精品解析：江苏省南京市某校2023-2024学年高二上学期第三次质量调研（10月）数学试题

高二年级上学期第三次质量调研考试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若共面，则等于（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 1或0 3. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与直线垂直，则a＝（ ） A. 3 B. 1或﹣3 C. ﹣1 D. 3或﹣1 5. 设直线l：与直线平行，则点到l的距离的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知直线恒过定点，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 7. 过点的直线的倾斜角是直线:的倾斜角的2倍，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，空间四边形中，，，则，的值是（ ） A. 0 B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设是空间的一个基底，则下列结论正确的是（ ） A. 可以为任意向量 B. 对任一空间向量，存在唯一有序实数组，使 C. 若，则 D. 可以构成空间的一个基底 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 向量，若，则 B. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 任意向量，满足 11. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为 C. 直线的倾斜角为 D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 13. 已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________． 14. 已知和点关于直线对称，则点坐标为________． 15. 平面与平面夹角为，与的交线上有A，B两点，直线AC，BD分别在平面与内，且都垂直于AB.已知，则CD的长为__________. 16. 已知直线l过点且与线段有交点，其中，，则直线l的斜率k的取值范围是__________，倾斜角α的取值范围是__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知，，求： （1）； （2）向量与夹角的余弦值. 18. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，，为侧棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的大小. 20. 如图，在直四棱柱中，四边形为平行四边形，，直线与平面所成角的正弦值为. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 21. 已知平面内两点A（﹣1，2），B（1，4）. （1）求过点P（2，﹣3）且与直线AB平行的直线l的方程； （2）一束光线从B点射向（1）中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程. 22. 如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级上学期第三次质量调研考试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可得结果. 【详解】由已知可得. 故选：A. 2. 已知向量，若共面，则等于（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 1或0 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共面的条件求解． 【详解】因为共面，所以存在不全为0的实数，使得， 即，解得． 故选：C． 3. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量定义并根据向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】易知向量在向量上的投影向量为. 故选：A 4. 已知直线与直线垂直，则a＝（ ） A. 3 B. 1或﹣3 C. ﹣1 D. 3或﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得出关于的方程，即可求解实数的值. 【详解】直线与直线垂直， 所以，解得或. 故选：D. 5. 设直线l：与直线平行，则点到l的距离的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线平行的条件求得m的值，得到直线l的方程，利用点到直线的距离公式得到A到l的距离关于a的函数表达式，进而求得最小值. 【详解】由已知两直线平行，∴,∴直线, ∴到l的距离的,当时取到最小值, 故选： 6. 已知直线恒过定点，则点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由恒成立得可得定点. 【详解】由得， 因为恒成立， 所以 解得 所以恒过定点 故选：D 7. 过点的直线的倾斜角是直线:的倾斜角的2倍，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由的斜率得倾斜角，从而得直线的倾斜角，得斜率后可得直线方程． 【详解】，，所以，所以直线的方程是： ，即． 故选：B． 8. 如图所示，空间四边形中，，，则，的值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，以及两个向量的数量积的定义求出，的值即可. 【详解】， ， ，， 故选：A 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设是空间的一个基底，则下列结论正确的是（ ） A. 可以为任意向量 B. 对任一空间向量，存在唯一有序实数组，使 C. 若，则 D. 可以构成空间的一个基底 【答案】BD 【解析】 【分析】根据是空间的一组基底，利用空间向量基本定理，结合空间向量的定义、基底的定义以及垂直的定义即可判断. 【详解】对于A，因为是空间的一个基底，所以为不共面的非零向量，A不正确； 对于B，由空间向量基本定理知，对任一空间向量，存在唯一有序实数组，使，B正确； 对于C，，但不一定垂直，C不正确； 对于D，假设共面，则存在唯一实数对，使得， 所以，无解，所以不共面， 所以可以构成空间的一个基底，D正确. 故选：BD. 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 向量，若，则 B. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 任意向量，满足 【答案】AB 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算、向量平行的意义及坐标表示、数量积的定义、性质对各命题逐一判断即可． 【详解】对于A，因，，则，A正确； 对于B，因，则＝，即，即A、B、C三点共线，B正确； 对于C，，若为钝角，则，且与不共线，由得，当时，，即， 由与不共线得，于是得当且时，为钝角，C错误； 对于D，是的共线向量，而是的共线向量，故D错误， 故选：AB 11. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 由图像可知， 则， 故选：AD 12. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为 C. 直线的倾斜角为 D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 【答案】AC 【解析】 【分析】直接利用直线的方程，直线的倾斜角和斜率之间的关系逐项判断即可得结论． 【详解】对于A：直线，整理得，所以该直线经过点，故A正确； 对于B：直线，令，解得，故直线在y轴上的截距为2，故B错误； 对于C：直线，所以直线的斜率，所以，由于故，故C正确； 对于D：直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则，所以直线的斜率为，故D不正确． 故选：AC. 三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 13. 已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据题意判断存在实数k1，k2，使，再进行空间向量的坐标运算构建方程，解出参数即可. 【详解】解析：因为点P在平面ABC内， 所以存在实数k1，k2，使 ， 即(x－4，－2，0)＝k1(－2，2，－2)＋k2(－1，6，－8)， 所以，解得. 故答案为：11． 14. 已知和点关于直线对称，则点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，则由线段的中点在直线上，，列方程组可求出点坐标 【详解】解：设点的坐标为，则 ，解得， 所以点坐标为， 故答案为： 15. 平面与平面夹角为，与的交线上有A，B两点，直线AC，BD分别在平面与内，且都垂直于AB.已知，则CD的长为__________. 【答案】或4 【解析】 【分析】由，利用向量法求解. 【详解】如图所示： 因为平面与平面夹角为，， 若二面角为时， 所以， 所以， ， ， 所以； 当二面角为时，， 所以. 故答案为：或4. 16. 已知直线l过点且与线段有交点，其中，，则直线l的斜率k的取值范围是__________，倾斜角α的取值范围是__________． 【答案】 ①. ［—1，1] ②. 【解析】 【分析】 由于直线与连接，的线段总有公共点，可得，再利用斜率计算公式即可得出，利用倾斜角与斜率的关系、正切函数的单调性即可得出． 【详解】， 直线与连接，的线段总有公共点， ，． 直线的斜率的取值范围是，． ，，，， 倾斜角的取值范围是 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了直线的斜率计算公式和斜率的意义、倾斜角与斜率的关系、正切函数的单调性，属于基础题 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知，，求： （1）； （2）向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 18. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可； （2）根据向量的运算性质代入计算即可. 【小问1详解】 ， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. 【小问2详解】 由题意得， 故， 故 . 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，，为侧棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的大小. 【答案】（1）证明如下： 因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 因为点M为中点，， 所以，又平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，则有，再证明平面，根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知可得， 因为平面， 所以，即为平面PCD的一个法向量， ， 设直线与平面所成角为， 则， 又，所以， 即直线与平面所成角的大小为. 20. 如图，在直四棱柱中，四边形为平行四边形，，直线与平面所成角的正弦值为. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由条件可得，然后建立空间直角坐标系，设，算出平面的法向量，然后由条件可求出，然后可算出答案； （2）算出平面的法向量，然后可算出答案. 【详解】 （1）因为，所以，所以 如图建立空间直角坐标系，设，则 设平面的法向量为 则，即，所以可取 所以，解得 所以， 所以点到平面的距离为 （2）设平面的法向量为， 则，即，可取 所以，由图可得平面与平面的夹角为锐角 所以平面与平面的夹角的余弦值为 21. 已知平面内两点A（﹣1，2），B（1，4）. （1）求过点P（2，﹣3）且与直线AB平行的直线l的方程； （2）一束光线从B点射向（1）中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程. 【答案】（1）x﹣y﹣5＝0 （2）3x+5y﹣7＝0 【解析】 【分析】（1）求得直线AB的斜率，运用直线的点斜式方程可得所求方程； （2）设B（1，4）关于直线l的对称点B'（m，n），运用两直线垂直的条件和中点坐标公式，求得m，n，再由直线的点斜式方程可得所求直线方程． 【小问1详解】 由直线的点斜式方程可得直线l：y+3（x﹣2）， 即直线l的方程为x﹣y﹣5＝0； 【小问2详解】 （2）设B（1，4）关于直线l的对称点B'（m，n）， 所以1，（m+1）（n+4）﹣5＝0， 解得，所以B'（9，﹣4）， kB'A， 由点斜式方程可得y﹣2（x+1），整理可得3x+5y﹣7＝0， 所以反射光线所在的直线方程为3x+5y﹣7＝0． 22. 如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）四边形为正方形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，； 又，平面，，平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直性质可得平面，得到；由线面垂直的判定定理可证得结论； （2）取中点，由面面垂直性质可知平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连结， 为等腰直角三角形，平面平面，平面，平面，知两两互相垂直， 以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系. 则，，，，，，， 设平面的法向量为， 则，令，解得：，，； 由（1）知：平面，平面的一个法向量为， ， 由图形可知：二面角为钝二面角， 二面角的余弦值为. 【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是： （1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量； （2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角； （3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $