精品解析：新疆兵团新疆维吾尔自治区第三师图木舒克市鸿德实验学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年度第二学期高一期末考试 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2．请将答案正确填写在相应的位置. 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知复数z满足，则其共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（ ） A. B. 或 C. D. 5. i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知复数，则z在复平面内对应的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，则抽出一本非中文书的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的（ ） A. B. C. D. 不确定 9. 年锦州市举办了“脱颖杯”青年教师教学比赛，某学科聘请名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分．现评委为某选手的具体评分如茎叶图所示，则以下选项正确的有（ ） A. 七名评委评分的极差为13 B. 七名评委评分的众数为 C. 七名评委评分的分位数为 D. 该选手最终得分为分 10. 已知复数，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列事件中，是随机事件是（ ） A. 2021年8月18日，北京市不下雨 B. 在标准大气压下，水在4℃时结冰 C. 从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签 D. ，则 12. 下列说法正确是（ ） A. 普查是对所有的对象进行调查 B. 样本不一定是从总体中抽取的，没有抽取的个体也可能是样本 C. 当调查的对象很少时，普查是很好的调查方式，但当调查的对象很多时，普查要耗费大量的人力、物力和财力 D. 普查不是在任何情况下都能实现的 二、填空题（本题共4小题，共20分） 13. 已知向量，若，则_________． 14. i2 021＝________. 15. 在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知 ，则______． 16. 某次数学考试中20个人的成绩如下：101，103，107，110，112，113，116，123，124，125，125，125，126，128，134，135，137，139，144，148，若这组数据的众数为，中位数为，极差为，则___________. 三、解答题（本题共5大题，共70分） 17 化简下列各式： （1）； （2）． 18 已知，，. （1）求； （2）求向量与的夹角的余弦值. 19. 求值： （1） （2） （3） 20. 某班举行科学知识竞赛，共有人报名参加，满分分，名同学频数分布表如下： 得分分组 频数 （1）估计本次竞赛的分位数； （2）若得分在区间内为科学达人，从得分超过的同学中随机抽取两人，求恰好只有人是科学达人的概率． 21. 如图所示，在四棱锥中，是正方形，平面，分别是的中点． （1）求证：平面平面； （2）证明：平面平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期高一期末考试 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2．请将答案正确填写在相应的位置. 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知复数z满足，则其共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法以及共轭复数的概念即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2. 复数在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】求出复数在复平面内对应的点的坐标作答. 【详解】复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 3. 设复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，然后结合复数的除法运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：D 4. 设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，结合单位向量的定义逐一判断即可. 【详解】两个向量模相等，但是方向也可能不同，所以选项AB不正确； 题中没有明确向量模的大小关系，所以选项C不正确； 因为分别是的单位向量，所以， 故选：D 5. i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用纯虚数的定义求解作答. 【详解】，而，且复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B 6. 已知复数，则z在复平面内对应的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算以及复数的几何意义即可求解. 【详解】复数在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A 7. 若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，则抽出一本非中文书的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型的概率计算公式即得. 【详解】书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，则抽出一本共包含基本事件10个，其中抽出一本非中文书的基本事件共5个， 故抽出一本非中文书的概率为. 故选：D. 8. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】令正方体棱长为，求出正方体的体积及四棱锥的体积，即可判断； 【详解】解：令正方体棱长为，则V正方体＝a3， ，∴V四棱锥S－ABCD＝V正方体. 故选：B 9. 年锦州市举办了“脱颖杯”青年教师教学比赛，某学科聘请名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分．现评委为某选手的具体评分如茎叶图所示，则以下选项正确的有（ ） A. 七名评委评分的极差为13 B. 七名评委评分的众数为 C. 七名评委评分的分位数为 D. 该选手最终得分为分 【答案】ABC 【解析】 【分析】将数据由小到大排列，然后分别计算即可判断. 【详解】根据茎叶图，这名选手的得分分别为79，86，87，90，91，91，92. 可知极差为，A正确； 91分出现的最多，因此众数为91，B正确； 因为数据个数为7，且已从小到大排列，又，所以该组数据的分位数为，C正确； 由于要去掉一个最高分和一个最低分，因此这名选手的成绩为 ，D错误. 故选：ABC. 10. 已知复数，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件求出，，结合复数的运算法则求解. 【详解】选项,因为，是方程的两根，所以， 故选项错误； 选项,因为，是方程的两根，所以，故选项正确； 选项,由复数范围内，实数系一元二次方程求根公式可得方程的根为 ，不妨设，， 则 ，，所以，故选项错误； 选项,, ,所以， 故选项正确； 故选：BD. 11. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 2021年8月18日，北京市不下雨 B. 在标准大气压下，水在4℃时结冰 C. 从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签 D ，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据随机事件的定义判断即可. 【详解】A与C选项为随机事件，B为不可能事件，D为必然事件. 故选：AC 12. 下列说法正确的是（ ） A. 普查是对所有的对象进行调查 B. 样本不一定是从总体中抽取，没有抽取的个体也可能是样本 C. 当调查的对象很少时，普查是很好的调查方式，但当调查的对象很多时，普查要耗费大量的人力、物力和财力 D. 普查不是在任何情况下都能实现的 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据普查的概念判定A；根据样本的概念判定B；根据普查和抽查的特点，结合调查对象的属性对C,D作出判定. 【详解】因为样本必须是从总体中抽取的，没有抽取的个体不是样本，所以B的说法不正确. 其余的都正确：根据普查的概念和特点，可以判定A,C,D都正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查普查与抽查的概念和选择，属基础题. 二、填空题（本题共4小题，共20分） 13. 已知向量，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】 首先求出坐标，再求出，求出，写出方程即可求出的值. 【详解】因为， 所以，， ， 因为， 所以， 即， 所以，解得：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量的模和向量的数量积，属于中档题. 14. i2 021＝________. 【答案】 【解析】 【分析】利用周期性求得所求表达式的值. 【详解】 故答案为： 15. 在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知 ，则______． 【答案】； 【解析】 【详解】根据正弦定理知，，所以，故填. 16. 某次数学考试中20个人的成绩如下：101，103，107，110，112，113，116，123，124，125，125，125，126，128，134，135，137，139，144，148，若这组数据的众数为，中位数为，极差为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据众数、中位数和极差的定义逐个求解再求和即可 【详解】由题意，，，，故 故答案为： 三、解答题（本题共5大题，共70分） 17. 化简下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用向量的加减法则得到答案. （2）直接利用向量的加减法则得到答案. 【小问1详解】 【小问2详解】 . 18. 已知，，. （1）求； （2）求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两个向量的数量积的运算法则，以及求向量的模的方法，求出； （2）设向量与的夹角的夹角为，根据两个向量的夹角公式，求出的值. 【小问1详解】 已知，， ， ， ； 【小问2详解】 设向量与的夹角的夹角为， 则， 向量与的夹角的余弦值为. 19. 求值： （1） （2） （3） 【答案】（1）0 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据的性质分析求解即可； （2）根据复数的乘法运算分析求解； （3）根据复数的除法运算结合倍角公式分析求解. 【小问1详解】 由题意可得：. 【小问2详解】 由题意可得：. 【小问3详解】 由题意可得： ， 所以. 20. 某班举行科学知识竞赛，共有人报名参加，满分分，名同学的频数分布表如下： 得分分组 频数 （1）估计本次竞赛的分位数； （2）若得分在区间内为科学达人，从得分超过的同学中随机抽取两人，求恰好只有人是科学达人的概率． 【答案】（1）225 （2） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数定义结合表中的数据求解即可， （2）利用列举法，先列出所有情况，再找出恰好只有人是科学达人的情况，然后利用古典概型的概率公式求解. 【小问1详解】 由题意可知，，， ， 则本次竞赛的分位数为； 【小问2详解】 由题意可知，得分在的有人，设为，在的有人，设为，则从6人中随机抽取2人的情况有：，，，，共15种， 其中恰好只有人是科学达人的有,共8种， 所以恰好只有人是科学达人的概率为． 21. 如图所示，在四棱锥中，是正方形，平面，分别是的中点． （1）求证：平面平面； （2）证明：平面平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理，可证明，，由面面平行的判定即可证明平面平面． （2）可证明平面，由，可证明平面平面． 【小问1详解】 因为分别是线段的中点，则， 又因为为正方形，则，可知， 且平面，平面，所以平面， 因为分别是线段的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 且，平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面，平面，则， 又因为是正方形，则， 且，平面，所以平面， 又因为，所以平面， 且平面，所以平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$