2025年九年级中考数学复习 第09讲 函数与平面直角坐标系（讲义）

第09讲 函数与平面直角坐标系 目 录 学科网（北京）股份有限公司 考点一 平面直角坐标系 2 题型01 用有序数对表示点的位置 3 考点二 点的坐标特征与变换 5 一、点的坐标特征 5 四、坐标系内点与点之间的距离 7 题型01 判断点所在的象限 7 题型02 由点到坐标轴的距离判断点的坐标 10 题型03 由点在坐标系的位置确定点的坐标 12 题型05 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围 14 题型06 探索点的坐标规律 18 类型一 平移 18 类型二 沿坐标系水平运动的点的规律探查 20 类型三 沿坐标系翻折运动的点的规律探查 24 类型四 图形变换中点的规律探查 28 类型五 新定义问题中点的规律探查 30 考点三 坐标方法的简单应用 34 题型01 实际问题中用坐标表示位置 35 题型02 用方位角和距离确定物体位置 37 题型03 根据方位描述确定物体位置 40 题型04 平面直角坐标系中面积问题 41 类型一 直接利用面积公式求面积 41 类型二 已知三角形面积求点的坐标 44 考点四 函数 47 一、函数的相关概念： 47 二、函数的三种表示法及其优缺点 48 题型01 函数的概念辨析 48 题型02 根据实际问题列函数解析式 50 题型03 求自变量的取值范围 53 题型04 求自变量的值或函数值 54 题型05 函数图象的识别 55 题型06 从函数图象中获取信息 58 题型07 用描点法画函数图象 61 题型08 动点问题的函数图象 67 学科网（北京）股份有限公司 考点一 平面直角坐标系 有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 相关概念 具体内容 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限. 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一） 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). （见图二） 1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同. 2. 坐标轴上的点不属于任何象限. 3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标. 4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系. 题型01 用有序数对表示点的位置 【例1】．（2023·吉林·统考一模）在学习有序数对时，老师和同学们用如图所示的密码表玩听声音猜动物的游戏．当听到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-叮”时，分别对应的字母是“C，A，T”，表示的动物是猫．当听到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”时，表示的动物是（    ） A．牛 B．鱼 C．狗 D．猪 【答案】C 【分析】根据题意，声音的前一部分表示列数，后一部分表示行数，举出即可求解． 【详解】解：依题意，“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”，对应的字母分贝为D，O，G， 故选：C． 【点睛】本题考查了用有序实数对表示位置，理解题意是解题的关键． 【变式1-1】（2023·山东临沂·统考中考真题）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：点B的坐标为； 故选：A． 【点睛】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，是解题的关键． 【变式1-2】（2023长阳县一模）如图是济南市地图简图的一部分，图中“济南西站”、“雪野湖”所在区域分别是（    ） D E F 4 遥墙国际机场 5 济南西站 野生动物世界 6 济南国际园博园 七星台风景区 雪野湖 A．E4，E6 B．D5，F5 C．D6，F6 D．D5，F6 【答案】D 【分析】观察已知表格，由行列定位法确定位置即可知道答案． 【详解】解：由行列定位法知，图中“济南西站”、“雪野湖”所在区域分别是：D5，F6故选：D 【点睛】本题考查行列定位法确定位置，熟记相关的知识点是解题的关键． 【变式1-3】（2023·北京海淀·校考一模）小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序，如果用表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置可以表示为 ， 的位置离入口最近． 【答案】 天文馆 【分析】先根据入口和高空缆车的位置，确定原点，并建立平面直角坐标系，即可进行解答． 【详解】解：∵表示入口处的位置，表示高空缆车的位置， ∴可建立如图所示平面直角坐标系： 由图可知：攀岩的位置可以表示为，天文馆的位置离入口最近． 故答案为：，天文馆． 【点睛】本题主要考查了根据题意建立平面直角坐标系，解题的关键是根据表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，确定原点位置． 在同一平面内，表示物体的位置需要用两个数，而且这两个数顺序不同，表示的位置也不同. 用有序数对表示位置时，必须明确前后两个数表示的实际意义. 考点二 点的坐标特征与变换 一、点的坐标特征 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 二、点的坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 三、点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝ . 四、坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 1）原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点. 2）点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上. 3）已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值. 4）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面： ①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关； ②距离都是非负数，而坐标可以是负数. 5）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小. 题型01 判断点所在的象限 【例1】（（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 解得，， ∴点在第四象限， 故选：D 【变式1-1】（2024·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标，理解点的坐标意义是关键．根据点P的坐标可得出横、纵轴上一格代表一个单位长度，然后观察坐标系即可得出答案． 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴点Q的坐标为， 故选：C． 【变式1-2】（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键． 【变式1-3】（2023·浙江·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据点坐标分别判断出横坐标和纵坐标的符号，从而就可以判断改点所在的象限． 【详解】解：， ，， 满足第二象限的条件． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中点的坐标以及象限知识，解题的关键在于熟练掌握各个象限的横纵坐标点的符号特点． 【变式1-4】（2023遂溪县三模）已知，则点在（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】首先判断点横纵坐标的符号，进而得出所在象限． 【详解】解：， ，， 点在第二象限． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征，熟练掌握各象限内点的坐标符号是解决本题的关键． 【变式1-5】2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 【详解】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(- ,+)；第三象限(- ,- )；第四象限(+,-)． 题型02 由点到坐标轴的距离判断点的坐标 【例2】（2023邯郸市三模）已知点在第四象限，且到轴的距离为，到轴距离是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，点到轴的距离是纵坐标的绝对值，点到轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案． 【详解】解：由到轴的距离是，到轴的距离是，得： ，． ， 又点位于第四象限， ，， ，， 点坐标为， 故选：． 【点睛】本题考查了点的坐标，点到轴的距离是纵坐标的绝对值，点到轴的距离是横坐标的绝对值得出，是解题关键． 【变式2-1】（2023·湖南长沙·统考一模）已知第三象限的点，那么点P到x轴的距离为（　　） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】根据到x轴的距离是纵坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：点到x轴的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，解题关键是熟记到x轴的距离是纵坐标的绝对值． 【变式2-2】（2023·广东广州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，，且．那么点的到轴的距离是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，进而得出，根据，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则，， ， ， ， ， ， 又的坐标是， ， ， ，， ， ， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键． 题型03 由点在坐标系的位置确定点的坐标 【例3】（2023福州一中一模）已知在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为(　　) A． B． C．( D． 【答案】B 【分析】根据题意描出点，结合矩形的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，矩形的三个顶点的坐标为，，， ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的等定义，数形结合是解题的关键． 【变式3-1】（2023·贵州贵阳·统考三模）若一个点的坐标为，则这个点在如图所示的平面直角体系上的位置是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据的坐标信息可得点在第二象限，从而可得答案． 【详解】解：一个点的坐标为， 则这个点在如图所示的平面直角坐标系上的位置是点N， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系内点的坐标特点，根据点的坐标确定点所在的象限是解本题的关键． 【变式3-2】（2020·江苏连云港·中考真题）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先根据条件，算出每个正方形的边长，再根据坐标的变换计算出点A的坐标即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 则由题设条件可知： 解得： 点A的横坐标为：，点A的纵坐标为： 故点A的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，根据图形和点的特征计算出点的坐标是解题的关键． 【变式3-3】（2023·山东临沂·统考二模）如图是棋盘的一部分，已知建立适当的平面直角坐标系后，棋盘中“相”的坐标是，“馬”的坐标是，则“帅”的坐标是 ．    【答案】 【分析】先利用已知点坐标得出原点位置，进而确定“帅”的坐标即可． 【详解】解：由棋盘中“相”的坐标是，“馬”的坐标是， 则建立如图所示坐标系：    “帅”的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解答本题的关键． 【变式3-4】点关于点的对称点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据题意可得P为的中点，再由中点坐标公式计算，即可求解． 【详解】解：∵关于点的对称点为B， ∴P为的中点， 设B点的坐标为， ∴，解得： ∴B点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握中点坐标公式． 题型05 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围 【例5】（2023新桥区三模）点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由纵坐标为0可得：，进而求解m的值，则问题得解． 【详解】解：由点P在直角坐标系的轴上，可得： ，解得：， ， 点； 故选A． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系里点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系里x轴上点的坐标特点是解题的关键． 【变式5-1】（2023·浙江杭州·统考二模）点在y轴上，则点M的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据y轴上点的横坐标为0求出m的值，即可得到答案． 【详解】∵点在y轴上， ∴， ∴点M的坐标可能为． 故选：D． 【点睛】本题考查点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0，x轴上点的纵坐标为0是解题的关键． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，点在x轴上，则点M的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴上的点的纵坐标为，得出的值进而得出的坐标． 【详解】解：点在x轴上，则， 解得， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴上的点的坐标特征，掌握轴上的点的纵坐标为0是解题的关键． 【变式5-3】（2023·江苏盐城·景山中学校考模拟预测）若点关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 或 【答案】C 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案． 【详解】解：点关于原点的对称点为， ∵在第二象限， ∴， 解得， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标以及解一元一次不等式组，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． 【变式5-4】）如果点关于原点对称的点在第四象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】首先根据题意判断出点在第二象限，再根据第二象限内点的坐标特点即可得到答案． 【详解】解：∵关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限， ∴，． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，以及各象限内点的坐标符号，关键是判断出点所在象限． 【变式5-5】（2023·山西太原·太原市实验中学校考三模）若点在第三象限，那么的值满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 【变式5-6】（2023·广东湛江·统考一模）已知点，当时，点在第 象限，当点在轴上时， ． 【答案】 四 【分析】本题主要考查了各象限内点的坐标符号特征以及坐标轴上的点的特征，解题的关键是熟记各象限内点的坐标符号．时，横坐标大于零，纵坐标小于零，即可得出答案，再根据轴上的点的纵坐标为，即可求解得． 【详解】解：时，，，由第四象限，可知点在第四象限； 当点在轴上时，由轴上的点的纵坐标为可得，解得． 故答案为：四；． 【变式5-7】（2023梅溪湖中学三模）在平面直角坐标系中，已知点在y轴上，则a的值是 ． 【答案】1 【详解】根据y轴上点的横坐标为0列方程求解即可． 【解答】解：因为点在y轴上， 所以， 解得． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键. 【变式5-8】（2023·江苏泰州·统考二模）若点在一、三象限角平分线的下方，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一、三象限夹角平分线上点的特点，得出关于a的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵点在一、三象限角平分线的下方， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了象限内点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握一、三象限夹角平分线上点的特点，列出不等式． 【变式5-9】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，若的顶点A，B，C，D的坐标分别为，，，，求m的值及的面积．    【答案】，的面积． 【分析】设BC与y轴交于点E．根据平行四边形的性质和各个坐标特点得出轴，，从而求出；根据，及即可求出，根据平行四边形的面积公式即可求得面积． 【详解】解：如图，设BC与y轴交于点E．    在中，，， 则有：轴，， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 又∵ ∴的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及坐标与图形，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【变式5-10】（2023·陕西汉中·统考一模）已知点是平面直角坐标系中的点．若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标． 【答案】 【分析】根据第三象限点的坐标特征与点到坐标轴的距离，列出方程并求解，即可确定点A的坐标． 【详解】解：点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了点的坐标特征，点到坐标轴的距离，解题关键是熟练掌握点的坐标特征：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 题型06 探索点的坐标规律 类型一 平移 【例6】（2023·浙江杭州·统考中考真题）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可． 【详解】解：点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点， ，即， 点的横坐标和纵坐标相等， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减． 【变式6-1】2023·浙江金华·统考中考真题）如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述正确是（    ）    A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】先根据平移方式求出，再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：∵将向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点， ∴， ∵， ∴点关于y轴对称， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，正确根据平移方式求出是解题的关键． 【变式6-2】（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键． 先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为． 【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移， 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， 故选：D． 类型二 沿坐标系水平运动的点的规律探查 【例6】（2023泰安六中二模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是个数一个循环，进而可得经过第次运动后，动点P的坐标． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， … 按这样的运动规律， 发现每个点的横坐标与次数相等， 纵坐标是个数一个循环， 所以， 所以经过第次运动后， 动点P的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了规律型−点的坐标，解决本题的关键是观察点的坐标变化寻找规律． 【变式6-1】（2023·河南安阳·统考一模）在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边→→→→…的路线运动，设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察可得，每6个点的纵坐标规律：，0，，0，，0，点的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，1秒钟走一段，P运动每6秒循环一次，点P运动n秒的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n，点P的纵坐标规律：，0，，0，，0，…，确定循环的点即可． 【详解】解：过点作轴于B， ∵图中是边长为2个单位长度的等边三角形， ∴， ∴， ∴，， 同理，， ，， ， … ∴中每6个点的纵坐标规律：，0，，0，，0， 点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…” 的路线运动，1秒钟走一段， ∴P运动每6秒循环一次， ∴点P的纵坐标规律：，0，，0，，0，…， 点P的横坐标规律： 1，2，3，4，5，6，…，， ∵， ∴点的纵坐标为， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标， 故选C． 【点睛】本题考查点的坐标变化规律，平面直角坐标系中点的特点及等边三角形的性质，勾股定理，确定点的坐标规律是解题的关键． 【变式6-2】（2024·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， ……， 发现规律：点经过3次运算后还是， ∵， ∴点经过2024次运算后得到点， 故答案为：． 【变式6-3】（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键． 先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为． 【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移， 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， 故选：D． 类型三 沿坐标系翻折运动的点的规律探查 【例7】（2023·河南驻马店·校考一模）如图1， 中，∠，，，将 放置在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴正半轴上．将 按如图方式顺时针滚动无滑动，则滚动次后，点的横坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形滚动规律得出每次一循环，由已知可得三角形周长为 ，进而可得滚动次后，点的横坐标． 【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2， ∴ 的周长为 ， 根据题意可得，每滚动次，点的横坐标增加 ， ， 滚动次后，点的横坐标增加了 )， 滚动次后，点的横坐标为 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，坐标规律，找到规律是解题的关键． 【变式7-1】（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点处．点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，，则点的横坐标为 ．    【答案】12128 【分析】然后通过旋转发现，每偶数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标． 【详解】解：∵点， ∴， ∴ ， ∴， 观察图象可知，点的纵坐标为4， ∵， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 故答案为12128． 【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型：点的坐标，解题的关键是循环探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 【变式7-2】（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形，以此类推…、则正方形的顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】首先求出、、、、、、、、的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点的坐标． 【详解】解：∵边长为1的正方形的两边在坐标轴上， ∴点坐标为， ， ∵正方形是正方形的对角线为边， ∴， ∴点坐标为， 同理可知，点坐标为， 同理可知，点坐标为， 点坐标为，点坐标为， ，，， 由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍， ∴当为自然数， 如果时，那么； 如果时，那么； 如果时，那么； 如果时，那么； 如果时，那么； 如果时，那么； 如果时，那么； 如果时，那么； ∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，规律型：点的坐标以及分类讨论思想，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大． 【变式7-3】．（2023·河南安阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，规定把正方形“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2023次变换后，正方形的中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正方形的顶点，，求得正方形的边长为2，则顶点，所以正方形的中心的坐标为，可求得经过n次变换，正方形的中心的横坐标为，纵坐标为，求出当时，代数式和的值，即得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴， ∴， ∵点、点关于正方形的中心对称， ∴正方形的中心的坐标为， ∵把正方形“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换， ∴经过一次变换，正方形的中心的坐标为， 经过二次变换，正方形的中心的坐标为， …… 经过n次变换，正方形的中心的横坐标为，纵坐标为， 当时，，， ∴这样连续经过2023次变换后，正方形的中心的坐标为， 故选：C． 【点睛】此题重点考查坐标与图形、轴对称的性质、平移的性质等知识，正确地找到经过n次变换后正方形中心的坐标的变化规律是解题的关键． 类型四 图形变换中点的规律探查 【例9】（2023·河南郑州·校考三模）小星利用平面直角坐标系绘制了如下风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，接着他将绕原点O逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点O逆时针转动至，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：第一次转动后，点A的坐标为； 第二次转动后，点A的坐标为； 第三次转动后，点A的坐标为； 第四次转动后，点A的坐标为； 每次转动可知，4次一个循环， ∵， ∴转动2023次后，点A的坐标为， 故选：A 【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型：点的坐标，解题的关键是掌握探究规律的方法，属于中考常考题型． 【变式9-1】（2021·海南海口·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，第一次将 变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，，将进行n次变换，得到，观察每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据图形写出点A系列的坐标，根据具体数值找到规律即可． 【详解】解： ， 的横坐标为，纵坐标都为3， ，即 故答案为：；． 【点睛】本题考查点坐标的规律，涉及乘方知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式9-2】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 依次循环是解题的关键． 类型五 新定义问题中点的规律探查 【例10】（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考三模）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“”作变换．表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转得到，再将绕原点顺时针旋转得到依次类推．点经过“”变换后得到点的坐标为(   )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出点坐标变化规律，进而得出变换后的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：点按序列“011011011”作变换，表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，然后右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，然后右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，坐标平移与旋转，得出点坐标变化规律是解题关键． 【变式10-1】我们把1，1，2，3，5，8，13，21⋯这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作圆弧，，，⋯，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接，，，⋯，得到螺旋折线（如图），已知点，，，则该折线上的点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图象，推出的位置，即可解决问题． 【详解】解：观察发现： 先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到； 先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到； 先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到； 先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到； 先向左平移5个单位，再向下平移5个单位得到； 先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律等知识，解题的关键是理解题意，确定的位置． 【变式10-2】（2024·山东威海·中考真题）定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作． ②加法运算法则：，其中，，，为实数． 若，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， 故选：B． 【变式10-4】对有序数对的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（n为大于的整数)．如，,．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，读懂题目信息，理解操作方法并观察出点的纵坐标的指数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：依题意可得， ， ， ， ， …， ． 故答案为：． 1. 解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法： 1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标； 2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的规律． 2. 解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项： 1）求什么找什么的规律； 2）变化规律最好用算式而不是得数表示； 3）找算式中数字与序号间的变化规律； 4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）. 考点三 坐标方法的简单应用 用坐标表示地理位置的方法 1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向； 2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出长度单位； 3）坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称. 题型01 实际问题中用坐标表示位置 【例1】（2023·贵州·统考中考真题）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是，则龙洞堡机场的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据题意，一个方格代表一个单位，在方格中数出洞堡机场与喷水池的水平距离和垂直距离，再根据洞堡机场在平面直角坐标系的第三象限即可求解． 【详解】解：如图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 若贵阳北站的坐标是， 方格中一个小格代表一个单位，    洞堡机场与喷水池的水平距离又9个单位长度，与喷水池的垂直距离又4个单位长度，且在平面直角坐标系的第三象限， 龙洞堡机场的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，掌握在平面直角坐标系中确定一个坐标需要找出距离坐标原点的水平距离和垂直距离是解题的关键． 【变式1-1】（2023·山西晋城·校联考模拟预测）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据“摇光”的点的坐标与“开阳”的点的坐标先判断平面直角坐标系的原点，确定轴，轴，根据坐标系确定表示“天权”的点的坐标即可． 【详解】解：由表示“摇光”的点的坐标为与表示“开阳”的点的坐标为得：平面直角坐标系，如图：    可知：表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x、y轴的位置． 【变式1-2】（2021·吉林长春·模拟预测）如图是利用网格画出的长春市轨道交通线网图，若建立适当的平面直角坐标系，则表示解放大路的点的坐标为，表示伪皇宫的点的坐标为，则表示胜利公园的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】直接利用解放大路的点的坐标为（0，-4），表示伪皇宫的点的坐标为（4，2），进而建立平面直角坐标系得出原点位置即可． 【详解】解：根据解放大路的点的坐标为（0，-4），表示伪皇宫的点的坐标为（4，2），建立平面直角坐标系如图所示： 由坐标系可判断胜利公园的点的坐标是： 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键． 题型02 用方位角和距离确定物体位置 【例2】（2023·河北石家庄·校联考二模）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（　　）    A．向北偏西150°方向航行4海里 B．向南偏西120°方向航行3海里 C．向北偏西60°方向航行4海里 D．向东偏北150°方向航行3海里 【答案】C 【分析】根据方向角的定义：以正南或正北为基准，到目标所在线形成的小于的角，进行判断即可． 【详解】解：根据方向角的定义可知，搜救船的航行方案调整为向北偏西60°方向航行4海里， 故选：C． 【点睛】本题考查利用方向角确定位置．熟练掌握方向角的定义，是解题的关键． 【变式2-1】（2023·河北唐山·统考一模）如图，从地观测地，发现地在地的北偏东方向上，则从地观测地，可知地在地的（    ） A．北偏东方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．南偏西方向上 【答案】B 【分析】根据方位角定义找到基点结合上北下南左西右东及平行线性质即可得到答案 【详解】解：由题意可得， ， ， ∴地在地的南偏西方向上， 故选B； 【点睛】本题主要考查方位角计算及平行线性质，解题的关键是掌握方位角在基点位置画出东南西北． 【变式2-2】（2023·江苏连云港·统考中考真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为__________．    【答案】 【分析】根据题意，可得在第三个圆上，与正半轴的角度，进而即可求解． 【详解】解：根据图形可得在第三个圆上，与正半轴的角度， ∴点的坐标可以表示为 故答案为：． 【点睛】本题考查了有序实数对表示位置，数形结合，理解题意是解题的关键． 【变式2-3】（2022·河北保定·统考一模）在“爱我河北”白色垃圾清理活动中，小霞同学从B点出发，沿北偏西20°方向到达C地，已知，此时营地A在C的(    ) ． A．北偏东20°方向上 B．北偏东70°方向上 C．南偏西50°方向上 D．北偏西70°方向上 【答案】C 【分析】过点C作CH∥BE，CG∥AF，根据两直线平行，内错角相等，再根据三角形的内角和进行解答即可． 【详解】解：过点C作CH∥BE，CG∥AF， 由题意点C在点B的北偏西20°方向， ∴∠CBE=20°， ∵CH∥BE， ∴∠HCB=∠CBE=20°， ∵∠ACB=70°， ∴∠ACH=70°-20°=50°， ∴点A在点C的南偏西50°方向． 故选：C． 【点睛】本题考查的是方向角的概念，从运动的角度，根据方位角的度数，再结合三角形的内角和与平行线的性质求解是解答此题的关键． 题型03 根据方位描述确定物体位置 【例3】（2022·浙江杭州·统考一模）在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（   ） A．北偏东 B．钱塘明月号楼室 C．金惠路号 D．东经，北纬 【答案】A 【分析】根据平面内的点与有序实数对一一对应对各选项进行判断． 【详解】解：塘明月号楼室、金惠路号、东经，北纬都可确定物体位置， 北偏东只能确定方向，但不能确定具体物体的位置． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征． 【变式3-1】（2020·河北·统考中考真题）如图，从笔直的公路旁一点出发，向西走到达；从出发向北走也到达．下列说法错误的是（    ） A．从点向北偏西45°走到达 B．公路的走向是南偏西45° C．公路的走向是北偏东45° D．从点向北走后，再向西走到达 【答案】A 【分析】根据方位角的定义及勾股定理逐个分析即可． 【详解】解：如图所示，过P点作AB的垂线PH， 选项A：∵BP=AP=6km，且∠BPA=90°，∴△PAB为等腰直角三角形，∠PAB=∠PBA=45°， 又PH⊥AB，∴△PAH为等腰直角三角形， ∴PH=km，故选项A错误； 选项B：站在公路上向西南方向看，公路的走向是南偏西45°，故选项B正确； 选项C：站在公路上向东北方向看，公路的走向是北偏东45°，故选项C正确； 选项D：从点向北走后到达BP中点E，此时EH为△PEH的中位线，故EH=AP=3，故再向西走到达，故选项D正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了方位角问题及等腰直角三角形、中位线等相关知识点，方向角一般以观测者的位置为中心，所以观测者不同，方向就正好相反，但角度不变． 题型04 平面直角坐标系中面积问题 类型一 直接利用面积公式求面积 特征：当三角形的一边在x轴或y轴上时，常用这种方法. 【例4】（2023·天津河西·统考一模）如图，四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，，点C，D在坐标轴上，则菱形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的对角线互相平分求算出的长度，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算． 【详解】解：∵四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，， ∴ ∴ ∴菱形的面积=． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质以及坐标与图形的性质，掌握菱形的对角线互相平分以及菱形面积等于对角线乘积的一半是解题关键． 【变式4-1】如图，等边的顶点在轴上，顶点、在轴上，直线 经过点、，则等边的面积是(　　) A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】分别令，得出的坐标，进而根据等边三角形的性质得出，进而根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：当时， ， 解得：， 点的坐标为，， ； 当时， ， 点的坐标为 ， ． 为等边三角形，， ， ， 等边的面积是． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题、坐标与图形，求得的坐标是解题的关键． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴负半轴上，若，且，则的面积是（    ） A． B．12 C．15 D．24 【答案】B 【分析】过点作轴，垂足为，由可证可得，，可得，进而求出结果． 【详解】过点作轴，垂足为， 轴，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，构建合适的全等三角形是解本题的 在求几何图形面积时，线段的长度往往通过计算某些点横坐标之差的绝对值，或纵坐标之差的绝对值去实现. (横坐标相减时最好用右边的数减左边的数，纵坐标相减时用上边的数减下边的数，这样所得结果就是边或高的长度，就不用绝对值符号了). 类型二 已知三角形面积求点的坐标 解题方法：已知面积求点的坐标时，应先画出图形，再看图形的面积跟哪些线段有关系，当用坐标表示线段长度时，应取坐标的绝对值. 【例5】（2023定远县一模）三个顶点均在平面直角坐标系中网格的格点上，每一个小正方形的边长均为1．按下列要求画图（画图只能借助无刻度的直尺，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)把沿直线翻折，画出翻折后的； (2)找出格点并画出直线，使直线将分成面积相等的两部分； (3)在轴上存在点，使的面积等于3，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）找到点关于的对称点，连接、即可； （2）过点作的平行线，取，作直线，由全等三角形的性质可知直线经过中点，将分成面积相等的两部分； （3）设交轴于点，点为轴上一点，则有，根据面积公式计算可得，结合点坐标确定点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，找到点关于的对称点，连接、即可； （2）如图，过点作的平行线，取，作直线，则直线将分成面积相等的两部分； （3）如图，设交轴于点，由图可知点， 设点到轴的距离为，点到轴的距离为，由图可知，， 则 ∵的面积等于3，即， 解得， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、基本作图、轴对称、三角形面积等知识，熟练掌握基本作图方法及相关知识是解题关键． 【变式5-1】2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三点，，的对称点坐标为，，，结合，得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，计算即可． 【详解】∵三点，，的对称点坐标为，，，结合， ∴得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位， 故坐标为． 故选：B． 【变式5-2】已知，，三点，且三角形的面积等于，则的值为（    ） A．1或 B．9 C．1或9 D．9或 【答案】C 【分析】根据已知可得：，，然后三角形的面积公式列式计算即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵三角形的面积等于， ∴， 即， ∴， ∴或， ∴或， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 考点四 函数 一、函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 1）常量和变量的区分：在某个变化过程中，该量的值是否发生变化。 2）函数概念的解读：①有两个变量。 ②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。 ③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。 3）当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值. 4）当已知函数解析式，且给出函数值,，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程. 5）当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式. 题型01 函数的概念辨析 【例1】（2023恩平市二模）球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是（   ） A．变量是，；常量是， B．变量是，；常量是 C．变量是，，；常量是 D．变量是，；常量是 【答案】A 【分析】根据常量和变量的概念解答即可． 【详解】解：球的体积是，球的半径为，则， 其中变量是，；常量是， 故选：． 【点睛】本题考查了常量和变量，掌握概念是解题的关键． 【变式1-1】（2021下·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考阶段练习）观察表1和表2，下列判断正确的是（    ） 表1： x 1 y1 1 2 3 4 表2： x 2 1 y2 4 1 A．y1是x的函数，y2不是x的函数 B．y1和y2都是x的函数 C．y1不是x的函数，y2是x的函数 D．y1和y2都不是x的函数 【答案】C 【分析】根据函数的定义：如果对于一个变量m的一个值，变量n都有唯一的值与之对应，那么n就是m的函数，由此求解即可． 【详解】解：观察表格可知，一个x的值有两个y1的值与之对应，故y1不是x的函数，一个x的值都有唯一的y2与值对应，故，y2是x的函数， 故选C． 【点睛】本题主要考查了函数的概念，解题的关键在于能够熟练掌握函数的概念． 【变式1-2】（2023西安铁一中分校一模）下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据函数的定义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应， 故D正确． 故选D． 【变式1-3】（2023·山东德州·二模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序号即可） ①圆的周长C是半径r的函数； ②表达式中，y是x的函数； ③如表中，n是m的函数； m 1 2 3 n 6 3 2 ④如图中，曲线表示y是x的函数．    【答案】①②③ 【分析】根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案． 【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数；表述正确，故①符合题意； ②表达式中，y是x的函数；表述正确，故②符合题意； ③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意； 在④中的曲线，当时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键． 题型02 根据实际问题列函数解析式 【例2】（2024·湖北·中考真题）铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为 ． 【答案】79 【分析】本题考查了正比例函数的应用．根据铁的质量与体积成正比例，列式计算即可求解． 【详解】解：∵铁的质量与体积成正比例， ∴m关于V的函数解析式为， 当时，， 故答案为：79． 【变式2-1】（2023·重庆·统考一模）油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，剩余油量（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用油箱中存油量减去流出油量等于剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：流出油量是， 则剩余油量：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了列函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【变式2-2】（2023·河南新乡·统考三模）下面的四个问题中都有两个变量： ①圆的面积y与它的半径x； ②物体的质量y与它的密度x； ③将游泳池中的水匀速放出，直至放完，游泳池中的剩余水量y与放水时间x； ④某工程队匀速铺设一条地下管道，铺设剩余任务y与施工时间x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的有（    ）    A．①②③④ B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据题意分别列出每个问题中的函数关系式，进而即可求解. 【详解】解：①圆的面积y与它的半径x的关系为：，是二次函数关系，不可以用如图所示的图象表示； ②物体的质量y与它的密度x的关系为：，V表示体积，不可以用如图所示的图象表示； ③将游泳池中的水匀速放出，直至放完，设游泳池中原来有水为V，放水速度为a，则游泳池中的水的剩余水量y与放水时间x的关系为：，可以用如图所示的图象表示； ④某工程队匀速铺设一条地下管道，设总任务为m，铺设的速度为v，则铺设剩余任务y与施工时间x的关系为：，可以用如图所示的图象表示； 故选：B. 【点睛】本题考查了列出实际问题中的函数关系式与函数图象的关系，正确得出每个问题中的函数关系式是解题的关键. 【变式2-3】（2024·浙江·中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 不分段 A档 4000米 小丽 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 (1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）； (2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； (3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值． 【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分 (2)5分 (3)42.5 【分析】此题考查函数图象获取信息，一元一次方程的应用，读懂图象中的数据是解本题的关键． （1）由小明的跑步里程及时间可得档速度，再根据C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分可得B，C档速度； （2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解； （3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为（分），可得方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，档速度为米/分， 则档速度为米/分，档速度为米/分； （2）小丽第一段跑步时间为分， 小丽第二段跑步时间为分， 小丽第三段跑步时间为分， 则小丽两次休息时间的总和分； （3）由题意可得：小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等， 此时小丽在跑第三段，所跑时间为：（分） 可得：， 解得：． 【变式2-4】（2024·广西·中考真题）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，熟练掌握路程＝速度×时间是解题的关键．根据路程＝速度×时间列式即可． 【详解】解：， 故选：A． 题型03 求自变量的取值范围 【例3】（2023·湖北恩施·统考一模）函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．且 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且， 故选：A． 【点睛】本题考查的函数的自变量的取值范围，分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，求解不等式组的解集，熟练的根据代数式有意义的条件求解函数的自变量的取值范围是解本题的关键． 【变式3-1】（2023·黑龙江鸡西·校考二模）函数y=中，自变量x的取值范围是____________． 【答案】 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：. 【变式3-2】（2023·江苏苏州·统考一模）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，即可解答． 【详解】解：由得：，解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义得条件，熟知分式分母不为0及二次根式根号里面需要大于等于0是解题的关键． 【变式3-3】（2022上·四川资阳·九年级统考期末）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数即可得到，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 函数的自变量的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解此题的关键． 函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑： ①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数； ②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0； ③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． 题型04 求自变量的值或函数值 【例4】（2023·贵州贵阳·统考二模）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入各选项进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，不经过原点，故本选项不符合题意； B、当时，，经过原点，故本选项符合题意； C、当时，，不经过原点，故本选项不符合题意． D、中，故不经过原点，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征，注意代入判断，难度一般． 【变式4-1】（2023·上海浦东新·校考三模）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】将代入该函数解析式进行计算可得此题结果． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了运用实数的计算，求解函数值的能力，关键是能准确代入、计算． 题型05 函数图象的识别 【例5】（2024·江西·中考真题）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案；注意温度计的温度升高到时温度不变． 【详解】解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，注意温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件， 故选：C． 【变式5-1】（2024·四川广安·中考真题）向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了函数图象．由于压强与水面的高度成正比，而上下两个容器粗细不同，那么水面高度随时间变化而分两个阶段． 【详解】解：最下面的容器较粗，那么第一个阶段的函数图象水面高度随时间的增大而增长缓慢，用时较长，即压强随时间的增大而增长缓慢，用时较长， 最上面容器最小，则压强随时间的增大而增长变快，用时最短． 故选：B． 【变式5-2】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象；根据题意，分3段分析，即可求解． 【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢， 所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓． 故选：D． 【变式5-3】 （2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所以一开始水面高度上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点， 故选：． 【变式5-4】（2023·四川·统考中考真题）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽，再从函数的图象上看，选出答案． 【详解】解：从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽． 则注入的水量v随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢， 那么从函数的图象上看， C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合； A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件． 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数的定义及函数的图象的关系，抓住变量之间的变化关系是解题的关键． 题型06 从函数图象中获取信息 【例6】（2024·山东威海·中考真题）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（    ） A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距 C．甲车的速度是 D．乙车中途休息分钟 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象结合选项，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得两地之间的距离为（） 两车行驶了小时，同时到达地， 如图所示，在小时时，两车同向运动，在第2小时，即点时，两车距离发生改变，此时乙车休息， 点的意义是两车相遇，点意义是乙车休息后再出发， ∴乙车休息了1小时，故D不正确， 设甲车的速度为，乙车的速度为， 根据题意，乙车休息后两车同时到达地，则甲车的速度比乙车的速度慢， ∵ 即 在时，乙车不动，则甲车的速度是， ∴乙车速度为，故C不正确， ∴的距离为千米，故B不正确， 设小时两辆车相遇，依题意得， 解得：即小时时，两车相遇，故A正确 故选：A． 【变式6-1】（2024·青海·中考真题）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B．未加入絮凝剂时，净水率为 C．絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等 D．加入絮凝剂的体积是时，净水率达到 【答案】D 【分析】本题考查从图像上获取信息，能从图像上获得信息是解题的关键，根据图像信息对选项进行判断即可 【详解】A、从图像上可以看到，加入絮凝剂的体积在达到最大净水率，之后净水率开始降低，不符合题意，选项错误； B、未加入絮凝剂时，净水率为，故不符合题意，选项错误； C、当絮凝剂的体积为时，净水率增加量为，絮凝剂的体积为时，净水率增加量为；故絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量不相等，不符合题意，选项错误； D、根据图像可得，加入絮凝剂的体积是时，净水率达到，符合题意，选项正确； 故选：D 【变式6-2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：    （1）体育场离该同学家2.5千米； （2）该同学在体育场锻炼了15分钟； （3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍； （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查利用函数图像解决实际问题，正确的读懂图像给出的信息是解题的关键．利用图象信息解决问题即可． 【详解】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确； 该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确； 该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误； 若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确， 故选：C． 题型07 用描点法画函数图象 【例7】（2023·广东深圳·校考模拟预测）请结合图像完成下列问题： (1)请在图中画出函数：的图像；    (2)结合图像直接写出方程：的解为：_______； (3)在图中画出函数的图像，并结合图像直接写出方程：的解为： ．    【答案】(1)作图见解析 (2) (3)或或，作图见解析 【分析】（1）先列表、然后描点、再连线即可得出函数图象； （2）作出一次函数的函数图象，然后根据函数图象得出方程：的解即可； （3）先列表、然后描点、再连线即可得出函数图象；方程可以变为，作出函数的函数图象，最后找出两个函数图象的交点，即可得出的解． 【详解】（1）解：列表： x … 0 5 10 … … 14 9 4 9 14 … 描点，连线，如图所示：    （2）解：如图，一次函数与函数的交点的横坐标为， ∴方程的解为， 故答案为：．    （3）解：列表： x … 0 1 2 3 … … 7 4 3 4 3 4 7 … 描点，连线：    方程可以变为， 如图，函数的图象与函数的图象交点的横坐标为：，，， ∴方程的解为或或， 即方程的解为或或．    【点睛】本题主要考查了用描点法作函数图象，根据函数图象求方程的解，解题的关键是熟练掌握函数图象的作图方法，数形结合． 【变式7-1】（2023·河南周口·校联考三模）某班数学兴趣小组对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下：    (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： 填空：______，______； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象： (3)观察函数图象，写出该函数的两条性质：①______；②______； (4)点是该函数图象上一点，现已知点在直线的下方，且，那么的取值范围是______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值(答案不唯一) (4)或 【分析】（1）分别求出和时对应的y值即可； （2）根据表中数据，描点后画出函数图象即可； （3）根据函数图象，结合增减性和最值写出性质； （4）分别求得与时的自变量的值，进而根据函数图象即可求解． 【详解】（1）当时，， 当时，， 故答案为：，． （2）解：根据描点连线，如图所示．    （3）观察函数图象，写出该函数的两条性质：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3(答案不唯一)． 故答案为：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3(答案不唯一)． （4）解：当时，即， 解得：或， 当时， 解得或， 根据函数图象可得，点在直线的下方，且， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，根据交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 【变式7-2】（2023·湖南郴州·统考二模）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．    (1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； (2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点在函数图象上，则 ， ；（填“＞”，“＝”或“＜”） ②当函数值时，求自变量x的值； ③若直线与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②或；③ 【分析】（1）根据题意直接运用表格数据进行描点连线即可； （2）①分别根据反比例函数的性质和图象进行解答即可；②由图象的性质可知当时，分别代入两段函数，求解即可；③根据题意利用图象的性质进行分析即可得出． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：①∵在上，y随x的增大而增大， ∴， ∵在上， ∴观察图象可得， 故答案为：； ②当时，， ∴（不符合）； 当时，， ∴或； ③由图象可知，直线与函数图象有三个不同的交点时，． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键． 题型08 动点问题的函数图象 【例8】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是___________．    【答案】－1 【分析】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F，可证，得比例线段，由，得线段长度，，代入比例线段求解． 【详解】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F    由题意知，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角坐标系内点坐标的含义，添加辅助线构建相似三角形是解题的关键． 【变式8-1】（2023·广东潮州·校考一模）如图，在中，，（为定值），点P为的中点．点D沿从点A运动到点B，过点D作交于E，设A，D两点间的距离为x，，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（　　） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】设，证明，求出 ，分情况讨论当点在上时，当点在上时的函数解析式，即可解答此题． 【详解】解：∵点为的中点，设， ∵， ∴， 故 ∴， ∵， ∴， 当点在上时，， 当点在上时，， 故选：Ａ． 【点睛】本题考查了相似三角形，动点问题的函数图象的性质，结合图象分析题意是解题关键． 【变式8-2】（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）如图①，在矩形中，，对角线相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象，如图②所示，则边的长为（   ）．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解． 【详解】解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为3． ，即． 当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7， ． 则，代入，得， 解得或3， ∵，即， ∴，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，掌握三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值是解题的关键． 【变式8-3】（2023·浙江·模拟预测）如图1所示，在直角梯形中，，．动点从点出发，沿梯形的边由运动．设点运动的路程为，的面积为．把看作的函数，函数的图象如图2所示，则面积为(    )    A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】由题意知：，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：根据图可知当点在上运动时，的面积不变，与面积相等；且不变的面积是在，之间； 所以在直角梯形中，，． 连接， ∴面积为 故选：A． 【点睛】考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是读懂图意，得到相应的直角梯形中各边之间的关系．此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力． 类型一 动点与函数图象判断的解题策略 方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势； 方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断； 方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； 方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 类型二 动点与函数图象计算的解题策略 一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等； 二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况； 三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值； 四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$第09讲 函数与平面直角坐标系 目 录 学科网（北京）股份有限公司 考点一 平面直角坐标系 2 题型01 用有序数对表示点的位置 3 考点二 点的坐标特征与变换 5 一、点的坐标特征 5 四、坐标系内点与点之间的距离 7 题型01 判断点所在的象限 7 题型02 由点到坐标轴的距离判断点的坐标 10 题型03 由点在坐标系的位置确定点的坐标 12 题型05 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围 14 题型06 探索点的坐标规律 18 类型一 平移 18 类型二 沿坐标系水平运动的点的规律探查 20 类型三 沿坐标系翻折运动的点的规律探查 24 类型四 图形变换中点的规律探查 28 类型五 新定义问题中点的规律探查 30 考点三 坐标方法的简单应用 34 题型01 实际问题中用坐标表示位置 35 题型02 用方位角和距离确定物体位置 37 题型03 根据方位描述确定物体位置 40 题型04 平面直角坐标系中面积问题 41 类型一 直接利用面积公式求面积 41 类型二 已知三角形面积求点的坐标 44 考点四 函数 47 一、函数的相关概念： 47 二、函数的三种表示法及其优缺点 48 题型01 函数的概念辨析 48 题型02 根据实际问题列函数解析式 50 题型03 求自变量的取值范围 53 题型04 求自变量的值或函数值 54 题型05 函数图象的识别 55 题型06 从函数图象中获取信息 58 题型07 用描点法画函数图象 61 题型08 动点问题的函数图象 67 学科网（北京）股份有限公司 考点一 平面直角坐标系 有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）. 相关概念 具体内容 平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. 两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 向右 方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 向上 方向为正方向.（见图一） 原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限. 按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.（见图一） 点的坐标 对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 A(a，b). （见图二） 1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同. 2. 坐标轴上的点不属于任何象限. 3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标. 4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系. 题型01 用有序数对表示点的位置 【例1】．（2023·吉林·统考一模）在学习有序数对时，老师和同学们用如图所示的密码表玩听声音猜动物的游戏．当听到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-叮”时，分别对应的字母是“C，A，T”，表示的动物是猫．当听到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”时，表示的动物是（    ） A．牛 B．鱼 C．狗 D．猪 【变式1-1】（2023·山东临沂·统考中考真题）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【变式1-2】（2023长阳县一模）如图是济南市地图简图的一部分，图中“济南西站”、“雪野湖”所在区域分别是（    ） D E F 4 遥墙国际机场 5 济南西站 野生动物世界 6 济南国际园博园 七星台风景区 雪野湖 A．E4，E6 B．D5，F5 C．D6，F6 D．D5，F6 【变式1-3】（2023·北京海淀·校考一模）小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序，如果用表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置可以表示为 ， 的位置离入口最近． 在同一平面内，表示物体的位置需要用两个数，而且这两个数顺序不同，表示的位置也不同. 用有序数对表示位置时，必须明确前后两个数表示的实际意义. 考点二 点的坐标特征与变换 一、点的坐标特征 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 二、点的坐标变化 　 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 点P(x，y) 平移变换 向左平移a个单位 （x-a，y） 向右平移a个单位 (x+a，y) 向上平移a个单位 (x，y+a) 向下平移a个单位 (x，y-a) 简单记为“点的平移右加左减，上加下减” 对称变换 关于x轴对称 (x，-y) 关于y轴对称 (-x，y) 关于原点对称 (-x，-y) 简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变” 关于x=m对称 (2m-x，y) 关于y=n对称 (x，2n-y) 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点顺时针旋转180° (-x，-y) 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点逆时针旋转180° (-x，-y) 三、点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P， 则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝ . 四、坐标系内点与点之间的距离 点M（x1，y1）与点N（x2，y2）之间的直线距离（线段长度）： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 1）原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点. 2）点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上. 3）已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值. 4）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面： ①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关； ②距离都是非负数，而坐标可以是负数. 5）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小. 题型01 判断点所在的象限 【例1】（（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-1】（2024·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为，则点Q的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·浙江·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-4】（2023遂溪县三模）已知，则点在（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-5】2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(- ,+)；第三象限(- ,- )；第四象限(+,-)． 题型02 由点到坐标轴的距离判断点的坐标 【例2】（2023邯郸市三模）已知点在第四象限，且到轴的距离为，到轴距离是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·湖南长沙·统考一模）已知第三象限的点，那么点P到x轴的距离为（　　） A． B．4 C． D．5 【变式2-2】（2023·广东广州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，，且．那么点的到轴的距离是（    ） A．2 B．4 C． D． 题型03 由点在坐标系的位置确定点的坐标 【例3】（2023福州一中一模）已知在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为(　　) A． B． C．( D． 【变式3-1】（2023·贵州贵阳·统考三模）若一个点的坐标为，则这个点在如图所示的平面直角体系上的位置是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3-2】（2020·江苏连云港·中考真题）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为 ． 【变式3-3】（2023·山东临沂·统考二模）如图是棋盘的一部分，已知建立适当的平面直角坐标系后，棋盘中“相”的坐标是，“馬”的坐标是，则“帅”的坐标是 ．    题型05 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围 【例5】（2023新桥区三模）点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2023·浙江杭州·统考二模）点在y轴上，则点M的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，点在x轴上，则点M的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2023·江苏盐城·景山中学校考模拟预测）若点关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 或 【变式5-4】）如果点关于原点对称的点在第四象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-5】（2023·山西太原·太原市实验中学校考三模）若点在第三象限，那么的值满足（    ） A． B． C． D． 【变式5-6】（2023·广东湛江·统考一模）已知点，当时，点在第 象限，当点在轴上时， ． 【变式5-7】（2023梅溪湖中学三模）在平面直角坐标系中，已知点在y轴上，则a的值是 ． 【变式5-8】（2023·江苏泰州·统考二模）若点在一、三象限角平分线的下方，则a的取值范围是 ． 【变式5-9】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，若的顶点A，B，C，D的坐标分别为，，，，求m的值及的面积．    【变式5-10】（2023·陕西汉中·统考一模）已知点是平面直角坐标系中的点．若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标． 题型06 探索点的坐标规律 类型一 平移 【例6】（2023·浙江杭州·统考中考真题）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-1】2023·浙江金华·统考中考真题）如图，两个灯笼的位置的坐标分别是，将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点，则关于点的位置描述正确是（    ）    A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【变式6-2】（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 类型二 沿坐标系水平运动的点的规律探查 【例6】（2023泰安六中二模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2023·河南安阳·统考一模）在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边→→→→…的路线运动，设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是（        ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点 ． 【变式6-3】（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 类型三 沿坐标系翻折运动的点的规律探查 【例7】（2023·河南驻马店·校考一模）如图1， 中，∠，，，将 放置在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴正半轴上．将 按如图方式顺时针滚动无滑动，则滚动次后，点的横坐标为(　　) A． B． C． D． 【变式7-1】（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点处．点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，，则点的横坐标为 ．    【变式7-2】（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形，以此类推…、则正方形的顶点的坐标是 ． 【变式7-3】．（2023·河南安阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，规定把正方形“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2023次变换后，正方形的中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 类型四 图形变换中点的规律探查 【例9】（2023·河南郑州·校考三模）小星利用平面直角坐标系绘制了如下风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，接着他将绕原点O逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点O逆时针转动至，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式9-1】（2021·海南海口·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，第一次将 变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，，将进行n次变换，得到，观察每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 【变式9-2】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 类型五 新定义问题中点的规律探查 【例10】（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考三模）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“”作变换．表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转得到，再将绕原点顺时针旋转得到依次类推．点经过“”变换后得到点的坐标为(   )    A． B． C． D． 【变式10-1】我们把1，1，2，3，5，8，13，21⋯这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作圆弧，，，⋯，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接，，，⋯，得到螺旋折线（如图），已知点，，，则该折线上的点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式10-2】（2024·山东威海·中考真题）定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作． ②加法运算法则：，其中，，，为实数． 若，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式10-4】对有序数对的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（n为大于的整数)．如，,．则 ． 1. 解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法： 1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标； 2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的规律． 2. 解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项： 1）求什么找什么的规律； 2）变化规律最好用算式而不是得数表示； 3）找算式中数字与序号间的变化规律； 4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）. 考点三 坐标方法的简单应用 用坐标表示地理位置的方法 1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向； 2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出长度单位； 3）坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称. 题型01 实际问题中用坐标表示位置 【例1】（2023·贵州·统考中考真题）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是，则龙洞堡机场的坐标是_______． 【变式1-1】（2023·山西晋城·校联考模拟预测）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为 ．    【变式1-2】（2021·吉林长春·模拟预测）如图是利用网格画出的长春市轨道交通线网图，若建立适当的平面直角坐标系，则表示解放大路的点的坐标为，表示伪皇宫的点的坐标为，则表示胜利公园的点的坐标是 ． 题型02 用方位角和距离确定物体位置 【例2】（2023·河北石家庄·校联考二模）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（　　）    A．向北偏西150°方向航行4海里 B．向南偏西120°方向航行3海里 C．向北偏西60°方向航行4海里 D．向东偏北150°方向航行3海里 【变式2-1】（2023·河北唐山·统考一模）如图，从地观测地，发现地在地的北偏东方向上，则从地观测地，可知地在地的（    ） A．北偏东方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．南偏西方向上 【变式2-2】（2023·江苏连云港·统考中考真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为__________．    【变式2-3】（2022·河北保定·统考一模）在“爱我河北”白色垃圾清理活动中，小霞同学从B点出发，沿北偏西20°方向到达C地，已知，此时营地A在C的(    ) ． A．北偏东20°方向上 B．北偏东70°方向上 C．南偏西50°方向上 D．北偏西70°方向上 题型03 根据方位描述确定物体位置 【例3】（2022·浙江杭州·统考一模）在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（   ） A．北偏东 B．钱塘明月号楼室 C．金惠路号 D．东经，北纬 【变式3-1】（2020·河北·统考中考真题）如图，从笔直的公路旁一点出发，向西走到达；从出发向北走也到达．下列说法错误的是（    ） A．从点向北偏西45°走到达 B．公路的走向是南偏西45° C．公路的走向是北偏东45° D．从点向北走后，再向西走到达 题型04 平面直角坐标系中面积问题 类型一 直接利用面积公式求面积 特征：当三角形的一边在x轴或y轴上时，常用这种方法. 【例4】（2023·天津河西·统考一模）如图，四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，，点C，D在坐标轴上，则菱形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，等边的顶点在轴上，顶点、在轴上，直线 经过点、，则等边的面积是(　　) A．4 B．2 C． D． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴负半轴上，若，且，则的面积是（    ） A． B．12 C．15 D．24 在求几何图形面积时，线段的长度往往通过计算某些点横坐标之差的绝对值，或纵坐标之差的绝对值去实现. (横坐标相减时最好用右边的数减左边的数，纵坐标相减时用上边的数减下边的数，这样所得结果就是边或高的长度，就不用绝对值符号了). 类型二 已知三角形面积求点的坐标 解题方法：已知面积求点的坐标时，应先画出图形，再看图形的面积跟哪些线段有关系，当用坐标表示线段长度时，应取坐标的绝对值. 【例5】（2023定远县一模）三个顶点均在平面直角坐标系中网格的格点上，每一个小正方形的边长均为1．按下列要求画图（画图只能借助无刻度的直尺，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)把沿直线翻折，画出翻折后的； (2)找出格点并画出直线，使直线将分成面积相等的两部分； (3)在轴上存在点，使的面积等于3，直接写出点的坐标． 【变式5-1】2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】已知，，三点，且三角形的面积等于，则的值为（    ） A．1或 B．9 C．1或9 D．9或 考点四 函数 一、函数的相关概念： 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零； 3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零； 4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零； 5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义. 函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 二、函数的三种表示法及其优缺点 解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. 图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法. 优点 缺点 解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实 际问题中有的函数值不一定能用解析式表示 列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量 与函数值的对应关系，有局限性 图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系 1）常量和变量的区分：在某个变化过程中，该量的值是否发生变化。 2）函数概念的解读：①有两个变量。 ②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。 ③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。 3）当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值. 4）当已知函数解析式，且给出函数值,，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程. 5）当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式. 题型01 函数的概念辨析 【例1】（2023恩平市二模）球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是（   ） A．变量是，；常量是， B．变量是，；常量是 C．变量是，，；常量是 D．变量是，；常量是 【变式1-1】（2021下·福建福州·九年级福建省福州延安中学校考阶段练习）观察表1和表2，下列判断正确的是（    ） 表1： x 1 y1 1 2 3 4 表2： x 2 1 y2 4 1 A．y1是x的函数，y2不是x的函数 B．y1和y2都是x的函数 C．y1不是x的函数，y2是x的函数 D．y1和y2都不是x的函数 【变式1-2】（2023西安铁一中分校一模）下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·山东德州·二模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序号即可） ①圆的周长C是半径r的函数； ②表达式中，y是x的函数； ③如表中，n是m的函数； m 1 2 3 n 6 3 2 ④如图中，曲线表示y是x的函数．    题型02 根据实际问题列函数解析式 【例2】（2024·湖北·中考真题）铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为 ． 【变式2-1】（2023·重庆·统考一模）油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，剩余油量（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·河南新乡·统考三模）下面的四个问题中都有两个变量： ①圆的面积y与它的半径x； ②物体的质量y与它的密度x； ③将游泳池中的水匀速放出，直至放完，游泳池中的剩余水量y与放水时间x； ④某工程队匀速铺设一条地下管道，铺设剩余任务y与施工时间x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的有（    ）    A．①②③④ B．③④ C．①③ D．②④ 【变式2-3】（2024·浙江·中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 不分段 A档 4000米 小丽 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 (1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）； (2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； (3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值． 【变式2-4】（2024·广西·中考真题）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（    ） A． B． C． D． 题型03 求自变量的取值范围 【例3】（2023·湖北恩施·统考一模）函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．且 B． C．或 D． 【变式3-1】（2023·黑龙江鸡西·校考二模）函数y=中，自变量x的取值范围是____________． 【变式3-2】（2023·江苏苏州·统考一模）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2022上·四川资阳·九年级统考期末）函数的自变量的取值范围是 ． 函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑： ①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数； ②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0； ③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． 题型04 求自变量的值或函数值 【例4】（2023·贵州贵阳·统考二模）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·上海浦东新·校考三模）已知函数，则 ． 题型05 函数图象的识别 【例5】（2024·江西·中考真题）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·四川广安·中考真题）向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】 （2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（2023·四川·统考中考真题）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（　　）    A．   B．   C．   D．   题型06 从函数图象中获取信息 【例6】（2024·山东威海·中考真题）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（    ） A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距 C．甲车的速度是 D．乙车中途休息分钟 【变式6-1】（2024·青海·中考真题）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B．未加入絮凝剂时，净水率为 C．絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等 D．加入絮凝剂的体积是时，净水率达到 【变式6-2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：    （1）体育场离该同学家2.5千米； （2）该同学在体育场锻炼了15分钟； （3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍； （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型07 用描点法画函数图象 【例7】（2023·广东深圳·校考模拟预测）请结合图像完成下列问题： (1)请在图中画出函数：的图像；    (2)结合图像直接写出方程：的解为：_______； (3)在图中画出函数的图像，并结合图像直接写出方程：的解为： ．    【变式7-1】（2023·河南周口·校联考三模）某班数学兴趣小组对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下：    (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： 填空：______，______； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象： (3)观察函数图象，写出该函数的两条性质：①______；②______； (4)点是该函数图象上一点，现已知点在直线的下方，且，那么的取值范围是______． 【变式7-2】（2023·湖南郴州·统考二模）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．    (1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； (2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点在函数图象上，则 ， ；（填“＞”，“＝”或“＜”） ②当函数值时，求自变量x的值； ③若直线与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围． 题型08 动点问题的函数图象 【例8】（2023·广东东莞·统考一模）如图菱形的边长为，，，动点P，Q同时从点A出发，都以的速度分别沿和的路经向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系可用图象表示为（　　） A．B．C．D． 【变式8-1】（2023·广东潮州·校考一模）如图，在中，，（为定值），点P为的中点．点D沿从点A运动到点B，过点D作交于E，设A，D两点间的距离为x，，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（　　） A．B． C．D． 【变式8-2】（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）如图①，在矩形中，，对角线相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象，如图②所示，则边的长为（   ）．    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-3】（2023·浙江·模拟预测）如图1所示，在直角梯形中，，．动点从点出发，沿梯形的边由运动．设点运动的路程为，的面积为．把看作的函数，函数的图象如图2所示，则面积为(    )    A．10 B．16 C．18 D．20 学科网（北京）股份有限公司 $$