精品解析：广东省揭阳市揭西县宝塔实验学校2022-2023学年九年级下学期第一次月考数学试题

2022—2023学年度第二学期九年级第一次质量监测 数学科试卷 一、单选题（共10题；共30分） 1. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A. B. C. D. 2. 的值等于( ) A. B. C. D. 3. 方程x（x+2）＝0的根是（　　） A. x＝2 B. x＝0 C. x1＝0，x2＝﹣2 D. x1＝0，x2＝2 4. 抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　） A. （﹣2，5） B. （﹣2，﹣5） C. （2，5） D. （2，﹣5） 5. 若方程 ax2+bx+c=0 的两个根是﹣3 和 1，那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线（ ） A. x=﹣3 B. x=﹣2 C. x=﹣1 D. x=1 6. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有( ) A. 6个 B. 15个 C. 13个 D. 12个 7. 某地92号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升，设该号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 18 9. 下列命题中假命题（ ） A. 二次函数对称轴是直线 B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 C. 某双曲线经过点，则必过点 D. 方程无实数根 10. 二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④（为任意实数） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5题，共15分） 11. 如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则的长是__________． 12. 若反比例函数)随的增大而减小,则m的取值范围是______. 13. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为_____________． 14. 如图，在四边形中，，E为对角线的中点，连接，，，若，则_____°． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF＝，则CE＝_____． 三、解答题（共3题，共24分） 16. 计算： （1） （2）. 17. 如图，菱形中，相交于点O，过点B作，且，连结． （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，若，则的值是___________． 18. 如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，BC＝7，sinB＝，求AC的长． 四、解答题（共3题，共27分） 19. 我国教育方针是：教育必须为社会主义现代化建设服务，为人民服务，与生产劳动和社会实政相结合，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，为培养德智体美劳全面发展的优秀人才，丰都某中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程《研学旅行》开展以来引起广泛关注，九年级2班数学兴趣小组对本班同学对《研学旅行》课的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中位息，解答下列问题： （1）九年级2班共有学生___________名，扇形统计图中D类所在扇形的圆心角度数为___________； （2）九年级共有学生1200人，请根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的大约有多少人？ （3）该校德育处决定从九年级二班调查的A类的4人中，抽2人到八年级开展研学宣讲，若在调查的A类4人中，刚好有2名男生2名女生，用画树状图或列表的方法求抽到的一男一女的概率． 20. 如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE、DE，． （1）求证：； （2）若，，求与的面积比． 21. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件元，在销售过程中发现，每天的销售量件与每件售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件；当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）设该商店销售这种消毒用品每天获利元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 五、解答题（共2题，共24分） 22. 已知反比例函数和一次函数y＝2x+b，其中一次函数图象经过点A（﹣1，﹣3）和B（1，m）．反比例函数图象经过点B． （1）求反比例函数解析式和一次函数的解析式； （2）若直线交x轴于C，交y轴于D，点P为反比例函数（x＞0）的图象上一点，过P作y轴的平行线交直线CD于E，过P作x轴的平行线交直线CD于F， ①请问：在该反比例函数图像上是否存在点P，使△PFE≌△OCD？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． ②求证：DE•CF为定值． 23. 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A． （1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标； （3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022—2023学年度第二学期九年级第一次质量监测 数学科试卷 一、单选题（共10题；共30分） 1. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体三视图定义进行逐项判断即可． 【详解】解：根据所给的几何体的三视图，选项A、B、C中几何体符合主视图和左视图，选项B中几何体符合俯视图，综合考虑，选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查几何体的三视图，理解三视图的定义，熟知主视图是从正面看到的图形；左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形．会根据所给三视图还原几何体是解答的关键． 2. 的值等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接写出的值即可 【详解】解：， 故选：B 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 3. 方程x（x+2）＝0的根是（　　） A. x＝2 B. x＝0 C. x1＝0，x2＝﹣2 D. x1＝0，x2＝2 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 【详解】解：x（x+2）＝0， ∴x＝0或x+2＝0， 解得x1＝0，x2＝﹣2． 故选：C． 【点睛】此题考查解一元二次方程，正确掌握解方程的方法及能依据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键． 4. 抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　） A. （﹣2，5） B. （﹣2，﹣5） C. （2，5） D. （2，﹣5） 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h，k)进行求解即可. 【详解】∵抛物线解析式y=3(x-2)2+5， ∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等． 5. 若方程 ax2+bx+c=0 的两个根是﹣3 和 1，那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线（ ） A. x=﹣3 B. x=﹣2 C. x=﹣1 D. x=1 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论． 解：∵方程ax2+bx+c=0的两个根是−3和1， ∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为(−3,0),(1,0). ∵此两点关于对称轴对称， ∴对称轴是直线x==−1. 故选C. 6. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有( ) A. 6个 B. 15个 C. 13个 D. 12个 【答案】D 【解析】 【详解】解：设白球个数为：x个， ∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%． ∴，解得：x=12． 经检验：x=12是原方程的解 ∴白球的个数为12个． 故选D． 7. 某地92号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升，设该号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键．设该号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：依题意，得． 故选：A． 8. 如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：由题意可知，四边形与四边形相似， 由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：， 又四边形的面积是2， ∴四边形的面积为18， 故选：D． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键． 9. 下列命题中假命题是（ ） A. 二次函数的对称轴是直线 B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形 C. 某双曲线经过点，则必过点 D. 方程无实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的定义、二次函数的性质、正方形的判定、双曲线解析式的求法以及一元二次方程根的情况分别对四个语句进行判断即可． 【详解】解：A． 二次函数的对称轴是直线，故此项为真命题； B． 对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，故此项为假命题； C．设双曲线的解析式为，把代入得，从而有，经验证在上，故此项为真命题； D． 由方程得，所以方程无实数根，故此故此项为真命题， 故选∶B． 【点睛】本题考查了命题的定义、二次函数的性质、正方形的判定、双曲线解析式的求法以及一元二次方程根的情况，判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 10. 二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④（为任意实数） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到，则可对①进行判断；利用，得到，则，于是可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则可对③进行判断；由于时，y有最小值，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ∴， ∴，所以①正确； ∵时，， ∴， ∴， ∴，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， 即，所以③正确； ∵时，y有最小值， ∴（m为任意实数）， ∴，所以④错误； 综上，①②③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质等知识，涉及的知识点有抛物线的对称轴、抛物线与y轴的交点、二次函数的最值等，是重要考点，难度较易，掌握二次函数图象与性质是解题关键． 二、填空题（共5题，共15分） 11. 如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则长是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理． 12. 若反比例函数)随的增大而减小,则m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得，求解即可. 【详解】由题意可得： 解得：. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数有：（1）当，在内，随的增大而减小；在内，随的增大而减小；（2）当，在内，随的增大而增大；在内，随的增大而增大. 13. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的平移规律即可进行解答． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握“上加下减，左加右减”． 14. 如图，在四边形中，，E为对角线的中点，连接，，，若，则_____°． 【答案】38 【解析】 【分析】证明，可得，，可得，再利用等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 在中，， 同理可得到：， ∴， 在等腰三角形中，； 故答案是：38． 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练的求解是解本题的关键． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F位置，连接AF，若tan∠BAF＝，则CE＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】已知tan∠BAF=，可作辅助线构造直角三角形，设未知数，利用勾股定理可求出FM、BM，进而求出FN，再利用三角形相似和折叠的性质求出EC． 【详解】过点F作MN∥AD，交AB、CD分别于点M、N，则MN⊥AB，MN⊥CD， 由折叠得：EC＝EF，BC＝BF＝，∠C＝∠BFE＝90°， ∵tan∠BAF＝＝，设FM＝x，则AM＝2x，BM＝4﹣2x， 在Rt△BFM中，由勾股定理得： x2+（4﹣2x）2＝（）2， 解得：x1＝1，x2＝＞2舍去， ∴FM＝1，AM＝BM＝2， ∴FN＝﹣1， 易证△BMF∽△FNE， ∴，即：， 解得：EF＝＝EC． 故答案． 【点睛】考查矩形的性质、直角三角形的边角关系、轴对称的性质以及相似三角形的性质等知识，作合适的辅助线，恰当的利用题目中的已知条件，是解决问题的关键． 三、解答题（共3题，共24分） 16. 计算： （1） （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握运算法则和一元二次方程的解法是解题的关键. （1）计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂、特殊角三角函数值后，再进行加减运算即可. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ∴ ∵ ∴， ∴ 17. 如图，菱形中，相交于点O，过点B作，且，连结． （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，若，则的值是___________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证，再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； （2）由锐角三角函数得设，则，再由勾股定理得，然后由锐角三角函数即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴可设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键． 18. 如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，BC＝7，sinB＝，求AC的长． 【答案】AC=5 【解析】 【分析】作AD⊥BC于点D，由AB＝3，sinB＝可得AD＝BD＝AB＝3，可得DC＝4，在Rt△ACD中，AC＝＝5. 【详解】解：作AD⊥BC于点D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵sinB＝， ∴∠B＝∠BAD＝45°， ∵AB＝， ∴AD＝BD＝AB＝3， ∵BC＝7， ∴DC＝4， ∴在Rt△ACD中，AC＝＝5． 【点睛】本题主要考查解直角三角形、锐角三角函数及勾股定理. 四、解答题（共3题，共27分） 19. 我国的教育方针是：教育必须为社会主义现代化建设服务，为人民服务，与生产劳动和社会实政相结合，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，为培养德智体美劳全面发展的优秀人才，丰都某中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程《研学旅行》开展以来引起广泛关注，九年级2班数学兴趣小组对本班同学对《研学旅行》课的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中位息，解答下列问题： （1）九年级2班共有学生___________名，扇形统计图中D类所在扇形的圆心角度数为___________； （2）九年级共有学生1200人，请根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的大约有多少人？ （3）该校德育处决定从九年级二班调查的A类的4人中，抽2人到八年级开展研学宣讲，若在调查的A类4人中，刚好有2名男生2名女生，用画树状图或列表的方法求抽到的一男一女的概率． 【答案】（1） （2）估计九年级学生选择D类的大约有180人 （3） 【解析】 【分析】（1）利用很喜欢的人数除以所占百分比，求出总人数，利用类学生所占的百分比求出圆心角的度数； （2）利用九年级总人数乘以类学生的占比，进行求解即可； （3）画出树状图，求出概率即可． 【小问1详解】 解：九年级2班共有学生（名）； 类学生人数为（人）， ∴类学生人数为（人）， ∴D类所在扇形的圆心角度数为 故答案为：； 【小问2详解】 解：（人）； 答：估计九年级学生选择D类的大约有180人． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 所有等可能的结果共有12种，其中抽到的一男一女的结果数为8， ∴抽到的一男一女的概率为． 【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用树状图法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握树状图法求概率，是解题的关键． 20. 如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE、DE，． （1）求证：； （2）若，，求与的面积比． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的对边平行得到，即可求证； （2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴． ∴， 又， ∴． （2）解：四边形ABCD是菱形， ∴， ∵， ∴，即与的面积比为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质，解题关键是牢记相关概念并灵活应用． 21. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件元，在销售过程中发现，每天的销售量件与每件售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件；当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）设该商店销售这种消毒用品每天获利元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】根据给定的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式； 利用销售该消毒用品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 设每天的销售量件与每件售价元函数关系式为：， 由题意可知：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 ， ，且为整数， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为． 答：每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系列出函数关系式． 五、解答题（共2题，共24分） 22. 已知反比例函数和一次函数y＝2x+b，其中一次函数的图象经过点A（﹣1，﹣3）和B（1，m）．反比例函数图象经过点B． （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）若直线交x轴于C，交y轴于D，点P为反比例函数（x＞0）的图象上一点，过P作y轴的平行线交直线CD于E，过P作x轴的平行线交直线CD于F， ①请问：在该反比例函数图像上是否存在点P，使△PFE≌△OCD？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． ②求证：DE•CF为定值． 【答案】（1）； （2）①不存在，理由见解析；证明见解析 【解析】 【分析】（1）A（﹣1，﹣3）和B（1，m）分别代入y＝2x+b，转化为关于b，m的方程组解答即可； （2）①设P点的坐标为：（，），得到F（，），E（，），由题意得，当时，△PFE≌△OCD，即，化为一般方程为：，由于，得到没有实数根，即可证明结论； ②作FM⊥x轴于M，EN⊥y轴于N，构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，将DE•CF转化为反比例函数系数的倍数解答． 【小问1详解】 解：∵y＝2x+b的图像经过A（﹣1，﹣3）和B（1，m）两点， ∴ 解得： ∴B（1，1） ∵反比例函数的图像经过点B， ∴， 解得： ∴反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：①不存在． 理由如下：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设P点的坐标为：（，）， 把代入，得：， 把代入，得：， ∴F（，），E（，）， 由题意得，PEy轴，PFx轴， ∴PEOC，, ∴, 当时，△PFE≌△OCD， ∴， 化为一般方程为：， ∵， ∴没有实数根， ∴不存在点P，使△PFE≌△OCD； ②证明：设P（x，y）， ∵C（0.5，0），D（0，0.5）， ∴是等腰直角三角形， 如图，作FM⊥x轴于M，EN⊥y轴于N， ∴、是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵P（x，y）在上， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，用待定系数法求解析式和函数图象的交点坐标与函数解析式组成的方程组的解的关系，构造等腰直角三角形也是解答此题的关键． 23. 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A． （1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标； （3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）当点M的坐标为（﹣1，2）时，△ACM周长最短；（3）使△BPC为直角三角形时点P的坐标为（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）． 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称轴及点B的坐标可求出点A的坐标，由点A，B，C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （2）连接BC，交直线x=-1于点M，此时△ACM周长最短，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点M的坐标； （3）设点P的坐标为（-1，m），结合点B，C的坐标可得出PB2，PC2，BC2的值，分∠BCP=90°，∠CBP=90°，∠BPC=90°三种情况考虑，①当∠BCP=90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；②当∠CBP=90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；③当∠BPC=90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标．综上，此题得解． 【详解】（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（﹣3，0）， ∴点A的坐标为（1，0）． 将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c， 得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3． （2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，如图1所示． ∵点A，B关于直线x＝﹣1对称， ∴AM＝BM． ∵点B，C，M三点共线， ∴此时AM+CM取最小值，最小值为BC． 设直线BC的函数表达式为y＝kx+d（k≠0）， 将B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+d， 得：， 解得：， ∴直线BC的函数表达式为y＝x+3． 当x＝﹣1时，y＝x+3＝2， ∴当点M的坐标为（﹣1，2）时，△ACM周长最短． （3）设点P的坐标为（﹣1，m）， ∵点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3）， ∴PB2＝[﹣3﹣（﹣1）]2+（0﹣m）2＝m2+4， PC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣m）2＝m2﹣6m+10， BC2＝[0﹣（﹣3）]2+（3﹣0）2＝18． 分三种情况考虑（如图2）： ①当∠BCP＝90°时，BC2+PC2＝PB2， ∴18+m2﹣6m+10＝m2+4， 解得：m＝4， ∴点P的坐标为（﹣1，4）； ②当∠CBP＝90°时，BC2+PB2＝PC2， ∴18+m2+4＝m2﹣6m+10， 解得：m＝﹣2， ∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）； ③当∠BPC＝90°时，PB2+PC2＝BC2， ∴m2+4+m2﹣6m+10＝18， 整理得：m2﹣3m﹣2＝0， 解得：m1＝，m2＝， ∴点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）． 综上所述：使△BPC为直角三角形时点P的坐标为（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、三角形的三边关系、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、勾股定理以及解一元一次（二次）方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数的对称性及三角形的三边关系，找出点M所在的位置；（3）分∠BCP=90°，∠CBP=90°，∠BPC=90°三种情况，找出关于m的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$