确信息和掌握待定系数法是解题的关键． 【变式9-5】（2023·黑龙江·统考中考真题）已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：    (1)图中的值是__________； (2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式； (3)直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距． 【答案】(1)120；(2)；(3)或 【分析】（1）利用待定系数法求得的解析式，将代入解析式，解方程即可解答； （2）根据题意可得的值，即为货车装货时距离乙地的长度，结合货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，可求出装货时间，即点的坐标，再根据货车继续出发后与出租车相遇，求出装完货后货车的速度，即直线的解析式中的值，最后将点B坐标代入直线的解析式，利用待定系数法即可解答； （3）根据（2）中直线的解析式求得点的坐标，结合题意，可得点的坐标，从而可得到出租车返回时的速度，然后进行分类讨论：①出租车和货车第二次相遇前，相距时；②出租车和货车第二次相遇后，距离时，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：结合图象，可得， 设直线的解析式为， 将代入解析式，可得，解得， 直线的解析式为， 把代入，得， 故答案为：120； （2）解：根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距， 可得此时出租车距离乙地为， 出租车距离甲地为， 把代入，可得，解得， 货车装完货时，，可得， 根据货车继续出发后与出租车相遇，可得（出租车的速度货车的速度）， 根据直线的解析式为，可得出租车的速度为， 相遇时，货车的速度为， 故可设直线的解析式为， 将代入，可得，解得， 直线的解析式为， 故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式为； （3）解：把代入，可得，解得， ， ， 根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得, ， 出租车返回时的速度为， 设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距， 此时货车距离乙地为，出租车距离乙地为， ①出租车和货车第二次相遇前，相距时； 可得， 解得， ②出租车和货车第二次相遇后，相距时； 可得， 解得， 故在出租车返回的行驶过程中，货车出发或与出租车相距． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应用，能准确地理解题意，根据题中信息求得所需数据是解题的关键． 【变式9-6】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用、两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．型车每辆租金元，型车每辆租金元．若辆型和辆型车坐满后共载客人；辆型和辆型车坐满后共载客人．    (1)每辆型车、型车坐满后各载客多少人？ (2)若该校计划租用型和型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全校人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ (3)在这次活动中，学校除租用、两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为千米，甲车从学校出发小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距千米． 【答案】(1)每辆型车、型车坐满后各载客人、人；(2)共有种租车方案，租辆型车，辆型车最省钱；(3)在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距千米 【分析】（1）设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整数解即可得出的值，设总租金为元，根据一次函数的性质即可求解； （3）设，，由题意可知，甲车的函数图像经过；乙车的函数图像经过，两点．求出函数解析式，进而即可求解． 【详解】（1）解：设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意得      解得     答：每辆型车、型车坐满后各载客人、人 （2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意得   解得：     取正整数， ，，， 共有种租车方案     设总租金为元，则 随着的增大而减小 时，最小 租辆型车，辆型车最省钱 （3）设，． 由题意可知，甲车的函数图象经过；乙车的函数图象经过，两点． ∴，     ，即 解得     或 解得 所以，在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距25千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键． 题型10 一次函数应用题 【例10】（2024·四川广元·中考真题）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】(1)长款服装购进30件，短款服装购进20件； (2)当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设购进服装x件，购进长款服装y件，根据“用4300元购进长、短两款服装共50件，”列二元一次方程组计算求解； （2）设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据“第二次进货总价不高于16800元”列不等式计算求解，然后结合一次函数的性质分析求最值． 【详解】（1）解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件， 由题意可得， 解得， 答：长款服装购进30件，短款服装购进20件． （2）解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴（元）． 答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【变式10-1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等． (1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； (2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 【答案】(1)甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米； (2)15天的工期，两队最多能修复公路千米． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可； （2）设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，求得关于的一次函数，再利用“甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍”求得的范围，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米； （2）解：设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米， 由题意得， ， 解得， ∵， ∴随的增加而减少， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：15天的工期，两队最多能修复公路千米． 【变式10-2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ (3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元 (2)共有3种购买方案 (3)学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用， （1）设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解； （2）设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）设商家获得总利润为y元，即有一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元．由题意得：， 解得：， 答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元； （2）解：设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个． 由题意得：， 解得：， 和均为正整数， ，62，64， ，7，4， 共有3种购买方案． （3）设商家获得总利润为y元， ， ， ， 随x的增大而减小， 当时，， 答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元． 【变式10-3】（2024·黑龙江绥化·中考真题）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车．若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元；若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元．已知这两种电动车的单价不变． (1)求、两种电动车的单价分别是多少元？ (2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ (3)该公司将购买的、两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用元与骑行时间之间的对应关系如图．其中种电动车支付费用对应的函数为；种电动车支付费用是之内，起步价元，对应的函数为．请根据函数图象信息解决下列问题．      ①小刘每天早上需要骑行种电动车或种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为3（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为，那么小刘选择______种电动车更省钱（填写或）． ②直接写出两种电动车支付费用相差元时，的值______． 【答案】(1)、两种电动车的单价分别为元、元 (2)当购买种电动车辆时所需的总费用最少，最少费用为元 (3)①  ②或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设、两种电动车的单价分别为元、元，根据题意列二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设购买种电动车辆，则购买种电动车辆，根据题意得出的范围，进而根据一次函数的性质，即可求解； （3）①根据函数图象，即可求解； ②分别求得的函数解析式，根据，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设、两种电动车的单价分别为元、元 由题意得， 解得 答：、两种电动车的单价分别为元、元 （2）设购买种电动车辆，则购买种电动车辆， 由题意得 解得： 设所需购买总费用为元，则 ，随着 的增大而减小， 取正整数 时，最少 元 答：当购买种电动车辆时所需的总费用最少，最少费用为元 （3）解：①∵两种电动车的平均行驶速度均为3，小刘家到公司的距离为， ∴所用时间为分钟， 根据函数图象可得当时，更省钱， ∴小刘选择种电动车更省钱， 故答案为：． ②设，将代入得， 解得： ∴； 当时，， 当时，设，将，代入得， 解得： ∴ 依题意，当时， 即 解得： 当时， 即 解得：（舍去）或 故答案为：或． 【变式10-4】（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】(1) (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 【变式10-5】（2024·四川眉山·中考真题）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元． (1)求，两款文创产品每件的进价各是多少元？ (2)已知，文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)款文创产品每件的进价元，文创产品每件的进价是元； (2)购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 【分析】（）设款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元，根据题意，列出分式方程即可求解； （）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为，利用一次一次不等式求出的取值范围，再根据题意求出与的一次函数，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴ 答：款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元； （2）解：设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为， 根据题意得，， 解得， 又由题意得，， ，随的增大而增大， 当时，利润最大， ∴购进款文创产品件，购进款文创产品件，获得的利润最大，， 答：购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 【变式10-6】39．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 22 乙 25 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元． (1)求的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 【答案】(1)， (2)，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是∶ （1）根据“购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元”列方程求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据总利润等于甲的利润与乙的利润列出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元． 题型11 一次函数的新定义问题 【例11】（2022·贵州遵义·统考一模）定义新运算：．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象经过第二、四象限 B．函数的图象经过点 C．y随x的增大而增大 D．函数的图象是双曲线 【答案】C 【分析】根据新运算的运算方法，得出y与x的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴ ， A．该函数图象位于第一、三象限，故本选项不符合题意； B．当x=1时，y，故本选项不符合题意； C．y随x增大而增大，故本选项符合题意； D．函数的图象是直线，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数图象和性质，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键． 【变式11-1】（2022·江苏宿迁·统考二模）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的等和点．已知：点，如、都是点的等和点．若点在直线上，点的等和点也是点的等和点，则点的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点P（2，－1）的等和点为（m，n），A（t，−t＋3），根据点的等和点也是点的等和点列式计算即可． 【详解】解：设点P（2，－1）的等和点为（m，n）， ∴2＋m＝n－1， 设A（t，−t＋3），则点A的等和点为（m，n）， ∴t＋m＝−t＋3＋n， 解得：t＝3， ∴A（3，0）， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数，熟练掌握一次函数的性质，理解新定义是解题的关键． 【变式11-2】（2023·上海嘉定·统考二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是 ． 【答案】4 【分析】由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，最大，代入求解即可． 【详解】解：由题意知，一次函数的“特征值”为， 当时，， ∴一次函数的“特征值”为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了新定义，一次函数．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 【变式11-3】（2023·江苏苏州·统考一模）对某一个函数给出如下定义：若存在正数，函数值都满足，则称这个函数是有界函数．其中，的最小值称为这个函数的边界值．若函数（，且）中，的最大值是2，边界值小于3，则应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】根据可知函数的随的增大而增大，再根据函数增减性可知当时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于的不等式求解即可． 【详解】解： 函数的随的增大而增大 当时，函数的函数值为边界值， 边界值小于3 ，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了阅读理解、一次函数的增减性、解不等式等知识点，理解“边界值”的定义成为解答本题的关键． 考点三 一次函数与方程（组）、不等式 一、一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 二、一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 二、一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 1） 二元一次方程组的图解法的定义：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫做二元一次方程组的图解法 题型01 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 【例1】（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）一次函数的图象与轴交于点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数的图象与轴交于点，求出，然后解方程即可． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，正确求出是解题的关键． 【变式1-1】（2023·浙江台州·统考一模）如图，直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据一次函数与x轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解，结合图象即可解答． 【详解】解：∵直线与x轴交点的横坐标为1， ∴关于x的方程的解为． 故选A． 【点睛】本题考查已知直线与坐标轴的交点求方程的解．掌握一次函数与x轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解是解题关键． 题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴交点 【例2】（2021·安徽合肥·统考二模）若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵方程的解为x=2， ∴当x=2时mx+n=0； ∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0）， ∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0）， ∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n， ∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 【变式2-1】（2023·浙江嘉兴·统考一模）在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别是，，则木杆在x轴上的投影的长是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，分别求得直线的解析式，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ， ， 设直线的解析式为：，直线的解析式为：， ∴ 解得：， ∴， 中，当时，，则, 中，当时，，则 ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心投影，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 题型03 利用图象法解一元一次方程 【例3】（2023·湖北鄂州·统考中考真题）1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：    (1)___________，___________； (2)请分别求出，与x的函数关系式； (3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？ 【答案】(1)，30；(2)，；(3)或 【分析】（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算b的值，根据b的值、2号探测气球的出发海拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值； （2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，分别代入计算即可； （3）由题意可得或，分别计算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，30； （2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为， 设，， 将分别代入可得：， 解得：，， ∴，； （3）由题意可得或， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴当上升或时，两个气球的海拔竖直高度差为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，从图中获取信息是解题的关键． 【变式3-1】如图，直线y＝kx+b(k≠0)经过点P(﹣3，2)，则关于x的方程kx+b＝2的解是（    ） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2，根据图象即可求解． 【详解】解：根据题意，可知当x＝﹣3时，y＝kx+b＝2， ∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝﹣3． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，结合图象解方程是解题的关键． 题型04 两直线的交点与二元一次方程组的解 【例4】（2022·湖北武汉·统考模拟预测）1号探测气球从海拔处出发，以的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，两个气球都上升了．如图是两个气球所在位置的海拔y（单位：）与上升时间x（单位：）的函数图象，则两图象交点P的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“1号探测气球从海拔处出发，以的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升”，得出1号探测气球、2号探测气球的函数关系式，联立函数关系式即可求出点P的坐标． 【详解】解：由题意得： 1号探测气球所在位置的海拔：， 2号探测气球所在位置的海拔：； 联立方程组得 解得． 即交点P的坐标为， 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，理解题意，正确列出函数解析式是解题的关键. 【变式4-1】（2022·福建泉州·校考模拟预测）一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程对应的图象都是一条直线．已知如图过第一象限上A点的直线是方程的图象，若点A的坐标恰为关于x，y的二元一次方程组的解，则a的值可能是（    ）    A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据点A的位置可知方程组中的值，解方程组求得，由，得出，即可得出，解得． 【详解】解：∵点A在第一象限， ∴，且， 得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，熟知函数与方程组的关系是解题的关键． 【变式4-2】（2023·陕西榆林·校考三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，则关于的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到方程组的解与直线交点坐标的关系即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，∴， ∴一次函数和的图象相交于点， ∴关于的方程组的解为． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟悉两者之间的关系并进行灵活转化是解题关键． 【变式4-3】（2023·湖北鄂州·统考中考真题）1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：    (1)___________，___________； (2)请分别求出，与x的函数关系式； (3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？ 【答案】(1)，30；(2)，；(3)或 【分析】（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算b的值，根据b的值、2号探测气球的出发海拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值； （2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，分别代入计算即可； （3）由题意可得或，分别计算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，30； （2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为， 设，， 将分别代入可得：， 解得：，， ∴，； （3）由题意可得或， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴当上升或时，两个气球的海拔竖直高度差为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，从图中获取信息是解题的关键． 题型05 图象法解二元一次方程组 【例5】（2021·广东广州·统考二模）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得． 【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：另一个一次函数的解析式为， 则所解的二元一次方程组为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【变式5-1】（2020·陕西西安·高新一中校考模拟预测）若直线l1经过点（﹣1，0），l2经过点（2，2），且l1与l2关于直线x＝1对称，则l1和l2的交点坐标为（　　） A．（1，4） B．（1，2） C．（1，0） D．（1，3） 【答案】A 【分析】根据对称的性质得出两个点关于直线x＝1对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出交点坐标即可． 【详解】解：∵直线l1经过点（﹣1，0），l2经过点（2，2），关于直线x＝1对称， ∴点（﹣1，0）关于直线x＝1对称点为（3，0）， 点（2，2）关于直线x＝1对称点为（0，2）， ∴直线l1经过点（﹣1，0），（0，2），l2经过点（2，2），（3，0）， ∴直线l1的解析式为：y＝2x+2，直线l2的解析式为：y＝﹣2x+6， 解方程组得， ∴l1和l2的交点坐标为（1，4）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出l1与l2的交点坐标为l1与l2与y轴的交点是解题关键． 【变式5-2】（2020蓬江区二模）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　）                       A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解． 【详解】解：函数和的图象交于点， 即，同时满足两个一次函数的解析式． 所以关于，的方程组的解是． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 题型06 求两直线与坐标轴围成的图形面积 【例6】（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积．根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，得出点C的坐标及的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，，解得：， ∴点C的坐标为，， ∴． 故答案为：9． 【变式6-1】（2023·辽宁沈阳·校联考一模）直线和在直角坐标系中的位置如图所示，则直线和与y轴围成的图形的面积为（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由图可知直线经过点、，直线经过点、，设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出其解析式，即得出直线、的交点为，由此即得出答案． 【详解】∵直线经过点、，设该直线的解析式为， 将(-1，-4)和(1，0)代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 联立直线、直线得： ，解得： 直线、的交点为， 直线、与轴围成的三角形面积为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了两个一次函数与坐标轴围成的面积问题．求出或的解析式是解题关键． 【变式6-2】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知一次函数与的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积是(   ) A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】将点分别代入与求出m和n的值，再求出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：把点代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， 把点代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标，直线围成的三角形面积，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． 【变式6-3】（2023·内蒙古包头·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点A，与轴相交于点，四边形是平行四边形，直线经过点，且与轴相交于点与相交于点，记四边形，的面积分别为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点A的坐标为，点B的坐标为，根据平行四边形性质得出点的坐标为，求出直线的解析式为，得出点D的坐标为，求出直线的解析式为：，的解析式为，求出点E的坐标为，得出，求出，，即可求出结果． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， 把代入得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴点的坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴的解析式为， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数与x轴，y轴的交点问题，直线围成的三角形的面积，平行四边形的性质，解题的关键是求出点E的坐标． 题型07 由直线与坐标轴交点求不等式的解集 【例7】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，一次函数的图象过点，则不等式的解是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式的解就是图象上点的纵坐标大于3对应的自变量的取值范围，据此解答即可. 【详解】解：根据题意：因为一次函数的图象过点， 则不等式的解是； 故选：A. 【点睛】本题考查了一次函数和一元一次不等式，属于基础题型，掌握求解的方法是解题关键. 【变式7-1】（2023·陕西商洛·校考三模）如图，一次函数的图象与轴交于点，当时，自变量的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由图象可知，当时，，从而求出，当时，，再结合函数图象得到结果． 【详解】解：当时，， 即， ， 当时，， 当时，自变量的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的思想求解． 【变式7-2】（2023·山东淄博·统考一模）已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于可由向左平移3个单位长度而得到，此时由题意知，直线与x轴的交点横坐标为，结合函数图象即可求得不等式的解集． 【详解】解：由于可由向左平移3个单位长度而得到， ∵直线与x轴交点横坐标为2， ∴直线与x轴的交点横坐标为， ∴函数的图象如下 观察图象知，不等式的解集是， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象的平移、利用函数图象求一元一次不等式的解集等知识，得到平移后的一次函数解析式及与x轴的交点坐标是关键． 题型08 根据两条直线交点求不等式的解集 【例8】（2023·广东深圳·校考一模）如图所示，一次函数（k，b是常数）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（　　）    A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【分析】根据图象的交点即可判断方程的解、不等式的解、方程组的解，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数（k，b是常数）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点， ∴关于x的方程，的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于x，y的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了一次函数图象和性质，数形结合是解题的关键． 【变式8-1】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用图象法写出直线在直线下方、在轴上方部分的的取值范围即可． 【详解】解：直线与直线交于点， 不等式的解集为． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【变式8-2】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$