第十一章 三角形（B卷·拔高培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（湖北专用，人教版）

第11章 三角形（B卷·拔高培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项: 亲爱的同学,在你答题前,请认真阅读下面的注意事项: 1.答题前,将你的姓名,准考证号填写在“试卷”和“答题卡"的相应位置. 2.答选择题时,选出每小答案后,用2B 铅笔把“答题卡”上相应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案写在“试卷"上无效. 3.答非选择顾时,答案用0.5米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡"上,答案写在“试卷”上无效. 4.认真阅读答题卡上的注意事项 预祝你取得优异成缋! 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．3、3、7 B．2、3、5 C．3、4、5 D．5、6、11 2．一个三角形的三个内角度数之比为4：5：9，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 3．已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 4．如图，在中，平分平分的邻补角，交的延长线于E，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 5．如图1，中，点和点分别为上的动点，把纸片沿折叠，使得点落在的外部处，如图2所示．若，则度数为(    ) A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，、分别平分、，、分别平分三角形的两个外角、，则和的数量关系为（    ） A． B． C． D． 8．如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（　　） A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270° C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360° 9．如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E……按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A2021为顶点的内角度数是（　　） A．（）2019•75° B．（）2020•75° C．（）2021•75° D．（）2022•75° 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上） 11．一个多边形从一个顶点可引对角线5条，这个多边形内角和等于 ． 12．小刚准备用一段长 50 米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡． 已知第一条边长为m 米，由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的 3 倍少2 米．若第一条边长最短，则m 的取值范围是 ． 13．如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=64°，∠BCD+∠DCA=180°，那么∠BDC为 度.    14．如图，已知是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为 ．    15．如图，已知∠AOB＝8°，一条光线从点A发出后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝82°．当∠A＜82°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，…若光线从点A出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值为 ． 16．如图，四边形的边和延长相交于E，H和G分别是和的中点，已知四边形的面积为33，则的面积为 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）如图，在中，    (1)证明：； (2)，，求的度数． 18．（8分）在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．    (1)求，； (2)直接写出与的关系． 19．（8分）已知：如图，为的角平分线，过延长线上的任意一点H作的垂线，分别交于三点． (1)如果，，则___________； (2)求证：． 20．（8分）（1）如图 1， 在△ ABC中， AD 平分∠BAC， P 为线段 AD 上的一点， PE⊥AD 于 P 交直线BC 于点 E，交直线 AB、AC 于 F、G ，若∠B=50°，∠BCA=70°时，∠PED= 度； （2）如图 2，AD 平分∠BAC 的外角，其余条件不变，若∠B= ，∠BCA= ，求∠PED 的度数；（用含有 ， 的式子表示）． 21．（8分）点为内一点，连接，，，，的平分线交于点．      (1)如图1，当三点共线时，若，直接写出的度数是_________； (2)如图2，若，求； (3)直接写出之间的数量关系是_________． 22．（10分）已知：在中，的角平分线交于点O，的外角平分线交于点D．    (1)请探究的度数与的度数有什么数量关系？并证明你的结论． (2)若C的三个外角平分线的交点为D、E、F，请判断是锐角三角形还是钝角三角形或直角三角形？并证明你的结论． 23．（10分）如图，在中．    (1)的角平分线相交于点，求的度数； (2)的三等分线分别相交于点，求的度数； (3)的等分线分别相交于点，则________（结果用含的式子表示），（，为整数，结果用含和的式子表示） 24．（12分）在四边形中，O在其内部，满足，． (1)如图1，当时，如果，直接写出的度数______； (2)当时，M、N分别在、的延长线上，下方一点P，满足，， ①如图2，判断与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，延长线段、交于点Q，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 第11章 三角形（B卷·拔高培优卷） 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] ) ( 第 Ⅱ 卷 （请在各试题的答题区内作答） ) ( 二、填空题（本题共 6 小题， 每小题 3 分 ，共1 8 分） 11.______________ 12.______________ 13.______________ 14.______________ 15.______________ 1 6 .______________ 三、解答题（本大题共8个小题，满分7 2 分） 1 7 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 8 ．（ 8 分） 1 9 .（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 .（ 8 分） 2 1 .( 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 . （ 10 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 .（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 .（1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 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【分析】此题考查了三角形面积的求解方法．解题的关键是由三角形的面积的求解方法与三条高的比是，求得三条边的比，设三边为，， 三条对应的高为，，，根据的面积的求解方法即可求得，由的三条高的比是，易得，又由三条边的长均为整数，观察4个选项，即可求得答案． 【详解】解：设三边为，， 三条对应的高为，，， 可得：， 已知， 可得， 三边均为整数． 又个答案分别是10，12，14，16． 的边长可能是12． 故选：B． 4．如图，在中，平分平分的邻补角，交的延长线于E，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，利用三角形的外角性质和三角形的内角和定理可得关于x、y的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：为内角平分线， ∴设， ∵平分， ∴设， ∵，， ∴①， ∵， ∴, 即②， 由①②联立可解得：， ∴； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理与三角形的外角性质，角平分线的定义，用代数方法解决几何问题是常用的方法，有一定的技巧． 5．如图1，中，点和点分别为上的动点，把纸片沿折叠，使得点落在的外部处，如图2所示．若，则度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得出，，继而分别表示出，得到，即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质得，， ∵，，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 6．如图，在四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出∠CDE＋∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可． 【详解】解：延长DC交BE于点H， ∵∠A＝∠BCD＝90°， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠CDN＋∠CBM＝180°， ∵∠EDN＝n∠CDE，∠EBM＝n∠CBE， ∴∠CDE＋∠CBE＝×180°＝， 由三角形的外角性质得，∠BHD＝∠CDE＋∠BED，∠BCD＝∠BHD＋∠CBE， ∴∠BCD＝∠CBE＋∠CDE＋∠BED， ∴∠BED＝∠BCD−（∠CBE＋∠CDE）＝90°−， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用． 7．如图，在中，、分别平分、，、分别平分三角形的两个外角、，则和的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线可得，同理，再根据四边形内角和即可得的度数． 【详解】解：方法一： 、分别平分、， ， 、分别平分三角形的两个外角、 ， 方法二： 、分别平分、， ， 、分别平分三角形的两个外角、 ， 同理可得： 在四边形中，根据内角和为 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟练运用角平分线是解题关键． 8．如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（　　） A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270° C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝360° 【答案】B 【分析】分析题意∠DMA=∠1，∠DNA=∠2，然后利用三角形的内角和、等量代换求解即可． 【详解】解：连接AD， 在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°， 在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°， ∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°， ∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF， ∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°， ∵AB⊥AF， ∴∠BAF＝90°， ∴∠DMA+∠DNA＝90°﹣∠MDN， ∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2， ∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F）， ∴90°﹣∠MDN＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F）， ∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝270°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用，将图形中角的关系利用三角形的内角和等于180°进行转化，再运用等量代换是解题的关键． 9．如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据垂直定义得出∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，根据角平分线定义得出∠DBE=∠FBE，求出∠CBE=∠ABE，∠ACB=∠ECB，根据平行线的性质得出∠ABC=∠ECB，根据平行线的判定得出ACBE，根据三角形的内角和定理得出∠BCD+∠D=90°，即可得出答案． 【详解】解：∵BC⊥BD， ∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°， ∵∠ABE+∠FBE=180°， ∴∠ABE+∠FBE=90°， ∵BD平分∠EBF， ∴∠DBE=∠FBE， ∴∠CBE=∠ABE， ∴BC平分∠ABE，∠ABC=∠EBC， ∵CB平分∠ACE ∴∠ACB=∠ECB， ∵ABCD， ∴∠ABC=∠ECB， ∴∠ACB=∠EBC， ∴ACBE， ∵∠DBC=90°， ∴∠BCD+∠D=90°， ∴①②③正确； ∵根据已知条件不能推出， ∴④错误； 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中． 10．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E……按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A2021为顶点的内角度数是（　　） A．（）2019•75° B．（）2020•75° C．（）2021•75° D．（）2022•75° 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An-1为顶点的底角度数，于是得到结论． 【详解】解：在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB， ∴∠BA1C==75°， ∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角， ∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°； 同理可得∠EA3A2=（）2×75°，∠FA4A3=（）3×75°， ∴第n个三角形中以An-1为顶点的底角度数是（）n-1×75°． ∴第2022个三角形中以A2021为顶点的内角度数为（）2021•75°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题包括6小题，每小题3分，共18分。请把各题的答案填写在答题卡上） 11．一个多边形从一个顶点可引对角线5条，这个多边形内角和等于 ． 【答案】/1080度 【分析】求得多边形的边数，再根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：一个多边形从一个顶点可引对角线5条，则多边形的边数为， 则内角和等于： 故答案为： 【点睛】此题考查了多边形的内角和以及对角线，解题的关键是求得多边形的边数． 12．小刚准备用一段长 50 米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡． 已知第一条边长为m 米，由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的 3 倍少2 米．若第一条边长最短，则m 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长；根据第一条边长最短以及三角形的三边关系列出不等式组，即可求出m的取值范围． 【详解】第二条边长为(3m−2)米， ∴第三条边长为50−m−(3m−2)=(52−4m)米； 由题意,得 解得<m<9. 故答案为<m<9. 【点睛】考查列代数式以及三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边列出不等式组是解题的关键. 13．如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=64°，∠BCD+∠DCA=180°，那么∠BDC为 度.    【答案】32 【分析】过C点作∠ACE=∠CBD，根据三角形内角和为180°，以及等量关系可得∠ECD=∠BDC，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，再根据三角形内角和为180°，以及等量关系可得∠BDC的度数． 【详解】过C点作∠ACE=∠CBD，    ∵∠BCD+∠DCA=180°，∠BCD+∠CBD+∠BDC=180°， ∴∠ECD=∠BDC， ∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABD=∠ACE， ∴∠BAC=∠CEB=64°， ∴∠BDC=∠CEB=32°． 故答案为32． 【点睛】此题考查了三角形内角与外角，三角形内角和为180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和． 14．如图，已知是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为 ．    【答案】3 【分析】根据中线与面积的关系可得、即可求解． 【详解】解：∵是的中线 ∴ ∵的高相等 ∴ ∵是的中线 ∴ ∵的高相等 ∴ 故答案为：3 【点睛】本题考查三角形的中线与面积的关系．熟记相关结论即可． 15．如图，已知∠AOB＝8°，一条光线从点A发出后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝82°．当∠A＜82°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，…若光线从点A出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值为 ． 【答案】10° 【分析】如图，当MN⊥OA时，光线沿原路返回，分别根据入射角等于反射角和外角性质求出∠5、∠9的度数，从而得出与∠A具有相同位置的角的度数变化规律，即可解决问题． 【详解】解：如图： 当MN⊥OA时，光线沿原路返回， ∴∠4＝∠3＝90°﹣8°＝82°， ∴∠6＝∠5＝∠4﹣∠AOB＝82°﹣8°＝74°＝90°﹣2×8°， ∴∠8＝∠7＝∠6﹣∠AOB＝74°﹣8°＝66°＝90°﹣3×8°， ∴∠9＝∠8﹣∠AOB＝66°﹣8°＝58°＝90°﹣4×8°， 由以上规律可知，∠A＝90°﹣2n•8°， 当n＝5时，∠A取得最小值，最小度数为10°， 故答案为：10°． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和三角形的外角性质及入射角等于反射角，根据三角形的外角性质及入射角等于反射角得出与∠A具有相同位置的角的度数变化规律是解题的关键． 16．如图，四边形的边和延长相交于E，H和G分别是和的中点，已知四边形的面积为33，则的面积为 【答案】/8.25/ 【分析】 本题考查掌握三角形面积的求法、三角形中位线的性质．连接，设则设，则即可． 【详解】 解：连接，如图： 设 ， 设，则， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）如图，在中，    (1)证明：； (2)，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识， （1）利用三角形的外角的性质解决问题即可． （2）利用三角形的外角的性质和等量代换得到，利用三角形内角和定理得到的度数，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ，， ∴． （2）∵，， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴． 18．（8分）在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．    (1)求，； (2)直接写出与的关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】 （1）根据直角三角形的两个锐角互余即可得的度数；先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：在中，是高，， ， ∵在中，，， ， ∵，分别是，的角平分线， ， ． （2）解：在中，， ∵，分别是，的角平分线， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 19．（8分）已知：如图，为的角平分线，过延长线上的任意一点H作的垂线，分别交于三点． (1)如果，，则___________； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见详解； 【分析】 本题考查三角形内角和定理，三角形角平分线、高线性质： （1）根据，得到，根据角平分线得到，根据内角和求出，结合内外角关系即可得到答案； （2）根据三角形内角和用得到，根据角平分线得到，根据内角和求出，结合内外角关系即可得到答案； 【详解】（1） 解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， 为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（8分）（1）如图 1， 在△ ABC中， AD 平分∠BAC， P 为线段 AD 上的一点， PE⊥AD 于 P 交直线BC 于点 E，交直线 AB、AC 于 F、G ，若∠B=50°，∠BCA=70°时，∠PED= 度； （2）如图 2，AD 平分∠BAC 的外角，其余条件不变，若∠B= ，∠BCA= ，求∠PED 的度数；（用含有 ， 的式子表示）． 【答案】（1）10°；（2）∠PED = 【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAB的度数，从而根据三角形的外角性质即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠PED的度数； （2）根据三角形的外角性质即可求出∠GAF的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAG的度数，在△ ADC中根据三角形的内角和定理求得∠D的度数，进一步求得∠PED的度数． 【详解】（1）∵∠B=50°，∠BCA=70°， ∴∠BAC=60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB=∠BAC =30°， ∴∠ADC=∠DAB +∠B =80°， ∴∠PED =90°-80°=10°； 故答案为：10°； （2）根据三角形的外角性质：∠GAF=∠ABC+∠ACB=， ∵AD平分∠GAF， ∴∠DAG=∠GAF=， ∵∠DCA=180-∠BCA=180-， 在△ ADC中，∠D+∠DAG+∠DCA=180， 即∠D++180-=180， ∴∠D=， ∴∠PED =． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的外角性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 21．（8分）点为内一点，连接，，，，的平分线交于点．      (1)如图1，当三点共线时，若，直接写出的度数是_________； (2)如图2，若，求； (3)直接写出之间的数量关系是_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当三点共线时，，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，再由即可得到答案； （2）连接，由角平分线的定义可得，，由三角形内角和定理可得，，再由进行计算即可得到答案； （3）连接，由角平分线的定义可得，，由三角形内角和定理可得，，再由进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：当三点共线时，， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接， 平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 22．（10分）已知：在中，的角平分线交于点O，的外角平分线交于点D．    (1)请探究的度数与的度数有什么数量关系？并证明你的结论． (2)若C的三个外角平分线的交点为D、E、F，请判断是锐角三角形还是钝角三角形或直角三角形？并证明你的结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2)是锐角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，由三角形内角和定理得到，，则，根据三角形外角的性质和角平分线的定义得到，则，由此即可得到结论； （2）同（1）可得，，则都是锐角，据此可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下：    ∵的角平分线交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴； 由三角形外角的性质可得， ∵的外角平分线交于点D， ∴，， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：是锐角三角形，理由如下：    由三角形外角的性质可得：， ∵的外角平分线交于点D， ∴，， 同理可得， 同理可得， ∴都是锐角， ∴是锐角三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知三角形内角和为180度，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． 23．（10分）如图，在中．    (1)的角平分线相交于点，求的度数； (2)的三等分线分别相交于点，求的度数； (3)的等分线分别相交于点，则________（结果用含的式子表示），（，为整数，结果用含和的式子表示） 【答案】(1) (2)； (3)； 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据角平分线的定义即可求出∠PBC+∠PCB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论； （2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据三等分线的定义即可求出，再根据三角形的内角和定理即可求出结论； （3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据n等分线的定义即可求出，再根据三角形的内角和定理即可求出结论； 【详解】（1）解：在中，， ， 和的角平分线交于点， ， ， ， 故答案为：． （2）在中，， ， 和的三等分线分别对应交于点，， ， ， 和的三等分线分别对应交于点，， ， ， （3）在中，， 和的等分线分别对应交于点，，， ， 故答案为：， 【点睛】本题考查了等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握等分线的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键． 24．（12分）在四边形中，O在其内部，满足，． (1)如图1，当时，如果，直接写出的度数______； (2)当时，M、N分别在、的延长线上，下方一点P，满足，， ①如图2，判断与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，延长线段、交于点Q，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数为______． 【答案】(1) (2)①见解析②或 【分析】本题考查四边形的内角和及角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟知四边形的内角和是是解题的关键． （1）首先根据四边形的内角和及角平分线的定义，求出，进而根据三角形的内角和定理即可求解； （2）①首先由已知求出，，根据平角的定义得出，同理，根据四边形的内角和定理即可求解；②在中，由①得，根据题意分二种情况进行讨论：，，分别求解即可． 【详解】（1）解：，， 当时，，， ，， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）①． 证明：，， 当时，，， ，， ，， ， 同理， ， ． ②由①得：，， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分二种情况： 当， ， ，则， ， ， ，， ， ； 当， ， ，则， ， ， ，， ， ． 综上所述，的度数为：或． 故答案为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$