精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

达拉特旗第一中学2024年春季学期高一期末考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第九章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的有关概念即可求解. 【详解】由题意，复数， 所以复数的虚部为． 故选：B． 2. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦定理列出关于方程，即可求解. 【详解】在中，因为， 由余弦定理得，即， 可得，解得或（舍去）. 故选：D. 3. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】当时，， 因为，所以，充分性成立， 又当，可得，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 4. 已知复数，若为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，利用共轭复数的概念与复数的乘法运算，结合纯虚数的概念建立方程组，解之即可求解. 【详解】因为复数， 所以， 因为为纯虚数，所以，解得． 故选：D． 5. 已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为 ，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量计算可得. 【详解】因为，且， 所以，即夹角为， 故选：C. 6. 下列说法中正确的个数是(　　) ①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线； ②如果a，b是两条直线，，那么a平行于经过b的任何一个平面； ③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线； ④如果，，那么. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面的基本性质判断面面、线面等位置关系，即可知各项的正误. 【详解】①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有1条或2条或3条交线，错误； ②如果a，b是两条直线，那么直线a有可能在过b的平面内，错误； ③直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行，错误； ④如果，，那么或，错误； 故选：A 7. 某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ） A. 1.86 B. 1.88 C. 1.9 D. 1.92 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平均数，再根据方差公式即可得解. 【详解】由题意，总体的平均数为小时， 根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为： ． 故选：D． 8. 在直四棱柱中，四边形ABCD是矩形，，点E为线段的中点，点G是线段上的一点，点F是底面ABCD内的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将平面沿翻折，使其与平面共面，结合牛吃草理论以及解三角形知识即可列式求解. 【详解】如图， 显然当F是G在底面ABCD的射影时，才可能最小． 将平面沿翻折，使其与平面共面，如图所示， 由于，则，则， 得，同理，而， 显然当E，G，F三点共线且时，取得最小值， 此时． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的平均数是8.5 C. 这组数据的极差是4 D. 这组数据的标准差是2 【答案】AC 【解析】 【分析】分别计算这组数据的众数、平均数、极差、方差逐项判断可得答案. 【详解】对于A，由题意知这组数据的众数为9，故A正确； 对于B，这组数据的平均数是，故B错误； 对于C，这组数据的极差是，故C正确； 对于D，这组数据的方差是， 所以这组数据的标准差是，故D错误. 故选：AC. 10. 如图所示，在复平面内，向量对应的复数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由复数的几何意义求得，再结合复数的相关运算逐一判断即可 【详解】对于A：由题意可得，故A正确； 对于B：，，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误； 故选：ABC 11. 已知的内角的对边分别为，若，则（ ） A. 的外接圆的面积为 B. 的周长为 C. 是直角三角形 D. 的内切圆的半径为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，根据条件，利用正弦定理，可求得外接圆半径为，进而求出外接圆的面积，即可判断出选项A的正误；根据条件，利用余弦定理，可求得，，进而可判断出选项B和C的正误，选项D，设内切圆半径为，利用，求出，即可判断出选项D的正误，从而求出结果. 【详解】对于选项A，因为，由正弦定理可得，即，得到， 所以的外接圆的面积为，故选项A正确， 对于选项B，由余弦定理， 得到，整理得到，解得，所以， 故的周长为，所以选项B正确， 对于选项C，因为，，，所以，故选项C正确， 对于选项D，设内切圆半径为，由，得到，解得，所以选项D错误， 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某机构研究得出10名肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为8，12，11，7，9，17，14，13，12，15，则这10个数据的第70百分位数是________． 【答案】13.5## 【解析】 【分析】利用百分位数的定义计算即可. 【详解】将这10个数据从小到大排列得7，8，9，11，12，12，13，14，15，17， 又，故第70百分位数是． 故答案为：13.5 13. 已知中，为上一点，且，垂足为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，根据条件求出的坐标，即可求出结果. 【详解】如图，以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系， 因为，，所以，则， 又，过作于，易知，所以, 得到，设， 则，所以，     故答案为：. 14. 在三棱锥中，平面平面是边长为4的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】在中利用余弦定理求出，再由勾股定理的逆定理可得，取的中点，连接，记的外接圆的圆心为，则证得，从而可得外接球的半径为，进而可求出球的表面积. 【详解】在中，，由余弦定理得， 即，解得， 所以，所以， 取的中点，连接，则. 记的外接圆的圆心为，又是等边三角形， 所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以， 所以为三棱锥的外接球的球心，为三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查三棱锥的外接球问题，考查球的表面积公式的应用，解题的关键是根据题意找出外接球的球心，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力．某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了400名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值以及一个学期课外阅读时间在内的学生人数； （2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． 【答案】（1），160 （2）105小时 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1列出方程，解出值，再计算相关人数即可； （2）根据频率分布直方图中平均数计算公式计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知：． 解得． 所以一个学期课外阅读时间在内的学生人数为． 【小问2详解】 该校学生一个学期课外阅读时间的平均数 . 即估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数为105小时. 16. 如图，在中，的垂直平分线交边于点． （1）求的长； （2）若，求的值． 【答案】（1）或；（2）． 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理可求出的长； （2）由（1）可得，在中，由余弦定理求出，再利用正弦定理可求出的值 【详解】解：（1）在中，， 整理得， 即，所以或． （2）因为，由（1）得， 所以． 在中，由余弦定理得． 所以． 由，得． 在中，由正弦定理得， 即， 所以． 17. 如图，在直三棱中，点是棱的中点，，. （1）求证:平面； （2）若是的中点，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明：连接，交于点，则为的中点， 连接，又是的中点，， 平面.平面， 平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，即通过构造中位线，即可证明；（2）利用等体积转化以及，即可求得三棱锥的体积. 【详解】(1)略； (2)平面.， 点，到平面的距离相等.即， ， ，即， 是的中点， 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角A与a； （2）若点O为的所在平面内一点，且满足，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可得，再利用三角恒等变换可求得； （2）利用向量数量积定义可得O为的外心，再由正弦定理可得. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 整理得，由余弦定理可得． 且，所以． 又因为，由正弦定理得， 即， 因为，则，且，所以． 【小问2详解】 因为， 可得， 解得，， 即，可知O为的外心． 由正弦定理得，所以． 19. 如图，在直三棱柱中，，，，点D，E分别为棱BC，的中点，点F是线段CE的中点． （1）求证：平面； （2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：在直三棱柱中，平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以． 在矩形中，，，点E是棱的中点， 所以，所以是等边三角形， 又点F是线段CE的中点，所以， 又，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）只需分别证明，，结合线面垂直的判定定理即可得解； （2）首先通过分析可说明是直线DF与平面ABF所成角，进一步通过解三角形即可得解； （3）由二面角的定义分析说明为二面角F-AD-C的平面角，再通过解三角形即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面BCE内，过点D作BF的垂线，垂足为H，如图所示． 由（1）知平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以是直线DF与平面ABF所成角． 在中，，，所以， 又点D为棱BC的中点，所以． 因为平面，又平面，所以， 所以，． 在中，由余弦定理得， 所以，即直线DF与平面ABF所成角的正弦值为． 【小问3详解】 在平面内，过点F作AC的垂线，垂足为O，在平面ABC内，过O作AD的垂线，垂足为G，连接FG，如图所示． 因为平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角． 在中，． 因为平面，平面，所以， 又易得，，所以， 由等面积法可知． 在中，，，，所以， 所以，即二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达拉特旗第一中学2024年春季学期高一期末考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第九章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 3. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知复数，若为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为 ，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中正确的个数是(　　) ①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线； ②如果a，b是两条直线，，那么a平行于经过b的任何一个平面； ③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线； ④如果，，那么. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ） A. 1.86 B. 1.88 C. 1.9 D. 1.92 8. 在直四棱柱中，四边形ABCD是矩形，，点E为线段的中点，点G是线段上的一点，点F是底面ABCD内的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的平均数是8.5 C. 这组数据的极差是4 D. 这组数据的标准差是2 10. 如图所示，在复平面内，向量对应的复数为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知的内角的对边分别为，若，则（ ） A. 的外接圆的面积为 B. 的周长为 C. 是直角三角形 D. 的内切圆的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某机构研究得出10名肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为8，12，11，7，9，17，14，13，12，15，则这10个数据的第70百分位数是________． 13. 已知中，为上一点，且，垂足为，则______． 14. 在三棱锥中，平面平面是边长为4的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力．某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了400名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值以及一个学期课外阅读时间在内的学生人数； （2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． 16. 如图，在中，的垂直平分线交边于点． （1）求的长； （2）若，求的值． 17. 如图，在直三棱中，点是棱的中点，，. （1）求证:平面； （2）若是的中点，求三棱锥的体积. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求角A与a； （2）若点O为的所在平面内一点，且满足，求的值． 19. 如图，在直三棱柱中，，，，点D，E分别为棱BC，的中点，点F是线段CE的中点． （1）求证：平面； （2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $