两角和与差的三角函数讲义-2025届高三数学一轮复习

第三节　三角恒等变换 第1课时　两角和与差的三角函数 【课标解读】 【课程标准】 1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式. 【核心素养】 数学抽象、数学运算. 【命题说明】 考向 考法 高考命题常以角为载体,考查两角和与差的三角函数;三角函数化简求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现. 预测 高考可能会与三角恒等变换结合考查. 【必备知识·逐点夯实】 知识梳理·归纳 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α-β):cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;  (2)公式C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;  (3)公式S(α-β):sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β;  (4)公式S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;  (5)公式T(α-β):tan(α-β)=; (6)公式T(α+β):tan(α+β)=. 2.辅助角公式 asin α+bcos α=sin(α+φ),其中sin φ=,cos φ=. 　常用结论 两角和与差的公式的常用变形: (1)sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β. (2)cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β. (3)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β). tan αtan β=1-=-1. 基础诊断·自测 类型 辨析 改编 易错 高考 题号 1 2 4 3 1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)存在α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β.(　　) (2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意角.(　　) (3)两角和与差的正切公式中的角α,β是任意角.(　　) (4)公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关.(　　) 2.(必修第一册P219例4改条件)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于(　　) A.- B. C.- D. 3.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)= 2cos(α+)sinβ,则(　　) A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 4.(记错公式形式导致错误)若将sin x-cos x写成2sin(x-φ)的形式,其中0≤φ<π,则φ=　　　　.  【核心考点·分类突破】 考点一两角和与差的三角函数公式的基本应用 [例1](1)若cos α=-,α是第三象限角,则sin(α+)=(　　) A. B.- C.- D. (2)(2024·湛江模拟)已知cos α+cos(α-)=1,则cos(α-)等于(　　) A. B. C. D. (3)已知sin α=,α∈(,π),tan (π-β)=, 则tan (α-β)的值为(　　) A.- B. C. D.- 解题技法 (1)两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数. (2)在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的. 对点训练 1.已知sin α=sin(α+)+,则cos(α+)的值为(　　) A. B.- C. D.- 2.已知cos(α+)=cos α,tan β=,则tan (α+β)=　　　　.  【加练备选】 　　　(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ+sin(θ+)=1,则sin(θ+)等于(　　) A. B. C. D. 考点二两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 角度1　公式的逆用 [例2](1)(2024·武汉模拟)sin 109°cos 296°+cos 71°sin 64°=(　　) A. B. C. D.1 (2)(2024·梧州模拟)=(　　) A.- B. C.- D. 解题技法 　逆用公式化简计算的技巧 (1)熟记和差倍角公式的结构特征及符号规律,分析所求值式子与公式的异同,必要时对其进行转化、变形、常数替换等,创造条件逆用公式. (2)注意诱导公式在调整角的大小与函数名称中的合理应用. 角度2　公式的灵活应用 [例3](1)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,则tan Atan B的值为(　　) A. B. C. D. (2)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　.  (3)若α+β=-,则(1+tan α)(1+tan β)=　　　　　.  [变式]若将本例(1)的条件改为tan Atan B=tan A+tan B+1,则C等于　　　　.  解题技法 　公式变形应用的技巧 两角和与差的正切公式及其变形将tan(α±β),tan α±tan β,tan αtan β三者联系在一起,已知其中的两个或两个之间的关系,即可求出另外一个的值. 角度3　辅助角公式的运用 [例4]化简: (1)3cos x+3sin x; (2)sin-cos ; (3)3sin x+3cos x. 辅助角公式及其应用 1.辅助角公式:asin x+bcos x可化成sin (x+φ),这里辅助角φ所在的象限由a,b的符号确定,角φ由tan φ=确定,其推导过程如下: asin x+bcos x =(sin x+cos x), 令cos φ=,sin φ=, 则原式=(sin xcos φ+cos xsin φ)=·sin (x+φ). 2.公式应用技巧:在辅助角公式asin x+bcos x=sin (x+φ)中,当|a|=|b|时,一般可引入辅助角φ=;当||=或||=时,一般可引入辅助角φ=或. 对点训练 1.cos (α-35°)cos (25°+α)+sin (α-35°)sin (25°+α)的值为(　　) A.- B. C.- D. 2.若α+β=,则tan αtan β-tan α-tan β的值为　　　　.  3.(2022·北京高考)若函数f(x)=Asin x-cos x的一个零点为,则A=　　　　;f()=　　　　.  考点三角的变换问题 [例5](1)(2024·株洲模拟)已知θ∈(0,),sin(θ-)=,则tan θ=(　　) A.2 B. C.3 D. (2)已知α,β∈(,),若sin(α+)=,cos(β-)=,则sin (α-β)的值为(　　) A. B. C. D. 解题技法 　常用的拆角、配角技巧 ①2α=(α+β)+(α-β); ②α=(α+β)-β=(α-β)+β; ③β=-=(α+2β)-(α+β); ④α-β=(α-γ)+(γ-β);+α=-(-α)等. 对点训练 1.(2024·烟台模拟)已知tan (α+β)=,tan (α-β)=,则tan (π-2α)=(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.已知0<α<<β<π,tan α=,cos (β-α)=,则sin α=　　　　,cos β=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三节　三角恒等变换 第1课时　两角和与差的三角函数 【课标解读】 【课程标准】 1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式. 【核心素养】 数学抽象、数学运算. 【命题说明】 考向 考法 高考命题常以角为载体,考查两角和与差的三角函数;三角函数化简求值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现. 预测 高考可能会与三角恒等变换结合考查. 【必备知识·逐点夯实】 知识梳理·归纳 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α-β):cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;  (2)公式C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;  (3)公式S(α-β):sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β;  (4)公式S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;  (5)公式T(α-β):tan(α-β)=; (6)公式T(α+β):tan(α+β)=. 2.辅助角公式 asin α+bcos α=sin(α+φ),其中sin φ=,cos φ=. 　常用结论 两角和与差的公式的常用变形: (1)sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β. (2)cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β. (3)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β). tan αtan β=1-=-1. 基础诊断·自测 类型 辨析 改编 易错 高考 题号 1 2 4 3 1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)存在α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β.(　　) (2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意角.(　　) (3)两角和与差的正切公式中的角α,β是任意角.(　　) (4)公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关.(　　) 提示:当α=β=0时,sin(α+β)=sin α+sin β,所以(1)正确;由两角和与差的正弦、余弦、正切公式成立的条件可知,(2)正确,(3)错误;由辅助角公式可知,asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值有关,所以(4)错误. 答案:(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2.(必修第一册P219例4改条件)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于(　　) A.- B. C.- D. 【解析】选D.原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=. 3.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)= 2cos(α+)sinβ,则(　　) A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 【解析】选C.方法一:因为sin(α+β)+cos(α+β)=2cos(α+)sin β, 所以sin(α+β+)=2cos(α+)sin β, 即sin(α+β+)=2cos(α+)sin β, 所以sin(α+)cos β+sin βcos(α+)=2cos(α+)sin β, 所以sin(α+)cos β-sin βcos(α+) =0, 所以sin(α+-β) =0,所以α+-β=kπ,k∈Z, 所以α-β=kπ-, 所以tan(α-β)=-1. 方法二:由题意可得,sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2(cos α-sin α)sin β, 即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0, 所以sin(α-β)+cos(α-β)=0, 故tan(α-β)=-1. 4.(记错公式形式导致错误)若将sin x-cos x写成2sin(x-φ)的形式,其中0≤φ<π,则φ=　　　　.  【解析】因为sin x-cos x=2(sin x-cos x), 所以cos φ=,sin φ=, 因为0≤φ<π,所以φ=. 答案: 【核心考点·分类突破】 考点一两角和与差的三角函数公式的基本应用 [例1](1)若cos α=-,α是第三象限角,则sin(α+)=(　　) A. B.- C.- D. 【解析】选B.因为α是第三象限角,所以sin α<0, 且sin α=-=-=-, 因此,sin(α+)=sin αcos+cos αsin = (-)×+(-)×=-. (2)(2024·湛江模拟)已知cos α+cos(α-)=1,则cos(α-)等于(　　) A. B. C. D. 【解析】选D.因为cos α+cos(α-)=1, 所以cos α+cos α+sin α=cos α+sin α =(cos α+sin α) =cos(α-)=1, 所以cos(α-)=. (3)已知sin α=,α∈(,π),tan (π-β)=, 则tan (α-β)的值为(　　) A.- B. C. D.- 【解析】选A.因为α∈(,π),所以cos α=-, tan α=-,又tan (π-β)=,所以tan β=-, 所以tan (α-β)= ==-. 解题技法 (1)两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数. (2)在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的. 对点训练 1.已知sin α=sin(α+)+,则cos(α+)的值为(　　) A. B.- C. D.- 【解析】选B.由sin α=sin(α+)+,得sin α=sin αcos+cos αsin +=sin α+cos α+,则cos α-sin α=-,即cos(α+)= -. 2.已知cos(α+)=cos α,tan β=,则tan (α+β)=　　　　.  【解析】因为cos(α+)=cos α-sin α =cos α,所以-sin α=cos α,故tan α=-, 所以tan (α+β)== ==-. 答案:- 【加练备选】 　　　(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ+sin(θ+)=1,则sin(θ+)等于(　　) A. B. C. D. 【解析】选B.因为sin θ+sin(θ+) =sin(θ+-)+sin(θ++) =sin(θ+)cos-cos(θ+)sin +sin(θ+)cos +cos(θ+)sin =2sin(θ+)cos =sin(θ+)=1, 所以sin(θ+)=. 考点二两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 角度1　公式的逆用 [例2](1)(2024·武汉模拟)sin 109°cos 296°+cos 71°sin 64°=(　　) A. B. C. D.1 【解析】选B.sin 109°cos 296°+cos 71°sin 64° =sin (180°-71°)cos (360°-64°)+cos 71°sin 64° =sin 71°cos 64°+cos 71°sin 64°=sin (71°+64°)=sin 135°=. (2)(2024·梧州模拟)=(　　) A.- B. C.- D. 【解析】选A.== tan(+)=tan=tan(π-)=-tan =-. 解题技法 　逆用公式化简计算的技巧 (1)熟记和差倍角公式的结构特征及符号规律,分析所求值式子与公式的异同,必要时对其进行转化、变形、常数替换等,创造条件逆用公式. (2)注意诱导公式在调整角的大小与函数名称中的合理应用. 角度2　公式的灵活应用 [例3](1)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,则tan Atan B的值为(　　) A. B. C. D. 【解析】选B.因为C=120°,所以tan C=-. 因为A+B=π-C, 所以tan (A+B)=-tan C, 所以tan (A+B)=, tan A+tan B=(1-tan Atan B), 又因为tan A+tan B=, 所以tan Atan B=. (2)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　.  【解析】因为sin α+cos β=1,cos α+sin β=0, 所以sin2α+cos2β+2sin αcos β=1,① cos2α+sin2β+2cos αsin β=0,② ①②两式相加可得 sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,所以sin (α+β)=-. 答案:- (3)若α+β=-,则(1+tan α)(1+tan β)=　　　　　.  【解析】tan(-)=tan(α+β)==1,所以1-tan αtan β=tan α+tan β, 所以1+tan α+tan β+tan αtan β=2, 即(1+tan α)(1+tan β)=2. 答案:2 [变式]若将本例(1)的条件改为tan Atan B=tan A+tan B+1,则C等于　　　　.  【解析】在△ABC中,因为tan Atan B=tan A+tan B+1,所以tan (A+B)==-1=-tan C,所以tan C=1,所以C=45°. 答案:45° 解题技法 　公式变形应用的技巧 两角和与差的正切公式及其变形将tan(α±β),tan α±tan β,tan αtan β三者联系在一起,已知其中的两个或两个之间的关系,即可求出另外一个的值. 角度3　辅助角公式的运用 [例4]化简: (1)3cos x+3sin x; 【解析】(1)原式=3(cos x+sin x) =3cos(x-). (2)sin-cos ; 【解析】(2)方法一:原式=2(sin-cos) =2(sinsin-coscos) =-2cos(+)=-2cos =-. 方法二:原式=2(sin-cos) =2(cossin-sincos) =-2sin(-) =-2sin =-. (3)3sin x+3cos x. 【解析】(3)3sin x+3cos x =6(sin x+cos x) =6(sin xcos+cos xsin) =6sin(x+). 解题技法 辅助角公式及其应用 1.辅助角公式:asin x+bcos x可化成sin (x+φ),这里辅助角φ所在的象限由a,b的符号确定,角φ由tan φ=确定,其推导过程如下: asin x+bcos x =(sin x+cos x), 令cos φ=,sin φ=, 则原式=(sin xcos φ+cos xsin φ)=·sin (x+φ). 2.公式应用技巧:在辅助角公式asin x+bcos x=sin (x+φ)中,当|a|=|b|时,一般可引入辅助角φ=;当||=或||=时,一般可引入辅助角φ=或. 对点训练 1.cos (α-35°)cos (25°+α)+sin (α-35°)sin (25°+α)的值为(　　) A.- B. C.- D. 【解析】选B.由两角差的余弦公式,得cos (α-35°)·cos (25°+α)+sin (α-35°)sin (25°+α)=cos [(α-35°)-(25°+α)]=cos (-60°)=. 2.若α+β=,则tan αtan β-tan α-tan β的值为　　　　.  【解析】因为α+β=,所以tan (α+β)==tan(π-)=-,所以tan α+tan β=-(1-tan αtan β),所以tan αtan β-tan α-tan β=tan αtan β-(tan α+tan β)= tan αtan β+-tan αtan β=. 答案: 3.(2022·北京高考)若函数f(x)=Asin x-cos x的一个零点为,则A=　　　　;f()=　　　　.  【解析】依题意得f(=A×-×=0,解得A=1,所以f(x)=sin x-cos x=2sin(x-),所以f()=2sin(-)=-. 答案:1　- 考点三角的变换问题 [例5](1)(2024·株洲模拟)已知θ∈(0,),sin(θ-)=,则tan θ=(　　) A.2 B. C.3 D. 【解析】选C.因为θ∈(0,),所以-<θ-<,故cos(θ-)==,所以sin θ=sin[(θ-)+]=[sin(θ-)+cos(θ-) ]=,故cos θ==, 因此tan θ==3. (2)已知α,β∈(,),若sin(α+)=,cos(β-)=,则sin (α-β)的值为(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.由题意可得α+∈(,π), β-∈(-,0), 所以cos(α+)=-,sin(β-)=-, 所以sin (α-β)=-sin[ (α+)-(β-) ] =-×+(-)×(-) =. 解题技法 　常用的拆角、配角技巧 ①2α=(α+β)+(α-β); ②α=(α+β)-β=(α-β)+β; ③β=-=(α+2β)-(α+β); ④α-β=(α-γ)+(γ-β);+α=-(-α)等. 对点训练 1.(2024·烟台模拟)已知tan (α+β)=,tan (α-β)=,则tan (π-2α)=(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 【解析】选B.因为2α=(α+β)+(α-β),所以tan 2α===1. 又tan (π-2α)=-tan 2α,所以tan (π-2α)=-1. 2.已知0<α<<β<π,tan α=,cos (β-α)=,则sin α=　　　　,cos β=　　　　.  【解析】因为0<α<,且tan α=, 所以sin α=,cos α=, 由0<α<<β<π, 则0<β-α<π, 又因为cos (β-α)=, 则sin (β-α)=, 所以cos β=cos [(β-α)+α] =cos (β-α)cos α-sin (β-α)sin α =×-×=-. 答案:　- 学科网（北京）股份有限公司 $$