精品解析：江苏省南京市某校2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

高一年级第一次质量检测 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A＝{0，1}，则下列关系表示错误的是 A. 0∈A B. {1}∈A C. ∅⊆A D. {0，1}⊆A 【答案】B 【解析】 【详解】根据元素与集合关系的表示法，0∈A，故A正确； 根据集合与集合关系的表示法，{1}⊂A，判断B假； ∅是任意集合的子集，故C正确； 根据集合子集的定义，{0，1}⊆A，故D正确； 故选B． 点睛：本题考查的是集合的包含关系的判断及其应用，元素与集合关系的判断，是基础题. 2. 已知集合，集合或，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，从而求出. 【详解】集合，集合或， ， 又集合， 故选：B. 3. 设，则是成立的 A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】∵，∴，但推不出，∴是成立的必要不充分条件. 4. 命题“∃x＞0，x2＝x﹣1”的否定是（　　） A. ∃x＞0，x2≠x﹣1 B. ∀x≤0，x2＝x﹣1 C. ∃x≤0，x2＝x﹣1 D. ∀x＞0，x2≠x﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识选出正确结论. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，所以：命题“∃x＞0，x2＝x﹣1”的否定是：∀x＞0，x2≠x﹣1． 故选：D 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定，属于基础题. 5. 若集合，，且，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由知，利用集合间的基本关系即可解决问题 【详解】因为集合，，且， 所以， 所以， 所以的取值范围为， 故选：D 6. 一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集可得2，5为对应方程的根，将和均用表示，代入所求不等式解出即可. 【详解】一元二次不等式的解集为， 所以，且2，5是一元二次方程的两个实数根， 所以，，所以，，且； 所以不等式化为，即， 解得 因此不等式的解集为 故选：B. 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式和 ，然后判断能否从推出，再判断能否从推出，最后根据定义选出正确答案. 【详解】 ，显然能从推出，不能从推出，也就是说能从推出，但不能从推出，所以是的必要不充分条件，故本题选B. 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，正确求解不等式的解集，根据定义进行判断是解题的关键. 8. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑均为真命题得到的取值范围，然后根据的真假性得到关于的不等式，即可求解出的取值范围. 【详解】若，，则， ∴． 若，， 则， 解得或． ∵命题和命题q都是真命题， ∴或， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查根据全称命题、特称命题的真假求解参数范围，难度一般.利用命题的真假求解参数范围时，可先考虑命题都为真的情况下对应的参数范围，然后再根据实际的命题真假得到关于参数的不等式（注：若命题为假，只需对为真时参数范围取补集），由此求解出参数范围. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设，，若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解法、集合间的运算及关系运算分析即可得解. 【详解】解：由题意，集合，由可得， 则或或或， 当时，满足即可； 当时，需满足，解得：； 当时，需满足，解得：； 因为时有且只有一个根，所以. 所以的值可以为. 故选：ABD. 10. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举出反例可得A；利用不等式的性质计算可得B、C；由可得，利用作差法即可分析出. 【详解】对A：若，则，故A错误； 对B：由，则，，即，故B正确； 对C：由，则，又，则，故C正确； 对D：由，则，因为，则，故，故D正确. 故选：BCD. 11. 若，，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，由基本不等式，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，当且仅当时，等号成立，所以，则，所以，故A正确； 因为，当且仅当时，等号成立，所以，因为，所以，所以，故B正确； 由选项B可知，，故C错误； 因为，当且仅当时，等号成立，故D错误； 故选：AB 12. 下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集是 B. “，”是“”成立的充分条件 C. 命题：，，则：， D. “”是“”的必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：利用分式不等式得解法解出即可得；对B：利用充分条件定义判断即可得；对C：借助全称命题的否定即可得；对D：利用必要条件定义判断即可得. 【详解】对A：， 解得，即其解集为，故A错误； 对B：若，，则， 故“，”是“”成立的充分条件，故B正确； 对C：，的否定为，，故C错误； 对D：由“”可得“”，故“”是“”的必要条件，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分 13. 某班共有38人，其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，10人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱的人数为_____________. 【答案】8 【解析】 【分析】由某班共有38人、10人对两项运动都不喜爱，可以求出喜欢这两项运动的人数，再根据其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，可以求出对两项运动都喜爱的人数. 【详解】设喜欢欢这两项运动的学生为集合A，喜爱跑步运动的学生为集合B,喜爱篮球运动的学生为集合C，因为某班共有38人、10人对两项运动都不喜爱，所以喜欢这两项运动的人数为28人，记为card(A)=28,由 可知： ，即对两项运动都喜爱的人数为8. 【点睛】本题考查了集合元素个数问题，熟记公式 是解题的关键. 14. 若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】 条件可转化为方程至多有一个根，然后分和两种情况讨论即可. 【详解】因为集合中至多有一个元素 所以方程至多有一个根， 当时解得，满足题意 当时，，解得 综上：或 【点睛】解答本题时一定要注意讨论的情况，否则就会漏解. 15. 若，，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】 等式化为，由，利用基本不等式即可求解. 【详解】， 当且仅当取等号， 故答案为：. 【点睛】本题考查了基本不等式求最值， 注意验证等号成立的条件，属于基础题. 16. 设常数，集合．若，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况求出集合，再由可求出a的取值范围. 【详解】当时，由，得或， 所以或， 因为，且， 所以，解得， 当时，由，得或， 所以或， 因为，且， 所以，即恒成立，所以， 综上，. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知集合，，若，求实数的值. 【答案】 【解析】 【分析】由得，分，，三种情况讨论，一定要注意元素的互异性. 【详解】， ，而， 当，，，， 这样与矛盾， 当，，符合， . 【点睛】本题主要考查集合的交集及其运算，通过公共元素考查了分类讨论的思想，属中档题. 18. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先解一元二次不等式化简集合B，再进行并集运算即可； （2）由列不等关系，解得参数范围即可. 【详解】解：（1）由，得或，所以或， 所以或； （2）若，则需，解得， 故实数的取值范围为. 19. 已知命题：和命题： （1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围. （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由一元二次不等式可得命题：，命题：，即可得解； （2）由命题间的关系转化条件为，即可得解. 【详解】不等式即，解得， 不等式即，解得， 则命题：，命题：， （1）当时，命题：，命题：， 若和都是真命题，则； （2）因为是的充分不必要条件，所以， 所以且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 20. 已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0． （1）当a＝2时，解关于x的不等式； （2）当a＞0时，解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2） 当时，不等式解集为， 当a时，不等式解集为， 当时，不等式解集为{x|x＜1}． 【解析】 【分析】（1）将不等式化为（2x+1）（x﹣1）＜0即可求得结果； （2）将不等式化为（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，当a＞0时，不等式变为，计算（x﹣1）（ax+a﹣1）＝0的两根，根据两根大小关系讨论不等式解集． 【小问1详解】 当a＝2时，不等式2x2﹣x﹣1＜0可化为：（2x+1）（x﹣1）＜0， ∴不等式的解集为； 【小问2详解】 不等式ax2﹣x+1﹣a＜0可化为：（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0， 当a＞0时，， 的根为：， ①当时，，∴不等式解集为， ②当时，，不等式解集为∅， ③当时，1，∴不等式解集为{x|x＜1}， 综上，当时，不等式解集为， 当a时，不等式解集为， 当时，不等式解集为{x|x＜1}． 21. 经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有函数关系：． （1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到） （2）为保证在该时段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 【答案】（1）当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为千辆/小时； （2）汽车的平均速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可求得的最大值，及其对应的值，即可得出结论； （2）解不等式即可得解. 【小问1详解】 解：，（千辆/小时）， 当且仅当时，即当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为千辆/小时. 【小问2详解】 解：据题意有，即，即， 解得， 所以汽车的平均速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）. 22. 已知，且． （1）求的最小值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）根据条件“，且”，直接应用基本不等式得到，从而求得结果； （2）将恒成立问题转化为最值处理，利用基本不等式求得，从而得到不等式，求解得答案. 【详解】（1），且， ， 当且仅当时，取等号，故的最小值为． （2），且， ，当且仅当，且，即，时，取等号， 即的最小值为， ，即，解得， 即实数的取值范围是． 【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求和的最小值，将恒成立问题向最值转化，一元二次不等式的解法，属于简单题目. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级第一次质量检测 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A＝{0，1}，则下列关系表示错误的是 A. 0∈A B. {1}∈A C. ∅⊆A D. {0，1}⊆A 2. 已知集合，集合或，，则（ ） A. B. C. 或 D. 3. 设，则是成立的 A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 命题“∃x＞0，x2＝x﹣1”的否定是（　　） A. ∃x＞0，x2≠x﹣1 B. ∀x≤0，x2＝x﹣1 C. ∃x≤0，x2＝x﹣1 D. ∀x＞0，x2≠x﹣1 5. 若集合，，且，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设，，若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 11. 若，，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 12. 下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集是 B. “，”是“”成立的充分条件 C. 命题：，，则：， D. “”是“”的必要条件 三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分 13. 某班共有38人，其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，10人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱的人数为_____________. 14. 若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是________． 15. 若，，且，则的最小值为________. 16. 设常数，集合．若，则的取值范围为_________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知集合，，若，求实数的值. 18. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 19. 已知命题：和命题： （1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围. （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 20. 已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0． （1）当a＝2时，解关于x的不等式； （2）当a＞0时，解关于x的不等式． 21. 经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有函数关系：． （1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到） （2）为保证在该时段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 22. 已知，且． （1）求的最小值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $