精品解析：江苏省南京市某校2023-2024学年高二上学期第一次质量调研（8月）数学试题

高二年级第一次质量调研考试（数学） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 如图所示的直观图中，，则其平面图形的面积是（ ） A. 4 B. C. D. 8 3. 设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 已知在平行四边形中，点、分别是、的中点，如果，，那么向量（　　） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（　　） A. B. C. D. 6. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 过点且平行于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数为 C. 复平面内表示复数的点位于第二象限 D. 复数是方程的一个根 10. 某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在，，，，五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ） A. 样本中女生人数多于男生人数 B. 样本中层人数最多 C. 样本中层次男生人数为6人 D. 样本中层次男生人数多于女生人数 11. 已知事件，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么， B. 如果与互斥，那么， C. 如果与相互独立，那么， D. 如果与相互独立，那么， 12. 直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 双曲线的渐近线方程为________ 14. 已知分别为三个内角的对边，且，则________. 15. 某工厂有，，三个车间，车间有600人，车间有500人.若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中车间10人，则样本中车间的人数为________ 16. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为______________;该四面体的体积为_____________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设，. （1）若，求实数的值； （2）若，且，与的夹角为，求，的值. 18. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且，，． （1）求及的面积； （2）若为边上一点，且，______，求的正弦值． 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答． 19. 已知抛物线的准线方程为. （1）求p的值； （2）直线交抛物线于A，B两点，求弦长. 20. 如图，在直三棱柱中，，，，是线段上的动点. （1）当是的中点时，证明：平面； （2）若，证明：平面平面. 21. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响． （1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率； （2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率． 22. 为了解某市家庭用电量的情况，该市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将得到数据按如下方式分为9组：， ，…，，绘制得到如下的频率分布直方图： （1）试估计抽查样本中用电量在的用户数量； （2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使的居民缴费在第一档，的居民缴费在第二档，其余的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数：范围用左开右闭区间表示） （3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为和的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级第一次质量调研考试（数学） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由纯虚数的定义得出实数. 【详解】，因为复数是纯虚数，所以，且，解得. 故选：B 2. 如图所示的直观图中，，则其平面图形的面积是（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由斜二测画法还原出原图，求面积 【详解】解：由斜二测画法可知原图如图所示， 则其面积为， 故选：A 【点睛】此题考查直观图与平面图形的画法，考查计算能力，属于基础题 3. 设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行、线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理逐一判断即可. 【详解】A：当时，如果l是平面，外一条直线，当时，显然，成立，这时不成立，故本选项的命题不正确； B：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为，所以在平面内一定存在一条直线，而，所以， 根据面面垂直的判定定理可知，因此本选项的命题正确； D：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； 故选：C 4. 已知在平行四边形中，点、分别是、的中点，如果，，那么向量（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，利用平面向量加法法则可求得结果. 【详解】如下图所示： 点、分别是、的中点，. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的基底分解，考查计算能力，属于基础题. 5. 已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积． 【详解】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l， 由，得， 又， 所以，解得； 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为． 故选：C． 6. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题先将所有的基本事件都列出来共9种，再将田忌的马获胜的事件选出共3种，最后计算概率即可. 【详解】解：设田忌的上等马为，中等马为：，下等马为，齐王的上等马为，中等马为：，下等马为，双方各自随机选1匹马进行1场比赛产生的基本事件为：，，，，，，，，，共9种；其中田忌的马获胜的事件为：，，，共3种，所以田忌的马获胜的概率为：. 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型，是基础题. 7. 过点且平行于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据平行关系设直线方程，再代入点的坐标，求直线方程. 【详解】设与直线平行的直线是，代入点得，得，所以直线方程是. 故选：A 8. 设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可． 【详解】椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=， P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2． 故选C． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数为 C. 复平面内表示复数的点位于第二象限 D. 复数是方程的一个根 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算求得，然后逐一分析四个选项得答案． 【详解】因为，所以， 所以，故A正确； 的共轭复数，故B错误； 复平面内表示复数的点的坐标为，位于第二象限，故C正确； ，复数是方程的一个根．故D正确. 故选：ACD． 10. 某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在，，，，五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ） A. 样本中女生人数多于男生人数 B. 样本中层人数最多 C. 样本中层次男生人数为6人 D. 样本中层次男生人数多于女生人数 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案. 【详解】样本中女生人数为：，男生数为，正确； 样本中层人数为：；样本中层人数为：； 样本中层人数为：；样本中层人数为：； 样本中层人数为：；故正确； 样本中层次男生人数为：，正确； 样本中层次男生人数为：，女生人数为，错误. 故选：. 【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力. 11. 已知事件，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么， B. 如果与互斥，那么， C. 如果与相互独立，那么， D. 如果与相互独立，那么， 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项在前提下，计算出，，即可判断；B选项在与互斥前提下，计算出，，即可判断；C、D选项在与相互独立前提下，计算出，， ，，即可判断. 【详解】解：A选项：如果，那么，，故A选项错误； B选项：如果与互斥，那么，，故B选项正确； C选项：如果与相互独立，那么，，故C选项错误； D选项：如果与相互独立，那么，，故D选项正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题. 12. 直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据几何方法求出弦长与已知弦长相等，解方程可得直线的斜率，进一步可得直线的倾斜角. 【详解】圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 因为弦长为，所以，即，解得， 所以，所以直线的倾斜角为或. 故答案为：A D 【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了利用几何方法求弦长，考查了求直线的斜率和倾斜角，属于基础题. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 双曲线的渐近线方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】令双曲线右边为，再求解关于与的关系式，从而得到渐近线方程. 【详解】 故答案为：. 14. 已知分别为三个内角的对边，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的和差公式与诱导公式得到，从而得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得， 因为在中，，所以， 又，所以. 故答案为：. 15. 某工厂有，，三个车间，车间有600人，车间有500人.若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中车间10人，则样本中车间的人数为________ 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，先确定分层抽样的抽样比，求出样本中车间的人数，进而可求出车间的人数. 【详解】因为车间有500人，样本中车间10人，所以抽样比为， 因此车间抽取的人数为， 所以样本中车间的人数为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题型. 16. 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为______________;该四面体的体积为_____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求出正四面体的高，结合球心在高上及勾股定理即可求出球的半径，利用球的表面积公式和三棱锥的体积公式即可解决. 【详解】由题意可知，该四面体为正四面体，如图正四面体,棱长都为，外接球球心为，为的中心，设外接球半径为，则,在中，,在中，,即，解得,所以此球的表面积为，该四面体的体积为 故答案为：； 【点睛】本题主要考查正四面体的外接球问题及球的表面积、三棱锥的体积公式，属于基础题. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设，. （1）若，求实数的值； （2）若，且，与的夹角为，求，的值. 【答案】（1）；（2），或，. 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解； （2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解. 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴. （2）∵，， ∴， 又， ∴， 又， 即， 由， 解得或， ∴，或，. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查了垂直关系，夹角公式，模的运算，属于中档题. 18. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且，，． （1）求及的面积； （2）若为边上一点，且，______，求的正弦值． 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答． 【答案】（1），；（2）选①，；选②，. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得出关于的二次方程，可解出的值，进而可求得的面积； （2）选①，在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，进而可求得的正弦值； 选②，利用正弦定理求得的值，由同角三角函数的基本关系可求得，再利用两角和的正弦公式可求得的值. 【详解】（1）由余弦定理得，整理得， ，解得，； （2）选①，如下图所示： 在中，由正弦定理得，可得， 在中，，则，所以，； 选②，在中，由正弦定理得，可得， 由于为锐角，则， ， 因此，. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，同时也考查了三角形内角正弦值的计算，考查计算能力，属于中等题. 19. 已知抛物线的准线方程为. （1）求p的值； （2）直线交抛物线于A，B两点，求弦长. 【答案】（1）2 （2）8 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的准线方程直接求出即可； （2）设，，联立方程，利用韦达定理求得，，再根据弦长公式即可得解. 【小问1详解】 解：因为抛物线的准线方程为， 所以，所以； 【小问2详解】 解：设，， 由，消去，得， 则，， 所以. 20. 如图，在直三棱柱中，，，，是线段上的动点. （1）当是的中点时，证明：平面； （2）若，证明：平面平面. 【答案】（1）证明：如图，连接，交于，连接，则是的中点， ∵是的中点， ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）证明：∵平面，平面， ∴， 又，，平面， ∴平面， 又平面， ∴平面平面. 【解析】 【分析】（1）连接，交于，连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立； （2）先由线面垂直的判定定理，证明平面，进而可得面面垂直. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查证明线面平行，证明面面垂直，熟记判定定理即可，属于常考题型. 21. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响． （1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率； （2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）记“甲队总得分为3分”为事件，记“甲队总得分为1分”为事件，甲队得3分，即三人都回答正确，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分与1分的概率． （2）记“甲队得分为2分”为事件，记“乙队得分为1分”为事件，事件即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，事件即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，由题意得事件与事件相互独立，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率． 【详解】解：（1）记“甲队总得分为3分”为事件，记“甲队总得分为1分”为事件， 甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为， 甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错， 其概率为． 甲队总得分为3分与1分的概率分别为，． （2）记“甲队得分为2分”为事件，记“乙队得分为1分”为事件， 事件即甲队三人中有2人答对，其余1人答错， 则， 事件即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错， 则， 由题意得事件与事件相互独立， 甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率： ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 22. 为了解某市家庭用电量的情况，该市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将得到数据按如下方式分为9组：， ，…，，绘制得到如下的频率分布直方图： （1）试估计抽查样本中用电量在的用户数量； （2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使的居民缴费在第一档，的居民缴费在第二档，其余的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数：范围用左开右闭区间表示） （3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为和的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，求出对应的频率，进而可得用户数量； （2）根据题意，分别求出和对应的用电量，进而可得出结果； （3）先由题意，得到样本中用电量在的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；在的用户有2户，设编号分别为，，根据列举法得出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率. 【详解】（1）由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为0.02，0.15，0.27，0.23，落在，，，的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01. 因此，样本落在的频率为 样本中用电量在的用户数为. （2）因为，， 为了使的居民缴费在第一档，只需对应的用电量位于内， 于是， 又， 所以对应的用电量为280. 所以第二档的范围可确定为. （3）由题可知，样本中用电量在的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；在的用户有2户，设编号分别为，，则从6户中任取2户的样本空间为： ，共有15个样本点. 设事件“走访对象来自不同分组”， 则， 所以，从而. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的简单应用，考查求古典概型的概率，属于常考题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $