精品解析：河北省邯郸市三龙育华中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷

邯郸市重点高中育华中学高一下第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知向量，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量坐标的加减可得. 【详解】 故选：A 2. 已知单位向量的夹角为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义及运算律结合已知条件直接求解即可. 【详解】因为单位向量的夹角为， 所以 ， 故选：A 3. 对于非零向量，下列命题中正确的是　　 A. B. 在上的投影向量为是与方向相同的单位向量） C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的数量积判断；利用向量的投影向量判断；向量垂直的充要条件判断；向量的数量积判断； 【详解】解：对于A：，所以不正确； 对于B：在上的投影向量为：是与方向相同的单位向量），所以不正确． 对于C：，所以正确； 对于D：由，则，因为，所以，即在方向上的投影相等，故得不到，所以不正确； 故选：． 4. 已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为，那么的大小为（ ） A. N B. 5 N C. N D. 10 N 【答案】A 【解析】 【分析】因为合力与的夹角为，用两向量夹角的余弦公式列式求解 【详解】因为两个力，的夹角为，所以， 又因为它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为，设合力与的夹角为， 所以，解得. 故选：A. 5. 在中，是角分别所对的边，，则一定是（ ） A. 底边和腰不相等的等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理可得，结合可得答案. 【详解】因为， 所以，由余弦定理有， 整理得，即，为等腰三角形， 又，所以为等边三角形. 故选：D 6. 已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为 A. 1 B. C. 1或 D. -1或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得出且，化简后得出，，即可求出实数的值. 【详解】解：由题可知，，不共线，且向量与的方向相反， 则，即， 则，即， 解得：或（舍去）. 即实数的值为. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量共线的定理的应用，属于基础题. 7. 在中，是的中点，是的中点，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是的中点，，为的中点，得到，然后结合，求出的值. 【详解】解：∵是的中点，，为的中点， ∴ ， ∵，∴，， ∴， 故选：D. 8. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】通过正弦定理求得，分别判断在锐角和钝角时，是否存在即可. 【详解】由正弦定理知，，即 ，解得， 又，由三角函数性质知角B由两个解， 当角B为锐角时，满足，即存在； 当角B为钝角时，，， 则满足，即存在；故有两个解. 故选：A 【点睛】关键点点睛：当正弦值可以取两个解时，需要讨论其存在情况. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用平面向量的共线向量的坐标关系可判断A；先求出的坐标，利用平面向量垂直的坐标关系可判断B；利用平面向量相等的坐标关系可判断C；先求出，利用平面向量相等的坐标关系可判断D. 【详解】由于，，， 选项A：由于，故不成立，即A错误； 选项B：，故，故成立，故B正确； 选项C：因为， ，故不成立，故C错误； 选项D：，，故成立，故D正确. 故选：BD. 10. 下面给出的关系式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的数量积定义及运算性质逐一分析即可. 【详解】因为数与向量相乘为向量，所以，故正确； 向量的数量积满足交换律，所以，故正确； 根据数量积定义知，数量积为一实数， 所以为，表示与共线的向量， 而为，表示与共线的向量， 所以不一定成立，故错误； 根据数量积定义知，故正确； 故选：. 11. 设非零向量，的夹角为，定义运算.下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 设在中，，，则 D. （为任意非零向量） 【答案】AC 【解析】 【分析】根据所给对定义及正弦函数的性质判断A、B、C，利用特殊值判断D. 【详解】解：非零向量，的夹角为，定义运算， 对于A：若，则，即，又， 所以或，故A正确； 对于B：当，则，因为，所以，所以，故B错误； 对于C：在中，，，所以，所以，故C正确； 对于D：其中为与的夹角， 其中为与的夹角， 其中为与的夹角， 则， 令，，，此时，，， 则不成立，故D错误； 故选：AC 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量垂直坐标表示列方程求即可. 【详解】因为，，， 所以， 所以 故答案为：. 13. 若向量，则与平行的单位向量是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据向量的坐标，可得，计算即可得出与平行的单位向量的坐标. 【详解】因为，所以， 则与平行的单位向量的坐标是： 或， 故答案为：或. 14. 是钝角三角形，内角所对的边分别为，则最大边的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，由余弦定理结合即可求解. 【详解】因为是钝角三角形，最大边为，所以角为钝角， 在中，由余弦定理可得： ，可得， 又因为，所以， 所以最大边的取值范围是：. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）求与; （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标公式及模的坐标公式计算即可； （2）根据向量夹角的坐标公式计算即可. 【小问1详解】 由，得， 而，则； 【小问2详解】 ， 即与的夹角的余弦值为. 16. 如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . （1）请用 与 表示 ; （2）用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【答案】（1） （2） 因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有， 即，因此， 显然有，不共线， 因此且， 所以四边形是平行四边形. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可； （2）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质、相等向量的定义进行证明即可. 【小问1详解】 因为、依次是对角线上的两个三等分点， 所以， 于是有， 即； 【小问2详解】 略 17. 的内角所对的边分别为，，．向量与平行． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大小； （2）由余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，即得的面积的最大值. 【小问1详解】 因为向量与平行， 所以， 由正弦定理得， 又，从而，由于，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得，而，， 得，即， 因为，所以. 故的面积为. 18. 如图，已知O为平面直角坐标系的原点，． （1）求点B和点C的坐标； （2）求向量在向量上的投影向量． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据坐标系中角度和线段长度大小，分别作垂线即可求得点B和点C的坐标； （2）利用（1）中结论可得，再利用投影向量定义即可求得结果. 【小问1详解】 过作轴，垂足为，作轴，垂足为，过作，垂足为，如下图所示： 根据题意可知，； 所以，; 所以，即的坐标为； ， 所以，的纵坐标为； 所以的坐标为; 即， 【小问2详解】 由（1）知,； 则向量在向量上的投影向量为； 即向量在向量上的投影向量是 19. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若点满足，且，求的面积的最大值； （3）若，求证：是直角三角形. 【答案】（1） （2） （3） 由（1）及余弦定理得 ，整理得， 由正弦定理得， 则， 得， 所以， 又，所以， 所以，所以， 所以， 所以是直角三角形. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换化简即可得解； （2）利用向量化结合基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解； （3）由（1）及余弦定理得出的关系，再利用正弦定理化边为角，进而可得出答案. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又， 则， 又， 所以，即， 又且，所以， 所以，所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 则， 即， 则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 则， 即的面积的最大值为； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邯郸市重点高中育华中学高一下第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知向量，，则等于（　　） A. B. C. D. 2. 已知单位向量的夹角为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 对于非零向量，下列命题中正确的是　　 A. B. 在上的投影向量为是与方向相同的单位向量） C. D. 4. 已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10 N，合力与的夹角为，那么的大小为（ ） A. N B. 5 N C. N D. 10 N 5. 在中，是角分别所对的边，，则一定是（ ） A. 底边和腰不相等的等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 6. 已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为 A. 1 B. C. 1或 D. -1或 7. 在中，是的中点，是的中点，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 不确定 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 下面给出的关系式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设非零向量，的夹角为，定义运算.下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 设在中，，，则 D. （为任意非零向量） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则________. 13. 若向量，则与平行的单位向量是________． 14. 是钝角三角形，内角所对的边分别为，则最大边的取值范围为__________. 四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）求与; （2）求与的夹角的余弦值. 16. 如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . （1）请用 与 表示 ; （2）用向量方法证明：四边形是平行四边形. 17. 的内角所对的边分别为，，．向量与平行． （1）求； （2）若，求的面积． 18. 如图，已知O为平面直角坐标系的原点，． （1）求点B和点C的坐标； （2）求向量在向量上的投影向量． 19. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若点满足，且，求的面积的最大值； （3）若，求证：是直角三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $