精品解析：黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

SL 2023～2024学年度下学期高二期末考试试卷 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：集合、逻辑、不等式、函数、导数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于命题“，使得”的否定说法正确的是（ ） A. ，均有假命题 B. ，均有真命题 C. ，有假命题 D. ，有真命题 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -2 5. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 或 6. 已知，则，，的大小排序为（ ） A. B. C. D. 7. 区块链，是比特币的一个重要概念，它本质上是一个去中心化的数据库，同时作为比特币的底层技术，是一串使用密码学方法相关联产生的数据块，每一个数据块中包含了一批次比特币网络交易的信息，用于验证其信息的有效性（防伪）和生成下一个区块.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（ ） （参考数据，） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 28秒 8. 若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ） A. 2023 B. C. 4048 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则可能取的值有（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10. 已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 若，则 11. 下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为___________. 13. 已知曲线：在处的切线为，曲线：在处的切线为，若存在实数t使得与的倾斜角互补，则实数a的取值范围为______． 14. 已知函数若方程有6个不同的实数解，则m的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 16. 已知函数． （1）若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （2）当时，解关于x的不等式． 17. 已知a，b，c为实数，函数（）． （1）若函数为幂函数，求a，b，c的值； （2）若，，且函数在区间上单调递减，求ab的最大值． 18. 已知函数，． （1）若，求的值； （2）令，且在区间上有零点，求实数n的取值范围． 19. 已知函数，． （1）若在上有两个极值点，求a的取值范围； （2）证明：若在 上恒成立，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ SL 2023～2024学年度下学期高二期末考试试卷 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：集合、逻辑、不等式、函数、导数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解方程得到，由定义域得到，从而求出并集. 【详解】由题意得，解得，故， 又，所以. 故选：C 2. 下列关于命题“，使得”的否定说法正确的是（ ） A. ，均有假命题 B. ，均有真命题 C. ，有假命题 D. ，有真命题 【答案】B 【解析】 【分析】存在性命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，即可得该命题的否定，再判断真假即可. 【详解】命题“，使得”的否定是，均有， 对，又，故该命题为真命题. 故选：B 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解AD,利用作差法即可求解B，举反例即可求解C. 【详解】因为，所以，所以，故A错误； ，因为，所以，即，所以，故B正确； C项中,取，则不满足，故C错误， D项中应是．D错误， 故选：B． 4. 1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据洛必达法则直接求导并代入计算即可. 【详解】由题意可得 ， 故选：A. 5. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，，进而将所解不等式转化为，再求解即可得答案. 【详解】解：因为不等式的解集为， 所以是方程且， 所以，即， 所以等价于， 由于， 所以等价于，解得或. 所以的解集为或. 故选：D 6. 已知，则，，的大小排序为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：首先设，利用指对互化，表示，，，再利用对数函数的图象判断大小；方法二：由条件可知，再利用对称运算，以及对数函数的图象和性质，比较大小. 【详解】方法一：设. 则，，， 又，所以，可得. 方法二：由. 得，即 ， 可得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查由条件等式，比较大小，本题的关键是熟悉指对数运算公式，变形，以及指数和对数函数的图象. 7. 区块链，是比特币的一个重要概念，它本质上是一个去中心化的数据库，同时作为比特币的底层技术，是一串使用密码学方法相关联产生的数据块，每一个数据块中包含了一批次比特币网络交易的信息，用于验证其信息的有效性（防伪）和生成下一个区块.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（ ） （参考数据，） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 28秒 【答案】B 【解析】 【分析】设这台机器破译密码所需时间大约为秒，根据题意，由，两边取对数，结合对数运算求解. 【详解】设这台机器破译密码所需时间大约为秒，则， 两边同时取以10为底的对数可得：， 即， 所以 解得， 又， 所以可以近似表示为4.5， 故， 故选：B 8. 若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ） A. 2023 B. C. 4048 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据条件判断函数的周期，再根据函数的周期性和对称性求函数值，即可求和. 【详解】由是偶函数知，的图象关于直线对称，①, 又的图象关于中心对称，所以②, 则③, 由①②③可得，,故函数的周期为4， 则，，，则， 则． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则可能取的值有（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可知，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从而可得答案 【详解】解：因为，，且， 所以 ，当且仅当，即取等号， 故选：BCD 10. 已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法，可判断A项；令，可判断B项；令并结合奇函数的定义可判断C项；令可判断D项. 【详解】因为，所以令，得，故A正确； 令，得，所以， 令，得，所以，故B错误； 令，得，又，所以， 所以函数是奇函数，故C正确； 令，得， 又，，所以，故D正确； 故选：ACD. 11. 下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】构造函数（），利用函数的单调性，可得A的真假；构造函数（），利用函数单调性，可判断BD的真假；结合AB选项的内容，可判断C的真假. 【详解】令（），则， 所以在上单调递减，所以， 则，故A错； 令（），所以， 因为，所以，，所以， 所以在上单调递减，所以，则，故B正确； 又，所以，故C正确； 由，得，故D错． 故选：BC 【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由求得，再由可求出的定义域 【详解】因为，所以，所以的定义域为， 要使有意义，需满足，解得. 故答案为： 13. 已知曲线：在处的切线为，曲线：在处的切线为，若存在实数t使得与的倾斜角互补，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义结合题意可得，即存在正根，由二次函数根的分布问题求解即可. 【详解】由曲线可得，由曲线可得， 由导数的几何意义可得：直线的斜率为，直线的斜率为， 若存在实数t使得与的倾斜角互补， 则方程，即存在正根，所以 解得． 故答案为：. 14. 已知函数若方程有6个不同的实数解，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】作出的图像，令，问题等价于关于t的方程在上有两个不等实数根，再分解因式求解即可. 【详解】函数的图象如图所示． 令，则方程有6个不等实数解， 等价于关于t的方程在上有两个不等实数根， 令， 则解得且． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：研究方程问题，一方面用函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）分别求出集合A、B，再求出，由得出不等式，求得a的范围； （2）由已知得且，建立不等式求得a的范围. 【详解】解：（1），，所以， ，． 即a的取值范围是． （2）“”是“”的必要不充分条件，且， 或 或，即a的取值范围是． 故得解. 【点睛】本题考查集合间的关系和充分必要条件中反应的集合间的关系，属于基础题. 16. 已知函数． （1）若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （2）当时，解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2）当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 【解析】 【分析】（1）讨论或两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围； （2）首先不等式整理为，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式. 【小问1详解】 即为， 所以不等式对于任意恒成立， 当时，得，显然符合题意； 当时，得，解得． 综上，实数a的取值范围是． 【小问2详解】 不等式即为， 即． 又，不等式可化为， 若，即时，得或，即解集为或； 若，即时，得，即解集为； 若，即时，得或，即解集为或． 综上可知，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 17. 已知a，b，c为实数，函数（）． （1）若函数为幂函数，求a，b，c的值； （2）若，，且函数在区间上单调递减，求ab的最大值． 【答案】（1），，或，，； （2）． 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义，即可列式求解； （2）当时，函数是一次函数，由一次函数的单调性确定参数的取值范围，当时，由二次函数确定参数的取值范围，再结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由函数的定义域为知，当为幂函数时， 应满足，或， 解得，，或，，． 【小问2详解】 当时，（）， 由题意知，，所以； 当时，函数图象的对称轴为， 依题意得，即， 所以，得．当且仅当，时取等号． 综上可得，ab的最大值为． 18. 已知函数，． （1）若，求的值； （2）令，且在区间上有零点，求实数n的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由已知可得的解析式，根据指数函数的运算即可求证，利用倒序相加即可求值； （2）由已知可得，设，问题等价为在上有零点，参变分离得在上有解，通过换元由单调性求取值范围即可. 【小问1详解】 ，， ， 则， 设， 则， 两式相加得，则， 故． 【小问2详解】 ， 设，当，则， 则函数等价为，． 函数在区间上有零点，等价为在上有零点， 即在上有解，即在上有解， 即， 设，则，有， 在上恒成立，则在上递增， 则当时，，当时，， 即实数n的取值范围是． 【点睛】方法点睛： 1.求的值，由的解析式，通过合理配对，使得某两项相加为定值； 2. 函数零点问题，转化为对应方程有实数根，通过参变分离，构造函数利用导数求值域. 19. 已知函数，． （1）若在上有两个极值点，求a的取值范围； （2）证明：若在 上恒成立，则． 【答案】（1）； （2）证明：由题得在[0,)上恒成立， 即恒成立． 令， ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，． 令（）， 则（）， 所以函数在[0,1)上单调递增， ，， 所以在区间上存在唯一零点，使得函数在上小于零，在上大于零， 即在区间上大于零，在区间上小于零， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增， 又， 所以， 所以，原式得证． 【解析】 【分析】（1）首先由方程，参变分离为方程有两个不同的正根，转化为利用导数分析函数，的图形，利用数形结合求实数 取值范围； （2）首先将不等式参变分离为恒成立，转化为利用导数分析函数的最值. 【小问1详解】 由题可得， 若在上有两个极值点，则关于x的方程有两个不同的正实根， 即方程有两个不同的正实根． 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又当时，，当时，，所以，即， 所以a的取值范围为． 【小问2详解】 略. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用导数求函数的最值，其中涉及导数求函数的二次导数，且涉及隐零点问题，求函数的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $